单因素方差分析与双因素方差分析 原理的相同点与不同点？

1、第八章方差分析第八章方差分析 方差分析解决的主要问题是什么？方差分析解决的主要问题是什么？ 单因素方差分析与双因素方差分析单因素方差分析与双因素方差分析 原理的相同点与不同点？原理的相同点与不同点？ 正交实验设计的基本原理是什么？正交实验设计的基本原理是什么？ 第八章方差分析第八章方差分析 例题例题 某公司计划引进一条生产线某公司计划引进一条生产线. .为了选择为了选择 一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题, , 他们对他们对6 6种型号的生产线作了初步调查种型号的生产线作了初步调查, ,每种型每种型 号调查号调查4 4条条, ,结果列于表结果列于表

2、8-18-1。这些结果表示每。这些结果表示每 个型号的生产线上个月维修的小时数。试问由个型号的生产线上个月维修的小时数。试问由 此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它 们在维修时间方面有显著差异们在维修时间方面有显著差异? ? 8.1 8.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 表表 8 81 1 对对6 6种型号生产线维修时数的调查结果种型号生产线维修时数的调查结果 序序 号号 型号型号 1 12 23 34 4 A A型型9.59.58.88.811.411.47.87.8 B B型型4.34.37.87.83.23

3、.26.56.5 C C型型6.56.58.38.38.68.68.28.2 D D型型6.16.17.37.34.24.24.14.1 E E型型10.010.04.84.85.45.49.69.6 F F型型9.39.38.78.77.27.210.110.1 8.1 8.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 研究的指标研究的指标: :维修时间记作维修时间记作Y,Y, 控制因素是生产线的型号控制因素是生产线的型号, ,分为分为6 6 个水平即个水平即A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F，每个水平对，每个水平对 应一个总体应一个总体Y Yi i(i=

4、1,2,6)(i=1,2,6)。 ),( 2 NY 6.1 6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 现在的试验就是进行调查现在的试验就是进行调查, ,每种型号调查每种型号调查4 4台台, ,相当相当 于每个总体中抽取一个容量为于每个总体中抽取一个容量为4 4的样本的样本, ,得到的数据记得到的数据记 作作y yij ij(i=1,2,6;j=1,2,3,4), (i=1,2,6;j=1,2,3,4),即为下表数据。即为下表数据。 计算各样本平均数计算各样本平均数 如下如下: : i y 型号型号A AB BC CD DE EF F 9.49.45.55.57

5、.97.95.45.47.57.58.88.8 i y 表表 8 82 2 6.1 6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 两个总体平均值比较的检验法两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对把样本平均数两两组成对: : 与与 , , 与与 , , 与与 , , 与与 , , 与与 , ,共有共有 ( 15)( 15)对。对。 1 y 2 y 1 y 3 y 1 y 6 y 2 y 3 y 5 y 6 y 2 6 C 6.1 6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 即使每对都进行了比较即使每对都进行了比较, ,并并

6、 且都以且都以0.950.95的置信度得出的置信度得出 每对均值都相等的结论每对均值都相等的结论, ,但但 是由此要得出这是由此要得出这6 6个型号的个型号的 维修时间的均值都相等。维修时间的均值都相等。 这一结论的置信度仅是这一结论的置信度仅是 上上 述述 方方 法法 存存 在在 的的 问问 题题 工作量大工作量大 置信度低置信度低 将这将这1515对平均数一一进对平均数一一进 行比较检验行比较检验 4632. 0)95. 0( 15 6.1 6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 方差分析的基本原理方差分析的基本原理 ： (1)(1)将数据总的偏差平方和

7、按照产生的原因分解成：将数据总的偏差平方和按照产生的原因分解成： ( (总的偏差平方和总的偏差平方和)=)= ( (由因素水平引起的偏差平方和由因素水平引起的偏差平方和)+()+(试验误差试验误差 平方和平方和) ) (2)(2)上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不上式右边两个平方和的相对大小可以说明因素的不 同水平是否使得各型号的平均维修时间产生显著性差同水平是否使得各型号的平均维修时间产生显著性差 异异, ,为此需要进行适当的统计假设检验为此需要进行适当的统计假设检验. . 6.1 6.1 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 第八章方差分析第八章方差分析 数学模型和数据结构数学模

8、型和数据结构 参数点估计参数点估计 分解定理分解定理 自由度自由度 显著性检验显著性检验 多重分布与区间估计多重分布与区间估计 6.2 6.2 单因素方差分析单因素方差分析 第八章方差分析第八章方差分析 在单因素试验中在单因素试验中, ,为了考察因素为了考察因素A A的的k k个水平个水平A A1 1, , A A2 2,A,Ak k对对Y Y的影响的影响( (如如k k种型号对维修时间的影响种型号对维修时间的影响),), 设想在固定的条件设想在固定的条件A Ai i下作试验下作试验. .所有可能的试验结果所有可能的试验结果 组成一个总体组成一个总体Y Yi i, ,它是一个随机变量它是一个随

9、机变量. .可以把它分解可以把它分解 为两部分为两部分 （8-18-1） iii Y 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 其中：其中： 纯属纯属A Ai i作用的结果作用的结果, ,称为在称为在A Ai i条件下条件下Y Yi i的真值的真值( (也称为也称为 在在A Ai i条件下条件下Y Yi i的理论平均的理论平均). ). 是实验误差是实验误差( (也称为随机误差也称为随机误差) )。 （8-28-2） 其中其中, , 和和 都是未知参数都是未知参数(i=1,2,k).(i=1,2,k). i i ), 0( 2 N i ),(

10、2 i i NY i 2 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 假定在水平假定在水平A Ai i下重复做下重复做m m次试验次试验, ,得到观测值得到观测值 imii YYY,., 21 1 12 2j jM M合计合计平均平均 A A1 1Y Y11 11 Y Y12 12 Y Y1j 1j Y Y1m 1m T T1 1 A A2 2Y Y21 21 Y Y22 22 Y Y2j 2j Y Y2m 2m T T2 2 A Ai iY Yi1 i1 Y Yi2 i2 Y Yij ij Y Yim im T Ti i A Ak kY Yk1

11、 k1 Y Yk2 k2 Y Ykj kj Y Ykm km T Tk k 1 Y 2 Y i Y k Y 表表 8 83 3 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 表中：表中： (i=1,2,k) (8-3) (i=1,2,k) (8-3) Y Yij ij表示在 表示在A Ai i条件下第条件下第j j次试验的结果次试验的结果, ,用式子表示就是用式子表示就是 (i=1,2,k j=1,2,m) (8-4)(i=1,2,k j=1,2,m) (8-4) 注意注意: : 每次试验结果只能得到每次试验结果只能得到Y Yij ij, ,而 而

12、(8-4)(8-4)式中的式中的 和和 都都 不能直接观测到。不能直接观测到。 m j iji Y m Y 1 1 ijiij Y i ij 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 为了便于比较和分析因素为了便于比较和分析因素A A的水平的水平A Ai i对指标影响对指标影响 的大小的大小, ,通常把通常把 再分解为再分解为 (i=1,2,k) (8-5)(i=1,2,k) (8-5) 其中其中, , 称为一般平均称为一般平均(Grand Mean),(Grand Mean),它是比它是比 较作用大小的一个基点；较作用大小的一个基点； i i

13、i k i i k 1 1 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 并且称并且称 为第为第i i个水平个水平A Ai i的效应的效应. .它表示水平的真值比一般它表示水平的真值比一般 水平差多少。满足约束条件水平差多少。满足约束条件 (8-6)(8-6) 可得可得 ii 0 21 k ; ijiij Y0 i i=1,2,k ;j=1,2,mi=1,2,k ;j=1,2,m 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 要要 解解 决决 的的 问问 题题 找出参数找出参数 和和 的估计量的估计量

14、分析观测值的偏差分析观测值的偏差 k ,., 21 2 检验各水平效应检验各水平效应 有无显著差异有无显著差异 k ,., 21 6.2.1 6.2.1 数学模型和数据结构数学模型和数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 用最小二乘法求参数用最小二乘法求参数 的估计量的估计量, ,然后然后 寻求寻求 的无偏估计量的无偏估计量. . 须使参数须使参数 的估计值能使在水平的估计值能使在水平A Ai i下求下求 得的观测值得的观测值Y Yij ij与真值 与真值 之间的偏差尽可能小。之间的偏差尽可能小。 为满足此要求为满足此要求, ,一般考虑用最小偏差平方和原则一般考虑用最小偏差平方和原则, , 也

15、就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小. . k ,., 21 2 k ,., 21 i 6.2.2 6.2.2 参数点估计参数点估计 第八章方差分析第八章方差分析 由由(8-4)(8-4)可知可知, ,上述偏差平方和上述偏差平方和 令下列各偏导数为零令下列各偏导数为零 22 11 2 )()( iijiij k i m j ij YYS ,0 S 0 i S (i=1,2,k)(i=1,2,k) 6.2.2 6.2.2 参数点估计参数点估计 第八章方差分析第八章方差分析 由由 解得解得 (8-7)(8-7) 由由 解得解得 (8-8)(8-8) 0)(

16、2 iij Y S YY km ij 1 0)(2 1 i m j ij i Y S YYY m i m j iji 1 1 6.2.2 6.2.2 参数点估计参数点估计 第八章方差分析第八章方差分析 并由此得并由此得 的估计量的估计量 至此至此, ,求得参数求得参数 的估计量的估计量 (8-9)(8-9) iii Y i ii , ,Y,YYi i i i Y 6.2.2 6.2.2 参数点估计参数点估计 第八章方差分析第八章方差分析 按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二 乘法乘法, , 称为最小二乘估计量称为最小二乘估计量. . 我们还可以证明我

17、们还可以证明 分别是参数分别是参数 的无的无 偏估计量。偏估计量。 将将 和和 分别用它们的估计量代替分别用它们的估计量代替, ,可以得到试可以得到试 验误差验误差 的估计量的估计量 , , (8-10) (8-10) ii , i i, i i, i ij ij e i ijij YYe 6.2.2 6.2.2 参数点估计参数点估计 第八章方差分析第八章方差分析 为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应, ,我们我们 研究三种偏差研究三种偏差: , : , 和和 . . 根据前面参数估计的讨论根据前面参数估计的讨论, ,它们分别表示它们分别表示 , , 定

18、理定理 (8-11)(8-11) YYijYYii ij YY ij Y i ij 2 11 2 1 2 11 )()()( k i m j i ij k i i k i m j ij YYYYmYY 的估计的估计. .和和 6.2.3 6.2.3 分解定理分解定理 自由度自由度 第八章方差分析第八章方差分析 )()(i ij i ij YYYYYY 222 )()( 2)()(i ij i ij ii ij YYYYYYYYYY 2 111 2 )()(YYmYY k i i k i m j i 证明：证明： 0)( 1 i m j ij YY 6.2.3 6.2.3 分解定理分解定理 自由

19、度自由度 第八章方差分析第八章方差分析 令令 则分解定理则分解定理(8-11)(8-11)可写成可写成 (8-12)(8-12) 2 )(YYS ijT 2 )(YYmS i A 2 ()i Eij SYY EAT SSS 6.2.3 6.2.3 分解定理分解定理 自由度自由度 第八章方差分析第八章方差分析 上式中上式中, , 称为总偏差平方和称为总偏差平方和. . 称为误差平方和称为误差平方和( (或组或组 内平方和内平方和); ); 称为因素称为因素A A的效应平方和的效应平方和( (或组间平方或组间平方 和和),), S ST T的自由度的自由度f fT T=km-1=km-1 S SA

20、 A的自由度的自由度f fA A=k-1=k-1 S SE E的自由度的自由度f fE E=k(m-1)=k(m-1) 容易看出，自由度之间也有类似于分解定理的关系容易看出，自由度之间也有类似于分解定理的关系 (8-13)(8-13) T S E S A S EAT fff 6.2.3 6.2.3 分解定理分解定理 自由度自由度 第八章方差分析第八章方差分析 参数参数 假设假设 检验检验 的假的假 设条设条 件件 观测值观测值(i=1,2,k;j=1,2,m)(i=1,2,k;j=1,2,m) 相互独立相互独立 在水平在水平A Ai i条件下条件下, , Y Yij ij(j=1,2,m) (

21、j=1,2,m) 服从正态分布服从正态分布N N ),( 2 i 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 要判断在因素要判断在因素A A的的k k个水平条件下真值之间是否个水平条件下真值之间是否 有显著性差异有显著性差异, , 即检验假设即检验假设 H H0 0: , : , H H1 1: : 不全相等不全相等 相当于检验假设相当于检验假设 H H0 0 : (i=1,2,k), : (i=1,2,k), H H1 1 : : i i不全为零不全为零 k 21 0 i 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 可以证明当可

22、以证明当H H0 0为真时为真时, , , , , , (8-16)(8-16) 并且并且 与与 相互独立相互独立. . 得得 (8-17)(8-17) 其中其中 和和 称为均方称为均方(Mean Square).(Mean Square). ) 1( 2 2 km S T ),1( 2 2 k SA )1( 2 2 mk SE 2 A S 2 E S )1(, 1( ) 1(/ ) 1/( ) 1(/ ) 1/( 2 2 mkkF mkS kS mkS kS F E A E A A ) 1/(kS A ) 1(/mkS E 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方

23、差分析 利用利用(8-17)(8-17)式来检验原假设式来检验原假设H H0 0是否成立是否成立. .对于给对于给 定的显著水平定的显著水平 , ,可以从可以从F F分布表查出临界值分布表查出临界值 再根据样本观测值算出再根据样本观测值算出F FA A的值的值. . 当当 时时, ,拒绝拒绝H H0 0, , 当当 时时, ,接受接受H H0 0。 ),1(, 1(mkkF )1(, 1(mkkFF A )1(, , 1(mkkFF A 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F F比比 组间组间( (因素因素

24、A)A)S SA AK-1K-1S SA A/(k-1)/(k-1) 组内组内( (实验误差实验误差) )S SE EK(m-1)K(m-1)S SE Ek(m-1)k(m-1) 总和总和S ST T= =S SA A+ +S SE EKm-1Km-1- ) 1(/ 1/ mkS kS F E A A 表表 8 84 4 方差分析表方差分析表 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 下面继续讨论前面下面继续讨论前面6 6种型号的生产线的例子。根种型号的生产线的例子。根 据调查结果，在据调查结果，在 =0.05=0.05的显著水平时，检验这的显著水平时，检验这

25、6 6种种 型号的生产线在平均维修时间方面有无显著差异？型号的生产线在平均维修时间方面有无显著差异？ 根据实践经验，认为各种型号生产线的维修时根据实践经验，认为各种型号生产线的维修时 间是近似服从正态分布的。间是近似服从正态分布的。 作统计假设：作统计假设：6 6种型号的生产线平均维修时数无种型号的生产线平均维修时数无 显著差异，即显著差异，即 H H0 0： i i=0=0（i=1,2,6i=1,2,6）,H,H1 1:i i不全为零不全为零 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 计算计算S SA A及及S SE E km T m T YYmS i k

26、i i A 2 2 2 1 )( m T YYYS i ijiijE 2 22 )( m j iji YT 1 ijj YTT 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 表表 8 85 5 计算列表计算列表 台号台号 型号型号 1 12 23 34 4T Ti iT Ti i2 2 A A型型9.59.58.88.811.411.47.87.837.537.51406.251406.25358.49358.49 B B型型4.34.37.87.83.23.26.56.521.821.8475.24475.24131.82131.82 C C型型6.56.58.

27、38.38.68.68.28.231.631.6998.56998.56252.34252.34 D D型型6.16.17.37.34.24.24.14.121.721.7470.89470.89124.95124.95 E E型型10.010.04.84.85.45.49.69.629.829.8888.04888.04244.36244.36 F F型型9.39.38.78.77.27.210.110.135.335.31246.091246.09316.03316.03 m j ij Y 1 2 7 .177 i T 07.5485 2 i T 99.1427 2 ij Y 6.2.4

28、6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 再将计算结果分别代入再将计算结果分别代入S SA A与与S SE E两式中，得到两式中，得到 第一自由度第一自由度 第二自由度第二自由度 55.55 46 7 .177 4 07.5485 22 2 km T m T S i A 72.56 4 07.5485 99.1427 2 2 m T YS i ijE 5161kfA 1836) 1( mkfE 6.2.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 查查F F分布表得分布表得 由于由于 ，故拒绝，故拒绝H H0 0。 该结论说明，至少有一种生产线型号的

29、效应不为零，该结论说明，至少有一种生产线型号的效应不为零， 这等价于至少有两种型号的生产线的平均维修时数是有这等价于至少有两种型号的生产线的平均维修时数是有 显著差异的。显著差异的。 77. 2)18, 5( 05. 0 F 77. 253. 3 A F 方差来源方差来源平方和平方和 自由度自由度均方均方F F比比 组间组间S SA A55.5555.555 511.1111.11 组内组内S SE E56.7256.7218183.153.15 总和总和S ST T112.27112.272323- 53. 3 15. 3 11.11 A F 表表 8 86 6 方差分析表方差分析表 6.2

30、.4 6.2.4 显著性检验显著性检验 第八章方差分析第八章方差分析 q q 检验法：检验法： 计算任意两水平的差值计算任意两水平的差值 ， 当当 时，判断时，判断 与与 差异显著；差异显著； 当当 时，判断时，判断 与与 差异显著。差异显著。 查多重比较的查多重比较的q q表得表得 (8-18)(8-18) siYY )(si ),( E fkq m fS fkqD EE / ),( siYY D iYsY siYY D iY sY 6.2.5 6.2.5 多重分布与区间估计多重分布与区间估计 第八章方差分析第八章方差分析 区间估计区间估计 在置信度为在置信度为 的情况下，的情况下， 的置信

31、区间为的置信区间为 （8-198-19） 1 si DYYDYYsi si si)()( 6.2.5 6.2.5 多重分布与区间估计多重分布与区间估计 第八章方差分析第八章方差分析 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型 数据结构数据结构 离差平方和的分解离差平方和的分解 应用实例应用实例 6.3 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 第八章方差分析第八章方差分析 在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素 对实验结果的影响。对实验结果的影响。 例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们 还想了解销售地区是否影响销售

32、量，如果在不同的还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的 地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。 采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率 高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占 有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者 了解、接受该生产线。了解、接受该生产线。 6.3.1 6.3.1 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型 第八章方差分析第八章方差分析 若把饮料的颜色看作影响销售量的因素若把饮

33、料的颜色看作影响销售量的因素A A，饮料，饮料 的销售地区则是影响因素的销售地区则是影响因素B B。对因素。对因素A A和因素和因素B B同时进同时进 行分析，就属于双因素方差分析。行分析，就属于双因素方差分析。 双因素方差分析的内容，是对影响因素进行检双因素方差分析的内容，是对影响因素进行检 验，究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起验，究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起 作用，或是两个因素的影响都不显著。作用，或是两个因素的影响都不显著。 6.3.1 6.3.1 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型 第八章方差分析第八章方差分析 双因双因 素方素方 差分差分 析的析的 类型类型

34、 无交互作用的无交互作用的 双因素方差分析双因素方差分析 有交互作用的有交互作用的 双因素方差分析双因素方差分析 假定因素假定因素A A和因素和因素 B B的效应之间是相的效应之间是相 互独立的，不存在互独立的，不存在 相互关系相互关系 假定因素假定因素A A和因素和因素B B 的结合会产生出一的结合会产生出一 种新的效应种新的效应 6.3.1 6.3.1 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型 第八章方差分析第八章方差分析 例如，例如， 若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他 地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合地区消费者不同的特殊偏爱，这

35、就是两个因素结合 后产生的新效应，属于有交互作用的背景；后产生的新效应，属于有交互作用的背景； 否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的 双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交 互作用的双因素方差分析。互作用的双因素方差分析。 6.3.1 6.3.1 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型 第八章方差分析第八章方差分析 双因素方差分析的数据结构如表所示：双因素方差分析的数据结构如表所示： 双因素方差分析数据结构双因素方差分析数据结构 因素因素A A A A1 1A A2 2A Ar r 因因 素素 B

36、B B B1 1X X11 11 X X12 12 X X1r 1r B B2 2X X21 21 X X22 22 X X2r 2r B Bk kX Xk1 k1 X Xk2 k2 X Xkr kr i X 1 x 2 x k x j X 1 x 2 x r x x 表表 8 87 7 6.3.2 6.3.2 数据结构数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 表中，因素表中，因素A A位于列的位置，共有位于列的位置，共有r r个水平，个水平， 代表代表 第第j j种水平的样本平均数；因素种水平的样本平均数；因素B B位于行的位置，共有位于行的位置，共有k k 个水平，个水平， 代表第代表第i

37、i种水平的样本平均数。种水平的样本平均数。 为样本总平为样本总平 均数，样本容量均数，样本容量n=rn=rk k。 每一个观察值每一个观察值X Xij ij看作由 看作由A A因素的因素的r r个水平和个水平和B B因素的因素的 k k个水平所组合成的个水平所组合成的r rk k个总体中抽取样本容量为个总体中抽取样本容量为1 1的的 独立随机样本。这独立随机样本。这r rk k个总体的每一个总体均服从正个总体的每一个总体均服从正 态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分析态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分析 的假定条件。的假定条件。 j x i x x 6.3.2 6.3.2 数

38、据结构数据结构 第八章方差分析第八章方差分析 2 22 2 () ()() ()() ij j j ii SSTxx SSAxxk xx SSBxxr xx SSESSTSSA SSB 6.3.3 6.3.3 离差平方和的分解离差平方和的分解 第八章方差分析第八章方差分析 各离差平方和对应的自由度：各离差平方和对应的自由度： 总离差平方和总离差平方和SSTSST的自由度为的自由度为r rk-1=n-1k-1=n-1； 因素因素A A的离差平方和的离差平方和SSASSA的自由度为的自由度为r-1r-1； 因素因素B B的离差平方和的自由度为的离差平方和的自由度为k-1k-1； 随机误差随机误差S

39、SESSE的自由度为（的自由度为（r-1r-1）（k-1k-1） 8.3.3 8.3.3 离差平方和的分解离差平方和的分解 第八章方差分析第八章方差分析 由离差平方和与自由度可以计算均方差：由离差平方和与自由度可以计算均方差： 对因素对因素A A而言：而言： 对因素对因素B B而言：而言： 对随机变量而言：对随机变量而言： 1 r SSA MSA 1 k SSB MSB ) 1)(1( kr SSE MSE 6.3.3 6.3.3 离差平方和的分解离差平方和的分解 第八章方差分析第八章方差分析 表表 8 88 8 双因素方差分析表双因素方差分析表 误差来误差来 源源 离差平方离差平方 和和 自

40、由度自由度均方差均方差F F值值 A A因素因素SSASSAr-1r-1MSA=SSA/(r-1)MSA=SSA/(r-1) F FA A=MSA/MS=MSA/MS E E 因素因素SSBSSBk-1k-1MSB=SSB/(k-1)MSB=SSB/(k-1) F FB B=MSB/MS=MSB/MS E E 误差误差SSESSE(r-1)(k-1)(r-1)(k-1) MSE=SSE/(r-1)MSE=SSE/(r-1) (k-1)(k-1) - 合计合计SSTSSTn-1n-1- 6.3.3 6.3.3 离差平方和的分解离差平方和的分解 第八章方差分析第八章方差分析 某商品有五种不同的包装

41、方式（因素某商品有五种不同的包装方式（因素A A），在五个不），在五个不 同地区销售（因素同地区销售（因素B B），现从每个地区随机抽取一个规模），现从每个地区随机抽取一个规模 相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如下相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如下 表表. . 表表 8 89 9 现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著 性影响。（性影响。（=0.05=0.05） 包装方式包装方式(A)(A) A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5 销销 售售 地地 区区 (B)(B) B B1 120201212202010101414 B B2 222221010202012126 6 B B3 324241414181818181010 B B4 416164 48 86 61818 B B5 526262222161620201010 6.3.4 6.3.4 应用实例应用实例 第八章方差分析第八章方差分析 解：解： 若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同若五种包装方式的销售的均值相等，则表明不同 的包装方式在销售上没有差别。的包装方式在销售上没有差别。 建立假设建立假设 对因素对因素A A： H H0 0： , , 包装方式之间无差别包装方式之间无差别 H H1 1： 不全相等