勾股定理学案可用

1、17.1 勾股定理（ 1）班级： 姓名： 小 组教学目标：1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定 理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学 习。重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。教学过程一、导学：预习新知（阅读教材第 至 页，并完成预习内容。）二、自学：1 正方形 A、 B 、C 的面积有什么数量关系？2 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大 正方形的面积之间有什么关系？归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系(1) 那么一般的直角三角形是否也有这

2、样的特点呢？(2) 组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。(3) 通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？(4) 对于更一般的情形将如何验证呢？.助学c方法如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明S正方形=方法二；a、 b、 c。已知：在厶ABC中，/ C=90，/ A、/ B/C的对边为求证：a2 + b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=右边S=左边和右边面积相等，即化简可得。方法三：则每个直角三角以a、b为直角边，以c为斜边

3、作两个全等的直角三角形, 形的面积等于2ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上 Rt EAD也 Rt CBE,A b E a B / ADE = / BEC. / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 17.0o 90o= 90o. DEC是 一个等腰直角三角形，它的面积等于2c2.又 / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于归纳：勾股定理的具体内容1. 如图，直角 ABC的主要性质是：/ C=90 ,（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；（

4、2）若/ B=30 ,则/B的对边和斜边：;（3）三边之间的关系：2. 完成书上习题1、2三用学1. 在 Rt ABC中，/ C=90 若 a=5, b=12，贝U c=; 若 a=15, c=25,则 b=; 若 c=61, b=60,则 a=; 若 a : b=3： 4, c=10则 SRtAABC =。2. 已知在Rt ABC中，/ B=90 , a、b、c是厶ABC的三边，贝Uc=。（已知a、b,求c）a=。（已知b、c,求a）b=。（已知a、c,求b）3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 。4. 已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B

5、 、14C、D、7 或 255. 等腰三角形底边上的高为 8,周长为 32,则三角形的面积为（）A、 56B 、 48C、40D 、 32五、评学 . 小结与反思17. 1 勾股定理（ 2）学习目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。3经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。4培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。 重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。1. 导学预习新知（阅读教材第 66至 67页,并完成预习内容。）1.在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件?直角三角形中哪条边最长？2. 在长方形ABC冲，宽AB

6、为1m 长BC为2m，求AC长.问题（1）在长方形ABC冲AB BC AC大小关系？（2） 个门框的尺寸如图1所示.若有一块长3 米,宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过?若薄木板长3 米,宽1.5米呢?若薄木板长3 米,宽2.2米呢？为什么?LJT T.自学例：如图2, 个3米长的梯子AB斜着靠在竖直的墙 AO上，这时AO的距离为2.5米.求梯子的底端B距墙角O多少米?如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）图2.助学1. 书上P68练习1、22小明和爸爸妈妈一登香山，他们沿着 45度的坡路走了 500米，看到了 一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高

7、度是米。3. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4竹米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。3题图1题图2题图四.用学1 如图，的距离是一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间。2如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打 隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300万元，隧道总长为2 公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是 多少？3如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，/ B=60，则江面的宽度为。OP4. 有一个边长

8、为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆米。形盖半径至少为5根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16厘米, 且RPLPQ贝U RQ=厘米。6. 如图3,分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式.变式：书上P71 -11题如图4.五、评学.小结与反思17. 1勾股定理（3）学习目标：1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发

9、表意见。重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。1. 导学预习新知（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。）二、自学1. 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数 轴上画出表示的点吗？2. 分析：如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示的点。容易知道，长为的线段是两条直角边都为 的直角边的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，长为的线段是直角边为正整数 、的直角三角形的斜边。3作法：在数轴上找到点 A，使0A=，作直线 垂直于0A在上取点B,使AB=,以原点0为圆心，以OB

10、为半径作弧，弧与数轴的交点 C即为表示的点。cADB4. 在数轴上画出表示717的点？（尺规作图）三助学例1已知直角三角形的两边长分别为 5和12,求第三边。例2已知：如图，等边 ABC的边长是6cm求等边厶ABC的高。 求SA ABC四.用学1. 完成书上第9题2 填空题在 Rt ABC / C=90 , a=8, b=15,则 c=。在 Rt ABC / B=90 , a=3, b=4,则 c=在 Rt ABC / C=90 , c=10, a： b=3: 4,则 a= b=已知直角三角形的两边长分别为 3cm和5cm，则第三边长为。2 已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三

11、角形面积。五.评学1 已知直角三角形中30角所对的直角边长是2V3cm,则另一条直角边的长是（）A. 4cmB.cmC. 6cmD.6V3cm2. AABC中，A吐15, AO 13,高AD= 12,则厶ABC的周长为（）A. 42B. 32C. 42 或 32D.37 或 333. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A. 9分米 B. 15分米 C. 5 分米 D. 8分米4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤

12、了花草.5. 等腰 ABC的腰长A吐10cm 底BC为16cm 则底边上的高为，面积为.6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为小结与反思17. 2 勾股定理的逆定理（一）学习目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点：勾股定理的逆定理的证明。1. 导学预习新知（阅读教材 , 完成课前预习）1. 三边长度分别为 3 cm、4 cm、5 cm 的三角形与以 3 cm、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？2你能证明

13、以6cm 8cm 10cm为三边长的三角形是直角三角形吗?A 4/ / :R I7-M3. 如图17.2-2，若 ABC的三边长a、b满足，试证明厶ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.4. 此定理与勾股定理之间有怎样的关系?（1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3） 任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有5. 说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？（1）两直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。助学例1:判断由线段b、C组成的三角形是不是直角三角形：(1)a =

14、 15s6 = 8c = 17（2）a-13 = 14,c = 15(3)a = 79b = 24,c = 25（4）a-b-2c-25三. 用学1. 完成书上P75练习1、22. 如果三条线段长a,b,c满足a2 =c2 h2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么?C地在B地的什3. A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向,么方向?4. 思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k （k是正整数） 也是一组勾股数吗？ 一般地，如果 a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck （k是 正整数）也是一组勾股数吗？1. 若厶ABC的三边a，b，c满足条件a

15、2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判定 ABC的形状.2. 一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少 米？此三角形的形状为？3. 已知：如图，在 ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD BDB0 A求证： ABC是直角三角形。五.小结与反思17. 2勾股定理逆定理（2）学习目标:1. 进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角 形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应 用范围。2. 培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。3. 在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程

16、 度。4. 培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用A.导学已知：如图，四边形 ABCD AD/ BC，AB=4 BC=6 CD=5 AD=3求：四边形ABCD勺面积。归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图.自学例2如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明 计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4米,BC=3米, CD=13米，DA=12米，又已知/ B=90。三.助学1. 完成书上P76练习32. 一个三角形三边之比为3: 4: 5,则这个三角形三边上的高值比 为

17、A 3:4:5B 5:4:3C 20:15:1210:8:23. 如果 ABC的三边a,b,c满足关系式+ (b-17. ) 2+上一対=0则厶ABC是 三角形。四. 用学1.若厶 ABC的三边 a、b、c,满足(a b)( a2 + b2- c2) =0,则厶 ABC是 ( )A. 等腰三角形；B. 直角三角形；C. 等腰三角形或直角三角形；D. 等腰直角三角形。2. 若厶ABC的三边a、b、c,满足a： b: c=1: 1:，试判断厶ABC的形状。3. 已知：如图，四边形 ABCD AB=1, BC=34，CD=137,AD=3 且 AB丄 BG求：四边形ABCD勺面积。4. 小强在操场上

18、向东走80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走60m的方向是。5. 一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短 边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。6. 已知 ABC的三边为 a、b、c,且 a+b=4, ab=1，c=，试判定厶ABC的形状。7. 如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上 一点且EC =丄4EC,求证：/EFA= 90。五. 评学勾股定理复习（1）学习目标1. 理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边2. 勾股定理的应用.3. 会运用勾股定理的逆定理，判断

19、直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一. 导学在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定 理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分 学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：一直禽|-1羸形一1. 勾股定理:(1) 直角三角形两直角边的口等于的平方就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a b,斜边为c,那么一定有：一一- .这就是勾股定理.(2) 勾股定理揭示了直角三角形之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法” 通过构造

20、几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理.2. 勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为 根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法定理的证明采用了构造法利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股 定理证明第三边为c,进而通过“ SSS证明两个三角形全等，证明定理成立.3. 勾股定理的作用:(1 )已知直角三角形的两边，求第三边；(2 )在数轴上作出表示(n为正整数)的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的

21、.勾股定理的逆 定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定 理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形， 还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：禾用勾股 定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.(3) 三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若n2 + b2 = c2，则三角形是直角三角形；若H2 C2，则三角形是锐角三角形；若a- + b2 1, 且n为整数），这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四. 评学1. 两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm,另一只朝左挖，每分钟

22、挖6cm 10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A. 50cmB. 100cmC. 140cmD. 80cm2. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （）A. 8cmB. 10cmC. 12cm D. 14cm3. 在 ABC中，/ C= 90，若 a = 5，b= 12,贝U c =4. 等腰 ABC的面积为12cm2底上的高AD= 3cm,则它的周长为5. 等边 ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.6. 个三角形的三边的比为 5： 12： 13,它的周长为60cm,则它的面积是.7有一个小朋友拿着一根竹

23、竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4 尺.求竹竿高与门高.勾股定理检测姓名 学号一、填空 （每题 2.分、共 40分）1. 在直角三角形中 ,若两直角边的长分别为 1cm，2cm ，则斜边长为2. 已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是 .3. 在Rt ABC中，a , b, c分别是三条边，/ B=90，已知a=6, b=10,则 边长 c=4. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（ 1）3、4、5（2）5、12、13（ 3）8、 1 5、 1 7（4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有5. 若三角形的三别是 a2+

24、b2,2ab,a2-b2（ab0）, 则这个三角形是.6. 已知 ABC中，/ A= / B= / C,则它的边：高：中线之比为7. 下列各组线段中,能够组成直角三角形的是（A. 6, 7, 8B. 5, 6, 7C. 4, 5, 6D. 3, 4, 58 .若等边厶ABC的边长为2cm 那么 ABC的面积为.9. 直角三角形的两直角边分别为5cm 12cm其中斜边上的高10. 有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.11. 一座桥横跨一江，桥长12m 一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5

25、m则小船实际行驶 m12. 一个三角形的三边的比为5 ： 12 ： 13,它的周长为60cm,则它的面积是.13. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的原来的2倍，那么斜边扩大到14. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为,8,则以斜边为边长的正方形的面积为cm15. 如图一个圆柱，底圆周长6cm高4cm 一只蚂蚁沿壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm16. 如图：带阴影部分的半圆的面积是（7T取3）17.如图：一只蚂蚁从长是4、宽是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是17.若一个三角形的周长12cm,边长为3V3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是.19.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米20.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺求竹竿高 门高.、作图（写明做法）（6分）在数轴上