11.2直线的倾斜角和斜率

1、11.2 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 2013年10月 教学目标教学目标 （即：已知倾斜角、斜率、方向向量中的（即：已知倾斜角、斜率、方向向量中的 一个，求其它两个。）一个，求其它两个。） 观察过定点的直线运动过程观察过定点的直线运动过程: : 平平- -陡陡- -平平 (0,1) 知识点知识点1:将将x轴逆时针旋转到与直线轴逆时针旋转到与直线l重合重合 时所成的时所成的 叫做叫做直线直线l的倾斜角的倾斜角; x l 当直线当直线l与与x轴平行或重合时轴平行或重合时,规定其倾斜角规定其倾斜角 =0.于是于是,直线的倾斜角直线的倾斜角 0, ) 直线的倾斜角概念直线的倾斜角概念 练习练

2、习1.直线直线l1, l2, l3的图形如图的图形如图,指出它指出它 们的倾斜角们的倾斜角 1, 2, 3的大小顺序的大小顺序. l1 l2 l3 3 2 1 倾斜角理解倾斜角理解1.1.图形认识图形认识: : 练习练习2.在直角坐标平面内分别画出过点在直角坐标平面内分别画出过点(0,- 1)的直线的直线,使它们的倾斜角分别是使它们的倾斜角分别是: (1) 45o ; (2)120o ; (3) 0 ; (4) . 2 45o 120o =0 倾斜角理解倾斜角理解1.1.图形认识图形认识: : 知识点知识点2: 当当 时时,即即 0, ) ( , ), 把把 的正切值的正切值k=tan 叫做叫

3、做直线直线l的斜率的斜率; 2 2 2 2 当当 = 时时,角角 的正切值不存在的正切值不存在,于是于是,称称直线直线 l的斜率不存在的斜率不存在(趋向无穷大趋向无穷大) 归纳归纳:直线直线l的斜率的斜率: k= tan , 当当 0, ) ( , )时时, 2 2 2 不存在不存在 , 当当 = 时时. 直线的斜率概念直线的斜率概念 练习练习3.已知直线已知直线l的倾斜角分别为的倾斜角分别为: (1) 45o ; (2)120o ; (3) 0 ; (4) 求相应直线求相应直线l的斜率的斜率k. 2 练习练习4.已知直线已知直线l的的斜率斜率分别为分别为: (1) 1 ; (2) -1 ;

4、(3) - 3; (4) 2 求相应直线求相应直线l的的倾斜角倾斜角 . 斜率的理解斜率的理解 3 4 10 不存在不存在 4 3 3 2 2arctan 直线的倾斜角与它的斜率之间关系直线的倾斜角与它的斜率之间关系: : 已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角 ,求它的斜率求它的斜率k: k= tan , 当当 0, ) ( , ) 时时, 2 2 2 不存在不存在 , 当当 = 时时. 已知直线的斜率已知直线的斜率k,求它的倾斜角求它的倾斜角 : = arctank , 当当 k 0 时时, -arctan|k| , 当当 k 0 时时, 练练5.下列命题中正确的是下列命题中正确的是_ (1)若

5、两直线的倾斜角相等，则它们的斜若两直线的倾斜角相等，则它们的斜 率也一定相等；率也一定相等； (2)若两直线的斜率相等，则它们的倾斜若两直线的斜率相等，则它们的倾斜 角也一定相等；角也一定相等； (3)若两直线的倾斜角不相等，则它们中若两直线的倾斜角不相等，则它们中 倾斜角大的，斜率也大；倾斜角大的，斜率也大； (4)若两直线的斜率不相等，则它们中斜若两直线的斜率不相等，则它们中斜 率大的，倾斜角也大率大的，倾斜角也大. N Y N N （2） 直线的倾斜角、斜率与方向向量之间关系直线的倾斜角、斜率与方向向量之间关系: : x 1. 已知直线已知直线 l 的方向向量的方向向量 d = (u,v

6、), 则则 u v 当当 u 0 时时, = tan = k v u 当当u=0时时, 无意义无意义, 斜率斜率k不存在不存在, = v u 2 2.已知直线已知直线l的倾斜角的倾斜角 ,则则 斜率斜率 k=tan , 直线直线 l 的方向向量的方向向量 d = (cos ,sin ) 3.已知直线已知直线l的斜率的斜率k,则则 =arctank或或 = - arctan|k|,直线直线 l 的方向向量的方向向量 d = (1,k) d =(u,v) 倾斜角倾斜角 斜率斜率k方向向量方向向量d=(u,v) k=tan d=(cos ,sin ) tan = u v k= u v d=(1,k)

7、 例例3.已知已知M(2m+3,m),N(m-2,1).当当m取何值取何值 时时,直线直线MN的倾斜角为锐角的倾斜角为锐角,直角直角,钝角？钝角？ 例例2.已知已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1).判断直线判断直线 AB,BC,CA的倾斜角为锐角还是钝角？的倾斜角为锐角还是钝角？ 坐标法求直线斜率坐标法求直线斜率: : 已知直线已知直线 l 经过两点经过两点A(x1,y1)与与B(x2,y2), y2-y1 当当x2 x1时时,斜率斜率k= ; x2-x1 当当x2=x1时时,斜率斜率k不存在不存在 . 作业作业 册册p4 1 2 p6 1 2 书本书本p13 1 3 小结小结:

8、概念概念:直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 倾斜角倾斜角 斜率斜率k方向向量方向向量d=(u,v) k=tan d=(cos ,sin ) tan = u v k= u v d=(1,k) 直线方程的其它形式直线方程的其它形式 例例1. 求经过两点求经过两点A(x1,y1)与与B(x2,y2)的的 直线直线l的方程的方程 。（其中。（其中 ） 解解. AB=(x2- x1, y2-y1),由直线的点方向由直线的点方向 式方程得式方程得: x- x1 y2-y1 y-y1 x2- x1= 又又AB的斜率的斜率k= x2-x1 y2-y1 AB的方程又可写成的方程又可写成: y-y1= k(x

9、- x1) 21 xx 用用点斜式方法点斜式方法,求直线方程求直线方程: 例例2.已知已知A(-2,0),B(5,3).分别求直线分别求直线AB. (1) 斜率斜率; (2)倾斜角倾斜角;(3)点斜式方程点斜式方程. 练习练习2.已知直线过点已知直线过点(3,1),它的倾斜它的倾斜 角为角为 ,且且cos = ,求直线方程求直线方程. 3 5 7 3 7 3 arctan )2( 7 3 xy )3( 3 4 1xy 直线方程的一般形式直线方程的一般形式: : ax+by+c=0 (a,b不全为零不全为零) 例例3.下列方程是否是直线的一般形式下列方程是否是直线的一般形式: (1)2x-3y=

10、2; (2)2y-x-1=0; (3)x=2 (4) ;(5) (6)x+1-(y-1)=0 x+1 y+3 -23 = x-5 y-1 221 + =0 练练3. 把直线方程把直线方程2x+3y-6=0化为点方向式化为点方向式 方程、点法向式方程方程、点法向式方程.它的点方向式方程它的点方向式方程 和点法向式式方程是否唯一？和点法向式式方程是否唯一？ 直线方程形式相互转化直线方程形式相互转化 直线方程直线方程方向向量方向向量法向量法向量斜率斜率k a(x-x0)+b(y-y0)=0 y-y0=k(x-x0) ax+by+c=0 x-x0 y-y0 uv = (u,v)(v,-u) (b,-a

11、) (1,k) (b,-a) (a,b) (k,-1) (a,b) v u - a b k - a b 直线方程的系数-几何性质 1(3,2)( 4,1)(0, 1)ABC、已知、三点，求 的斜率，并判断这些、直线CABCAB ?是钝角直线的倾斜角是锐角还 ) 17(，解： AB0 7 1 AB k 的倾斜角是锐角直线AB )24(，BC0 2 1 BC k 的倾斜角是钝角直线BC )3 , 3(CA01 CA k 的倾斜角是锐角直线CA 2求下列方程所表示的直线的斜率 0)2(5) 1(3)2(yx 4 1 3 2 ) 1 ( yx )4 , 3() 1 (d直线的一个方向向量解法一： 3

12、4 u v k )5, 3()2(n直线的法向量 ) 3, 5(d方向向量 5 3 u v k 4 1 3 2 ) 1 ( yx 解法二：)2( 3 4 1xy 3 4 k 0)2(5) 1(3)2(yx ) 1( 5 3 )2(xy 5 3 k 0 3( 3,4)34290Alxy、求过且平行于直线 ： 的直线的方程 0)4(4)3(3yx所求直线方程为 02543yx即 )4, 3( 00 nl 的一个法向量解：方法一：直线 所求直线的法向量)4, 3(n 043cyx程为方法二：设所求直线方 ，直线过)4 , 3(A 0169c25 c 02543yx所求直线方程为 0 4(1,2)350Plxy、求过且垂直于直线 ： 的直线的方程 ) 1 , 3( 0 dl 的一个方向向量解：方法一：直线 所求直线的法向量)1 , 3(n 0)2() 1(3yx所求直线方程为 053 yx即 03cyx程为方法二：设所求直线方 )2 , 1 (P直线过 023c5 c 053y