多项式插值的震荡现象

1、数值分析课程设计多项式插值的震荡现象指导教师学院名称专业名称提交日期一、问题的提出在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多， 插值多项式的次数就越高。而插值多项式增加时，Ln(X)是否也更加靠近被逼近的 函数。下面就这个问题展开实验。二、实验内容11. 设区间-1,1上的函数?= 话?2，对其等距划分，写出其拉格朗日插值 多项式为？?(？= X?=0-?7?通过不断增加分点数n=2,3,。并：I.画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像；II. 给出每一次逼近的最大误差;?2. 选择其他函数，如定义在区间-5,5上的函数?（?= 时和?= ?

2、 重复上述I、II、III三个步骤看其结果如何。3. 区间a,b上切比雪夫点的定义为？?=+?？?（?跻）対1,2,n+1。以x?2,？xn+i为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。三、实验结果及分析1. I画出函数f（x）及其插值多项式函数Ln（x）在-1,1上的图像，如下图，（程序代码1.1.1 ）多项式插值的畫荡现象1.210.00.60.40_20-0,2-0.6-1-0 8 C &-0.42 Q 0.20 40 &08的误差如下图，（程序代码1.1.2 ）谨近购数二.原的数在区间上的误菱观察图像可知每次逼近的最大误差在哪个区间，再通过编程缩小区间，得到其每

3、次逼近最大误差为(截图如下，程序代码1.1.3)，Hihin -0.00000.0000-0.9273-0.944S-0.9556-0.9631Tfcijn 二-0.432?-0.2474-0.3003-0.5563-1.0701-2.1076III. 比较并分析实验结果：(1)在同一个坐标系中绘制f(x)及5次、7次等多次插值后的图像。从图中 可以很清楚的看出，在卜0.4,0.4的区间内，随着插值次数的增加插值图像越 来越逼近f(x)，然而当|x|0.8以后，插值曲线围绕原函数曲线发生剧烈震荡 现象，尤其是插值次数越多时震荡越强烈。(2)在同一个坐标系中绘制每次插值后的误差图像。从图中可以看

4、出较大误差主要出现在中心及两段，而就每次逼近的最大误差分析。可以观察到:1.当插值次数在一定区间上增多时，其最大误差变小，即吻合度增高(5次插值最大误差是0.437 ,7次插值最大误差是0.2474)； 2而超过一定区间， 随着插值次数增加其最大误差越大，而且其最大误差x的取值越趋向于两端， 于是发生了震荡现象。2. h(x):I.画出函数h(x)及其插值多项式函数Ln(x)在-1,1上的图像，如下图(程序代码 2.1.1)：10尙0.0.40200 2-0.4-0.60S多项式插值的露蔼现象-3-2-10121462.1.2 ），*8-94-102346再通过缩小区间，编程计算每次逼近最大误

5、差如下(截图如下，程序代码2.1.3 )：xnin -4-2339-4.C833 -4.8304-4.8706yin =-0.S584-0.8547-1.5229-S. F539III.比较并分析实验结果：(1 )在同一个坐标系中绘制h(x)及5次、10次等多次插值后的图像。与第 一个实验相似，从图中可以看出，在-3,3的区间内，随着插值次数的增加 插值图像越来越逼近h(x)，然而当|x|4以后，插值曲线围绕原函数曲线发 生剧烈震荡现象，而无论插值次数多少，震荡都很强烈。不过插值次数越多 偏离越远，误差越大。(2)就每次逼近的最大误差分析。可以观察到：随着插值次数的增加，在区间卜4,4，插值函

6、数的吻合度越大，甚至可以忽略误差。而在两端却误差 增大许多，而且越趋向于两端点。g(x):I画出函数g(x)及其插值多项式函数 Ln(x)在-1,1上的图像，如下图(程序代码 2.2.1)，参项式插值的蘆荡现象210-12-5-3-10 124 右2.2.2），iS近雷数与原函数在区间上的误着再通过缩小区间，编程计算每次逼近最大误差如下（截图如下，程序代码223）：Kin -4.2673 -4.60169-4.8215-4. 8723二-0.32S4 -0.2025-2.4624-2.6527III.比较并分析实验结果：（1 ）在同一个坐标系中绘制g（x）及5次、10次等多次插值后的图像。从图

7、 中可以看出：与第1、2个函数不同，这里的10次插值函数整体拟合程度 最好，在两端并没有发生较剧烈的震荡现象；而插值次数到了15或20次时，震荡非常强烈。（2）就每次逼近的最大误差分析。其结果与上两个函数大致一样，就不做 详细说明了多顷式插值的露荡现象-OS -0.&-0.4-0.200.20.40.60 81原函数13次柘次3. 以切比雪夫点为插值点构造上述 3个函数的拉格朗日插值公式，并画图,f(x)(程序代码3.1.1)：裁7次叔h(x)(程序代码3.2.1)：-64-3-2-1012346备项式插值的霍荡现象g(x)(程序代码3.3.1 )：f(x)(程序代码3.1.2 ):逼近函数与

8、原函数在区间上的误差0 1-020 月 -0 604-0.200 20.40.60 8（程序代码3.1.3）KDiin =1.Oe-O15 卑-0.0139o.mici0- 0208O.OF63D_D4160.2914yifclTi =-0.55B9-0.3917-0.2692-0.1928-D_1234-0,0831h(x)(程序代码3.2.2 ):逼近函数勻原函数在区间上的误養（程序代码3.2.3）Ruin 二-1. 6701-0. 682E-1. 9074-0.3085ynin =-0.3514-0. 3431-0. 0600-0. 0462g（x）（程序代码332）：il近的数与原函對

9、在区间上的误建-0 Q2-0 0441.OG-0.08O10.12 0 144-32-1012345Kmin 二吨詞 196 0. 59593S140. 317Syuin -0. 1378 -0,0522 -0.0102-0.0057通过观察3个原函数及插值函数图象，可以看出随着插值次数的增加插值图 象越来越逼近原函数，围绕着原函数图像来回波动，并且在两端并没有出现 震荡现象；而分析其3个函数的每次插值函数的误差图像及每次插值的最大 误差。可知：较大的误差主要出现在区间的中心附近，越靠近两段，误差反 而越小，而且插值次数越多，其最大误差越小，即拟合度更高。由此很明显, 以切比雪夫点为插值点的插

10、值函数，比等距划分插值点的插值函数有更好的拟合性和估计性。四、关于本设计的体会 做了两个星期的课程设计，首先的感触就是很烦，然后感觉收获了很多，包括对 Matlab的熟悉程度有很大的提升、对 Matlab 些内置函数也有了很好的理解 和运用、锻炼了自己自习找资料的能力。而做这个课程设计的主要的困难就是做 出第一个函数的绘图、误差分析等等，因为后面无论是其它两个函数或者用切比 雪夫点构造的三个函数的插值函数，都是万变不离其宗。而这次设计的过程和结果，也存在较多不足之处。对Matlab 些函数的不了解， 导致花大量的时间走了弯路，并得到不太理想的结果，例如：无法通过一个循环 语句；还有就是在分析结

11、果时，不能很透彻的分析到位，尚且有待提高。五、参考文献1任玉杰，数值分析及其 MATLAB实现M，北京，高等教育出版社，20072史万明 吴裕树，数值分析M，北京，北京理工大学出版社，2010-4六、附录I运行环境（计算机型号 DELL N4030）:宜看有关计算机的基本信息Windows 拆本 Windows 8.VirdoiAS 8 Release Preview 2012 Microsoft Corporation* 噪留 祈椒利.茂礙新脛本的Windows的更辛功能Windov/sIn tri (R) CurefTM)泊 CPUM 380 迪 2,53GHz 2.53 GHz4,00

12、GB 3,0GB 可用64宓ft琢笔却頑i：设有可用于此显謂旳笔或融揑嶽入计當机a蟒工咋自设資计算陽窖:艇:工曲many-pcmany-pcWORKGROUP更改设置Windows 瘵活Windows已激活 在Windows懑活中查看详好借里II.运行时间：2012年5月30日星期三20 : 00III.程序代码：1. 定义两个m函数：f.m : function z=f(x)z=1/(1+25*(xA2)Lf.m : function Ln=Lf(x,n)X(i)=-1+2*(i-1)/n;%平均划分节点，并存储在X矩阵内endfor i=1: n+1%该循环得出各项ai(x)f(xi)想加

13、之和q=f(X(i)for j=1: n+1%该循环得出每一项的ai(x)f(x i)if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)endendLn=Ln+qend(程序代码1.1.1 )【绘图】运行窗口主程序:fplot(f(x),-1 1,r)%画出原函数图像hold on%保留图像color=g,b,m,k,c,y%定义颜色字符组fplot(Lf(x,5),-1 1,color(1)%分别画出5,7,9,11,13,15 次fplot(Lf(x,7),-1 1,color(2)%插值的图像fplot(Lf(x,9),-1 1,color)fplot(Lf(x,11),-1 1,

14、color(4) fplot(Lf(x,13),-1 1,color(5)fplot(Lf(x,15),-1 1,color(6)legend(原函数,5 次,7 次,9 次,11 title(多项式插值的震荡现象) axis(-1,1,-1,1)grid on(程序代码1.1.2)hold oncolor=g,b,m,k,c,y fplot(-abs(f(x)-Lf(x,5), -1 1,color(1) fplot(-abs(f(x)-Lf(x,7), -1 1,color) fplot(-abs(f(x)-Lf(x,9), -1 1,color)%表明图像名称%缩小观察范围%图像中显示网

15、格，易于观察【绘图表示误差】运行窗口主程序:%保留图像%定义颜色字符组%分别画出每次插值%在定义区间上的误差fplot(-abs(f(x)-Lf(x,11),-1 1,color)fplot(-abs(f(x)-Lf(x,13),-1 1,color(5)fplot(-abs(f(x)-Lf(x,15),-1 1,color(6)legend(5 次,7 次,9 次,11 次,13 次,15 次)title(逼近函数与原函数在区间上的误差)%表明图像名称grid on%图像中显示网格，易于观察axis(-1,1,-2.2,0)% 缩小观察范围(程序代码1.1.3 )【计算误差】运行窗口主程序：

16、xmi n(1),ymi n(1)=fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf(x,5),-0.2,0.2)%计算5次插值多项式与原函数之间差的最大值，下面同理xmi n(2) ,ymi n(2) =fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf(x,7),-0.2,0.2)xmi n,ymi n=fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf(x,11),-1,-0.8)xmi n(5),ymi n(5) =fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf(x,13),-1,-0.8)xmi n(6),ymi n(6) =fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf(x,15),-1,-0.8)x

17、2. h(x)=時函数：定义两个m函数：h.m : function y=h(x)y=x/(1+xA4)Lh.m : function Ln=Lh(x,n)Ln=0%初始化Lnfor i=1: n+1%平均划分节点，并存储在X矩阵内X(i)=-5+10*(i-1)/n;endfor i=1:n+1%该循环得出各项 ai(x)f(x i)想加之和q=h(X(i)for j=1: n+1%该循环得出每一项的if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)endLn=Ln+q（程序代码2.1.1 ）【绘图】运行窗口主程序:fplot(h(x),-5 5,r)hold oncolor=g,b,

18、m,k fplot(Lh(x,5),-5 5,color(1) fplot(Lh(x,10) ,-5 5,color(2) fplot(Lh(x,15) ,-5 5,color(3) fplot(Lh(x,20),-5 5,color) legend(原函数,5 次,10 次,15 title(多项式插值的震荡现象) axis(-5,5,-1,1)%画出原函数图像%保留图像%定义颜色字符组%分别画出5,7,9,11,13,15 次%插值的图像次,20 次）%表明图像名称%缩小观察范围，易于观察grid on% 图像（程序代码2.1.2）【绘图表示误差】运行窗口主程序:hold on color

19、=g,b,m,kfplot(-abs(h(x)-Lh(x,5) ,-5 5,color(1) fplot(-abs(h(x)-Lh(x,10), -5 5,color(2) fplot(-abs(h(x)-Lh(x,15), -5 5,color(3) fplot(-abs(h(x)-Lh(x,20),-5 5,color(4) legend(5 次,10 次,15 次,20 次) title(逼近函数与原函数在区间上的误差) grid on（程序代码2.1.3 ）【计算误差】运行窗口主程序:xmi n(1),ymi n( 1)=fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh(x,5),-5,-

20、4)xmi n(2) ,ymi n(2)=fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh(x,10),-5,-4)xmi n(3),ymi n( 3)=fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh(x,15),-5,-4)xmi n(4) ,ymi n(4) =fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh(x,20),-5,-4)g(x) = arcta nx 函数：定义两个m函数：g.m : function y=g(x)y=ata n(x)Lg.m : function Ln=Lg(x,n)Ln=0%初始化Lnfor i=1:n+1%平均划分节点，并存储在 X矩阵内X(i)=-5+10*(i

21、-1)/n;endfor i=1:n+1%该循环得出各项ai (x)f(x i)想加之和q=g(X(i)for j=1: n+1%该循环得出每一项的if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)end（程序代码2.2.1 ）【绘图】运行窗口主程序:fplot(g(x),-5 5,r)hold oncolor=g,b,m,kfplot(Lg(x,5),-5 5,color(1)fplot(Lg(x,10),-5 5,color(2)fplot(Lg(x,15),-5 5,color(3)fplot(Lg(x,20),-5 5,color)legend(原函数,5 次,10 次,15ti

22、tle(多项式插值的震荡现象)axis(-5,5,-4,4)%画出原函数图像%保留图像%定义颜色字符组%分别画出5,7,9,11,13,15 次%插值的图像次,20 次）%表明图像名称%缩小观察范围，易于观察grid on% 图像（程序代码2.2.2）【绘图表示误差】运行窗口主程序:hold on color=g,b,m,kfplot(-abs(g(x)-Lg(x,5 ),-5 5,color(1) fplot(-abs(g(x)-Lg(x,10),-5 5,color(2) fplot(-abs(g(x)-Lg(x,15),-5 5,color(3) fplot(-abs(g(x)-Lg(x

23、,20),-5 5,color(4) legend(5 次,10 次,15 次,20 次)title（逼近函数与原函数在区间上的误差）grid on(程序代码223 )【计算误差】运行窗口主程序：xmi n(1),ymi n( 1)=fmi nbn d(-abs(g(x)-Lg(x,5),-5,-4)xmi n(2),ymi n(2) =fmi nbn d(-abs(g(x)-Lg(x,10),-5,-4.5)xmi n(3),ymi n(3) =fmi nbn d(-abs(g(x)-Lg(x,15),-5,-4.5)xmi n(4),ymi n(4) =fmi nbn d(-abs(g(x

24、)-Lg(x,20),-5,-4.5)3. 切比雪夫点为插值节点构造f(x)插值多项式：定义m函数：Lf0(x ,n ).mfun ctio n Ln=Lf0(x ,n)Ln=0for i=1: n+1X(i)=cos(2*i-1)*pi/2/( n+1);endfor i=1: n+1q=f(X(i)for j=1: n+1if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)end（程序代码3.1.1 ）【绘图】运行窗口主程序:fplot(f(x),-1 1,r)%画出原函数图像hold on%保留图像color=g,b,m,k,c,y%定义颜色字符组fplot(LfO(x,5) ,-1

25、 1,color(1)%分别画出5,7,9,11,13,15 次%插值的图像fplot(LfO(x,7), -1 1,color(2) fplot(Lf0(x,9), -1 1,color(3)fplot(Lf0(x,11),-1 1,color(4)fplot(Lf0(x,13),-1 1,color(5)fplot(Lf0(x,15),-1 1,color(6)legend(原函数,5 次,7 次,9 次,11 次,13 次,15 次)title(多项式插值的震荡现象)%表明图像名称axis(-1,1,0,1)%缩小观察范围grid on%图像中显示网格，易于观察(程序代码3.1.2)【绘

26、图表示误差】运行窗口主程序：hold on%保留图像color=g,b,m,k,c,y% 定义颜色字符组fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,5),-1 1,color(1)fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,7),-1 1,color) fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,9),-1 1,color(3)fplot(-abs(f(x)-LfO(x,11),-1 1,color) fplot(-abs(f(x)-LfO(x,13),-1 1,color)fplot(-abs(f(x)-Lf0(x,15),-1 1,color)legend(5 次,7 次,9 次,11 次

27、,13 次,15 次)title(逼近函数与原函数在区间上的误差)%表明图像名称grid onaxis(-1,1,-0.6,0)(程序代码3.1.3 )【计算误差】运行窗口主程序：xmi n(1),ymi n( 1)=fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf0(x,5),-0.2,0.2)xmi n(2),ymi n(2) =fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf0(x,7),-0.2,0.2)xmi n(3),ymi n(3) =fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf0(x,9),-0.2,0.2)xmi n,ymi n=fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf0(x,1

28、1),-0.2,0.2)xmi n(5),ymi n( 5)=fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf0(x,13),-0.2,0.2)xmi n(6),ymi n( 6)=fmi nbn d(-abs(f(x)-Lf0(x,15),-0.2,0.2)切比雪夫点为插值节点构造h(x)插值多项式：定义m函数：Lh0(x ,n ).mfunction Ln=Lh0(x ,n)Ln=0for i=1: n+1for i=1: n+1q=h(X(i)for j=1: n+1if i=jq=q*(x-X(j)/(X(i)-X(j)endendLn=Ln+qend（程序代码3.2.1 ）【绘图】运行窗

29、口主程序:fplot(h(x),-5 5,r)hold oncolor=g,b,m,kfplot(LhO(x,5),-5 5,color(1)fplot(Lh0(x,10),-5 5,color)fplot(Lh0(x,15),-5 5,color)fplot(Lh0(x,20),-5 5,color) legend(原函数,5 次,10 次,15title(多项式插值的震荡现象)axis(-5,5,-0.6,0.6)%画出原函数图像%保留图像%定义颜色字符组%分别画出5,7,9,11,13,15 次%插值的图像grid on次,20 次）%表明图像名称%缩小观察范围%图像中显示网格，易于观察

30、hold on color=g,b,m,kfplot(-abs(h(x)-LhO(x,5), -5 5,color(1) fplot(-abs(h(x)-Lh0(x,10),-5 5,color) fplot(-abs(h(x)-Lh0(x,15),-5 5,color) fplot(-abs(h(x)-Lh0(x,20),-5 5,color) legend(5 次,10 次,15 次,20 次) title(逼近函数与原函数在区间上的误差) grid on(程序代码3.2.3 )【计算误差】运行窗口主程序：xmi n(1),ymi n( 1)=fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh0(x,5),-1,0)xmi n(2) ,ymi n(2) =fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh0(x,10) ,-1,0)xmi n(3) ,ymi n(3)=fmi nbn d(-abs(h(x)-Lh0(x,15),-2.