量子力学作业

1、量子力学复习题量子力学常用积分公式n ax 1 x e dx x （1） an ax nexaaxe22 (a sin bx b cos bx)a2 b2axeeax cos axdxa2 b2 ( a cos bx b sin bx)(3) a b11x sin axdx 2 sinax x cos ax(4)a2aeax sin bxdx(2)x2 sin axdx (5)x cos axdx(6)2x2 sin ax a12 cosax an 1 axe dx (n 0)(2aaxsinaxa22x3aa) sin ax)2) cos axx2 cos axdx 22x cos ax (

2、7a2x ax 2 c c ln( ax ax2 c)2 2 a(8)ax2 cdx(8)(a 0)2x ax2 c2n2sinc2a(n 1)!2arcsin( ax) cxdx n!(9)2 cosn xdx(n 1n!)!(10)2(a 0)sin axdx0x(11)2 (a 0)ax nn!e x dxn 1a(12)ax20 e axdx 12 a3)dx2xaen2x(a0)（n 正偶数 ）（n 正奇数 ）(n 正整数 ,a 0)(2n 1)!n 1 2n 1 2a(14)x2n 1e ax2dxnn!2an(15)(16)xeax 2abxe sin bxdx 2 2 2 0(

3、a 2 b2 )222 ax a b cosbxdx 2 2 2(a2 b2 )2( a 0)(a 0)1.简答题束缚态、非束缚态及相应能级的特点。2.简并、简并度。3.用球坐标表示， 粒子波函数表为 r, , ，写出粒子在立体角 d 中被测到的几率。4. 的几率。用球坐标表示，粒子波函数表为 r, , ，写出粒子在球壳 r , r dr 中被测到5. 一粒子的波函数为 r x,y,z ，写出粒子位于6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。7. 写出三维无限深势阱0, 0 x a,0 y b, 0 z c, 其余区域x x dx间的几率。V(x,y,z)中粒子的能级和波函数。0, V(

4、x) ,8. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱 , 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。9. 何谓几率流密度？写出几率流密度j (r , t)的表达式。z 表象中的泡利矩阵。0 x 2ax 0, x 2a10. 写出在11.12.电子自旋假设的两个要点。 L2 ,L )L ,L z)的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？s写出电子自旋 z 的二本征态和本征值。13.14. 给出如下对易关系：y,pyL2 , L x ?xz,pxs x , syLy,Lzyz,zy2sin ax a2 dxx2 2，15. s、 L分别为电子的自旋和轨道角动量， J s L 为电子的总角动量。证明

5、： L2,L 0, s2,s 0, J2,s L 0，J2 ,J =0，其中x、 y、 z,J s L 。(r , / 2)(r , sz)(r ,/ 2)16. 完全描述电子运动的旋量波函数为(r ,/ 2) ，及 d 3 r (r, /2)准确叙述(r, / 2)17. 二电子体系中，总自旋 态与三重态) 。2 分别表示什么样的物理意义。2S s1 s2 ，写出( S ,Sz )的归一化本征态(即自旋单18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？19. 给出一维谐振子升、降算符 a 、a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a 、a 的关系；哈 密顿量 H 用 N 或 a 、

6、a 表示的式子； N (亦即 H )的归一化本征态。 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是 什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 聞創沟燴鐺險爱氇谴净。21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？22. 写出非简并态微扰论的波函数(一级近似)和能量(二级近似)计算公式。23. 量子力学中，体系的任意态(x) 可用一组力学量完全集的共同本征态n(x) 展开：(x)ncn n (x)写出展开式系数 cn 的表达式。pp, H ?H V(x) x, H24. 一维运动中，哈密顿量 m ，求 x

7、, H25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量 p?x 之间的测不准关系。28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题(一) .已知厄密算符 A?, B?，满足 A?2 B?2 1，且 A?B? B?A? 0，求1、在 A 表象中算符 A?、 B?的矩阵表示；2、在 B 表象中算符 A?的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。(二) . 设氢原子在 t 0 时处于状态11

8、1(r,0)R21 (r )Y10 ( , )R31 ( r )Y10 ( , )R21(r)Y1 1( , )222，求1、t 0时氢原子的 E 、 L?2和 L?z的取值几率和平均值；2、t 0 时体系的波函数，并给出此时体系的 E 、 L?2和 L?z的取值几率和平均值。三)考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下1 0 00C0H?0 3 0C00面的矩阵给出0 0 200C这里，H? H?（0） H? ，C是一个常数， C 1，用微扰公式求能量至二级修正 值，并与精确解相比较。四）、令 S Sx iSy， S Sx iSy ，分别求 S 和 S 作用于 Sz的本

9、征态10和102 1 的结果，并根据所得的结果说明S 和 S 的重要性是什五）、线性谐振子在 t 0 时处于状态(x,0)1、在 t 0时体系能量的取值几率和平均值。 2、t 0 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值六）、当 为一小量时，利用微扰论求矩阵1 202 230 3 3 2 的本征值至 的二次项，本征矢至 的一次项（七）、一体系由三个全同的玻色子组成 , 玻色子之间无相互作用 . 玻色子只有 两个可能的单粒子态 . 问体系可能的状态有几个 ? 它们的波函数怎样用单粒子 波函数构成 ?残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（八）、粒子在一维势场 V（x）中运动 ,证明:属于不同能级的束缚态波函数

10、互相 正交。（设 1、 2分别属于能级 E1、 E2的束缚态波函数，由于是一维束缚态，1（x） 2（x）dx 01 、 2 都是实函数，故只需证明） 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（九）、已知二阶矩阵 A、B满足： A2 0， AA A A 1，B A A，在 B表 象中，求出矩阵 A、 B。（十）、在S?z表象中，求自旋算符 S?在n cos ,cos ,cos 方向投影算符 S?n S? n S?x cos S?y cos S?z cos 的本征值和相应的本征态。（十一）、用 （a bx）e x 做尝试波函数，用变分法求谐振子的基态能量。（十二）、一电荷为 q的线性谐振子受恒定电场 作用，电场沿正

11、 x 方向。用 微扰法求体系的定态能量和波函数。（十三）、（ 1）力学量算符 A?满足最简单的代数方程为f（A?） A? C1A? C2A?Cn 0，其中 C1、C2 、为常数，试证明 A?有n 个本征值，它们都是方程 f （ x） 0 的根。（2）若以 a 和a 表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本 对易式： a,a aa a a 1，且a2 0，（a ）2 0，以 n a a表示该单粒 子态上的粒子数算符，利用（ 1）的结论，求 n 的本征值。 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（十四）、有一带电荷 e 质量 m 的粒子在平面内运动 ,垂直于平面方向磁场是 B, 求粒子能量允许值 .十五）、1 2 2V （x ）m x试用量子化条件 , 求谐振子的能量 谐振子势能2 （十六）、对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明a 2 a 26x a（x x）（1 2 2 ）2 12 n 2 2 并证明当 n 时上述结果与经典结论一致。十七）、利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze）。十八）、在 ?z 表象中，求 ?x 的本征态（十九）、一维无限深势阱（ 0 x a ）中的粒子受到微扰：2 x （0 x a ） H / （x） a x 22 （1 ）