西安交通大学线性代数期末考试试题附标准答案

1、成 绩西安交通大学考试题 课 程 线性代数与空间解析几何( A)卷 学院 专业班号 考 试 日 期 2010 年 1 月 15 日姓 名 学 号 期末 题 号一二三四五六七八得分一、单项选择题 (每小题 5分,共 15分)(1) .设 A 为三阶方阵 ,将 A 的第 2行加到第 1行得矩阵 B，再将 B 的第 1列的1101倍加到第 2 列得矩阵 C，记矩阵 P 0 1 0 , 则001(A) C P 1AP .(B) C PAP 1. (C) C PTAP. (D)C PAPT . 【】(2) . 设有线性方程组 (I) : AX O， (II): ATAX O,则(A) (II) 的解是(

2、I)的解， (I)的解也是(II)的解; (B) (II) 的解是(I)的解，但(I)的 解不是 (II)的解;(C)(I)的解不是(II)的解， (II)的解也不是 (I)的解;(D)(I)的解是(II)的解，但 (II)的解不是 (I)的解;.【】(3) 若 n阶方阵 A相似于对角阵，则(A) A有n个不同的特征值 ; (B) A为实对称阵 ;(C) A有 n个线性无关的特征向量 ; (D) r(A) n. 【】二、填空题(每小题 5分,共 15分)1(1). 设 2是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 1 A2 的一个特征值为 .320(2). 矩阵 B ，则二次型 f (x) xTBx

3、 的矩阵为.10(3).已 知 1, 2, 3 是 四 元方 程 组 AX b 的 三 个 解 ，其 中 r(A) 3 且1 2 （1,2,3, 4）T , 2 3 （4, 4,4, 4）T ，则方程组 AX b的通解为三、（12 分） 证明两直线 l1 : x y z 4,l2 : x y z 异面；求两直线间的距离； 并求与 l1,l2 都垂直且相交的直线方程。四、（12 分）线性方程组1 1 x1311 x2211x32讨论 取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解 ?并在有无穷多解时求出该方程组的结构式通解 .2bxy 2xz 2yz 4 可经过正交变五、（12 分）. 已知二次曲

4、面方程 x2 ay2 z2xx换 y P y 化为柱面方程 y2 4z2 4，求 a,b的值及正交矩阵 P. zz101六、 （12 分） 设 A020 ,矩阵 X 满足 AX IA2 X ，其中 I 为三阶单位矩101阵，求矩阵 X.七、（12分） （注意:学习过第 8章“线性变换”者做第 （2）题,其余同学做第 （1）题）1 3 0 1(1) 矩阵 A 01 31 01 11 ，线性空间 V1432求V 的基与维数 .101阵为 A110 ，求 T 在基 1 (1,0,0) T矩阵.121(2) 设T L R3 ,T 在 R3的基 1 ( 1,1,1)T , 2b|b F 4，方程组 Ax

5、=b有解(1,0, 1)T, 3 (0,1,1)T 下的矩2 (0,1,0)T , 3 (0,0,1)T 下的八、(10 分)设 1, 2,Ln是 n维列向量组，矩阵T11T21T12T22试证明 1, 2,LT n1T n2T1nT2nMTnnn线性无关的充要条件是对任意n 维列向量 b ，方程组 AX均有解西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：线性代数与几何（ A） 课时： 48 考试时间： 2010 年 1月 15日3=15 分)1.B 2. A3. C213=15 分)1. 3 2.24102(2, 2,2,2)T, k为任意常数(1,1,1)T,a2( 1,1,1

6、)T.单选题( 5 分.填空题( 5分 3. k(3,2,1,0)T.( 12 分) a1(0,0, 4)取点 P1(0,0,4) l1，点 P2(0,0,0) l2,P1P2混合积 a1,a2,P1P2 8 0，故 l1,l2异面v v uuuurl1与l2的距离 d |a1 va2 vP1P2|8 2 2a1 a22 2公垂线 l 的方向向量 l /(0,1, 1)含 l,l1 的平面方程为 2(x 0) 1(y 0) 1(z 4) 0 含 l,l2 的平面方程为2(x 0) 1(y 0) 1(z 0) 0故公垂线 l 的方程为:2x y z 4 02x y z 0.113112四.(12

7、分) A 1 1201(1 ) 011200( 2)(1 ) 3( 1)当2且 1时,r(A)r(A)3方程组有唯一解当2时,r(A) 2,r(A) 3方程组无解 1 1 1 2当1时, A0 0 0 0 ,r(A) (A) 1 3方程组有无穷多解 ,取一个0 0 0 0特解 ( 2,0,0)T ,易得导出组的一个基础解系为 : 1 ( 1,1,0)T, 2 ( 1,0,1)T ,故结构式通解为xc1 1 c2 2,c1c2 为任意常数1b10五 .记 A b a11T,D 1 ，有P 1AP PTAP D， 1 0, 2 1, 3 411140141a12 ,故 a 3,b 1 014 |

8、A|(b1)2对10 ，解 (0IA)x 0,得属于 1的特征向量 (1,0, 1)T ；对21，解 (1IA)x 0,得属于 2的特征向量 (1, 1,1)T ；共 4 页 第 5 页对 3 4，解 (4 I A)x 0,得属于 3的特征向量 (1,1,1)T . 将上述 3 个特征向量再正交化，单位化，得正交矩阵1 1 1062 61 631 31 3六、AI(A I)(A I),可逆201故 X (A I) 1(A I)(A I) A I 0 3 0102七、(12分) 1. W 的基与维数为 A的列向量组的极大无关组和秩 记 A 1 2 3 4 ，可计算出 A 的极大无关组为 1, 2, 3 故W 的基为 1, 2, 3，维数为 3 2.基 1,2,3到1, 2, 3 的过渡矩阵记为 P1001 1 0即0101 0 1 P 0011 1 1112则T在 1, 2, 3下的矩阵为 PAP 1220八.(10分) 记 D 1, 2,L n302由 1,n线性无关知 |D| 0而 A |DTD| |D|2