西科大网络教育线性代数指导书练习题参考附标准答案

1、西科大网络教育线性代数指导书练习题参考答案1、计算排列 3，2，1，4，5和 3，4，1，2，5的逆序数，并说明奇偶性 . 答：32，31，21，所以 3，2，1，4，5 逆序数为 3，是奇数；同理， 31，32，41，42，所以 3，4，1，2，5 逆序数为 4 ，是偶数 .2、由行列式性质10a21 10a22 10a2（ P26）知 a11 a12 a13a11 a12a 13 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。23 10a21 a 22 a 23 10 2 203、答：1 -2 5 01 -2 5 01 -2 5 0 1 -2 5爱氇谴净。D=-2 3-8 -1 = 0 -1 2 -1=0 -1

2、2 -1濟溆塹籟。3 1 -240 7 -17 4 0 0-3 -3 0 0 -3 -3a31a32a33a31 a 32 a 3301 4 2 -50 6 -3 -5 0 0 9 -110 0 0 -20= 0 -1聞創沟燴鐺險2 -1 残骛楼諍锩瀨酽锕极額閉镇桧猪訣锥。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。1 111 4 16 645、答： D4=4 3 7 -5 1 3 92716 9 495 = 1 7 49 343 =（ -5-4 ）（ -选块网羈泪。64 27 343 -125 1 -5 25 -125（7-3 ）（3-4A11=（ -1）M11=4，A12=（ -1A13=）（ -5-7 ）（7

3、-4 ）茕桢广鳓鯡） =10368 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。）1+2M12=-2 ，4、答：1 0 -12 01 01 2D=1 20 ,M 11=3 2 =4,M 12=-1 2 =2,M 13=-1 3 =5謀荞抟-1 3 21=11+1箧飆鐸怼类蒋薔。（-1） （-3） （-20）=60 用行列式性质化上三角行列式）1+3-1 ） 1+3M13=5 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。尽可能出现较多 0，注意行列变换时，要在前自加号）6、答： 12 -1 2 1 2-1 21 2 -1 -81 2 -8籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。D= 3 0 1 5= 3 0 1 5 =3 01 15 =（-1）4+3（-1

4、 ） 3 0 15預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。P421 0 -4 11104 11130 -4 1-2 0 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。1 2 -132 -13 2-13= 3 0 0=3 （ -1）2+1=-332頂廡。0 -4 11-4 11 0-15-21 60011000 -10-4-15 ）=90 铙誅卧泻噦圣骋贶7、答： 0 11 1 3 1 1 11 1 1 1 000擁締凤袜烂蔷。D= 1 0 1 1= 3 0 1 1 =310 1 1 =3 1 -100贓熱俣阃歲騷。0131 01110 110 -10坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚1030111 010 0-1蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。备訊顎轮匱阊邺

5、镓1 11 11 1=31-1 )-1)=-38、答： x+y-2z=-4 5x-2y-7z=-7 辚糴。A= 5 -2 -7 = 5-70 0-731 =31 -7 -31=14買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄镝鯛駕櫬鹕踪韦2x-5y-3z=12 -5 -3 2 -7-13-7 13-2驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。-4 1-2-19 -14 -19 -14191419 14A1=-7-2-7 = 0-37-2814猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。1 -5-31 -5-3-37 -2837 28 -1 0锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。骛。A2 =-4 -21 -2-21 -2 -25 -75 -7構氽頑黉碩饨荠龈话5 -7 -7

6、-7 = 5 0 -7 =(-2(-1)1+2=2輒峄陽檉簖疖網儂號泶。2 1 -3 2 4-34 0 -74 -7-1 01 -4 1绚勵蜆贅。A3 = 錕缢灩筧嚌俨淒。-3 08-3 8 -3 05 -2 -7 =-4 尧侧閆繭絳闕2+2=-7=28识饒鎂2 -5 1 2 -7 1凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。由克莱姆法则 x =A1A=1,AA2 =-1,A1A=2x=1线性方程组解为z=2(a 0), 由 f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=4,f(-1)=1恥諤銪灭萦欢煬鞏9、答：设 f(x)=ax3+bx2+cx+d 鹜錦。0+0+0+d=0d=0得：8a+4b+2c+da+b+c+d

7、=-1=4 8a+4b+2c=4-a+b-c+d=1-a+b-c=1a+b+c=-1 +得 2b=0b=0a+c-1a=1a+2c=4 c=-23 f(x)=x 3-2x0j in10、答：1 a1 a 12a1n-11 a2 a 22a2n-1 范得蒙行列式 (ai-aj)系数行列式 A=12 n-11 a n an an1n-11 12n-1a 1 a1a 1 a 1A1=1 a 2a 2n-1 =A, A 2= 112 a 2 n-1a 2 =01 ann-112n-1 an1 a nanai aj(i j;i,j=1,2,n)同理， A3=A4=An=0 鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。由克莱姆

8、法则 x1= A1 = A =1,x 2 = A2 = 0=x 3= =xn=0 A A A线性性方程组解为 x 1=1x2=0xn=02 1 -1-4 3 32 1 -1-4 3 -311、答：由 -3 1 1 -2x= 1 -1 -3 鄴颃诌攆檸攜驤蔹。得 -3 -1 11 -1 -3 =2x硕癘6 2 23 -1 12x=-4 0 4 x= -2 0 21 2 3 1 2 0 112 、答： AB= -2 1 21+20+3314 -110 4-3-1-1 阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。3 -1氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩-113、1 -1 3 -1 答： AB= 1 -2-1 1 = -5 3釷鹆資贏

9、車贖孙滅獅赘。2 -52 -5(AB) T= 7 3BTAT=(AB) T= 7 36 56 58 38 32 21 2怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。得谚辞調担鈧谄动禪泻類。嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。a b2 -1 0 11 2 a=1,b=214、答：由= =c db -c 1 0 -c b c=-c,d=b a=1,b=2,c=0,d=215、答： A 为任一方阵 （ A+AT）T=AT+（AT）T=AT+A=A+AT （AAT） T=（ AT） TAT=AAT（矩阵性质） A+AT， AAT均为对称阵16、答： n 阶方阵可逆A 0，且 AA-1=I n=1 A A-1In-5 3,* -1AA*)

10、-1=A 同时可证明（* -1A*)-1-1 *=(A-1)*17、答： 3-2| 0 05-3|0 0A1 03 -2A=|A=|- =A1=00 |3 40A25-30 0 | 1 2A1*=-3 2A 1 =1 A1 =-5 33 42 -42 -41 -2A2 =12A2*= -1 3A12 -1 322A-11 0 A-1=P 900 A 2-1 0 01 -2130 022-3 2 0 05 3 0 018、答：方法方法1：P80 方法2：1 4 -3|1 0-4 -3熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库1 5 -3|0 1 0 0 -1 0 -1 1 0-1 6 4|0 0 1 0 0 1 -1

11、 2 10 1 0 10 0 1 -1-126 30|11|-1 212 2 3-1 2 1P107-108 ，注意：用初等变换方法求逆矩阵时只用行初等或只用列初等变换，变换混用，即一直用行初等或列初等变换使（不能行列初等19、答： AX=B，若 A-1 存在，则 A-1AX=A-1 B1 1 -1 1-1A，I ） （I ，A-1）鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。即 X=A-1 BA= 0亿顿裊赔泷。-1|121 1 -1 1 0 0 |0 11 -1 0-10|001 -1213321330 0 3 -1 13 -1133113611331 0 0|0 1|1211236336A-1=11331 -

12、1111-1363X=A B=113 321113613613纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。颖刍莖蛺饽濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。1311335132116220、答： 謎諏涼。-1 1 0|0 0 11 0 2|1 0 0 1 0 2 1A，I ) = 0 3 4|0 1 0銚銻縵哜鳗鸿锓1 0 2 1 0 0 结鈺贖哓类。0 1 2 1 0 1 驟辽輩袜錈。0 3 4 0 1 01 0 20 1 22211挤貼綬电麥赔荊紳谘侖賽釙冊庫。1 0 0| -20 1 0| -2 1 -20 0 1|221、0 0 -2 -3 1 -3 0 0 13 1 3塤礙籟馐决穩2 2 21 -3-2 1 -3A-1=-

13、2 1 -2此题也可只用么列初等变换使-1-1用 A-1 =A * 求也方便 .答：2方法同11 -222、答：方法同20 题. A -1=-1-2 5 0 0-117 题.A -1 =0 013323、答： 1=22- 3 向量 1, 2, 3 线性相关 .24、答：设有实数 x1,x 2,x 3, 使 x11+x22+x3 3=0, 则 2x 1-x 2=03x1+4x2=02x3=0 3线性无关 .x1=0显然 x 2=0 1, x3=0或：32 -1 00, 1,2, 3线性无关 .（P141 引理）1 1 2 2 1 1 12 210 2 1 5 -1 0 2 15 -10 0 00

14、 0 0 0 -2 2 -2(A)=0 0 -22 -2 0 0 0 0 03 仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。3 种方法1）求矩阵的有注：110 -126、答：设 A=( 1, 243 2 -4 2=-2 3 12 1 -1 3 , 4 )-11 0 -11 0 -11 0 -10 3 -13 -1 00 -4-10 2 -10 0-30 0300 04041(A)=31 -2 2 3 也可设 A=0 1,2, 3,(A)=31 1 2 2 11 1 2 2 125、答： A=0 2 1 5 -1 0 21 5 -12 0 3 -1 30 -2 -1 -5 11 1 0 4 -10 0 -2 2 -2

15、裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。a 用求极大线性无关组方法b 初等变换求矩阵秩c 行列式法求矩阵秩（正式）学用初等变换法求矩阵秩， 此时可用行变换，也可用列变换， 只要将 A 化为三角形 矩阵（上、下三角形均可） 求对角矩阵， 再数一下主对角线上非重元素个数即为 （A）. 绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。. 见下题 .3 ）对向量组的秩 . 可将它化为矩阵来求秩-1 1 -1 -427、答：设存在 x1,x2,x 3使=x11+x22+x33x1+3x2-2x 3=41 3 -2-51 3 -2x 143x1+2x2-5x或=3 2 -5 x2= 112 1 1 x33即3=112x 1+x2+x3=33 -2-

16、7 1= 0 -7=30 0 骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。栉缏歐锄棗鈕种鵑x11 3 -2 -1 4注：求 x1,x 2,x 3 也可用x2=3 2 -5 11x32 1 13棟剛殓攬瑤丽阄应。3 -2| 4或用增矩阵滠兴渙藺。-5 | 110 0 1| -1-1賻。掃減。-1 1粜。1 -1 1 答:28、=2-11|11 -1|01|0 0 1 01 -13-1 1 1 00 2 -2 -1 10 0|x31-12-11 -11 0 0|此时x2峴扬斕滾澗辐-11-12 则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷312102110= 11 0 鳃躋峽祷紉诵帮21 稟虛嬪赈维哜妝扩踴2詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。胀鏝彈奥秘孫

17、戶孪钇4 3-2 10 5 014 -2 1 4 -2瑣钋濺暧A1=11 2 -5 = 267 0 =70-5 26=-60,A 2=3 11 -5 =0 -11 =0紲鯗餳類。2 11050-5 5-55鎦诗涇艳损楼311-5 5瑶锬。2 31 03 1 1惲锟缟馭篩凉。 =2 1- 3由克莱姆法则 x1=-60=2,x 2=0 代入 x3=-1-3011220 1 0| 011220 0 1|-1-1 1-112 0-111222213 3= 2 1+111+ 22212 2= 2 31=3 线性相关 .12+ 2 31 -23 1 -2 31-2 3或0 2 -5 = 0 2-5 = 0

18、 2 -5=0鲑罷規呜旧岿錟。-1 0 2 0-2 5 0 0029、答： 1、2=- 1- 3 1, 2, 1, 2, 3 线性相关 . 陽簍埡2、 1+2=31, 2, 3线性相关 .30、答： 1、对 . 设有 x1,x 2,x 3, 使 x1( 1 + 2)+x 2( 2+3)+x3( 3+1)=0 沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。则( x1+x 3) 1+(x 1+x2) 2+(x 2+x3) 3=01,2, 3线性无关x2+x3=00 1 1x 1+x3=01 0 1x 1+x2=0 其系数行列式 1 1 0 =20方程组有唯一解 x 1=x2 =x3=0 1+2, 2+3, 3+1 线性无

19、关2、错.设有 x1,x2,x3,x 4,使 x1( 1 + 2)+x 2( 2+ 3)+x 3( 3+ 4)+x 4( 4+1)=0 钡嵐縣 緱虜荣产涛團蔺。则(x 1+x4) 1+(x 1+x2)2+(x 2+x3) 3+(x 3+x4)4=0 x1+x4=0 1, 2, 3, 4 线性无关1+x2=0 x 2+x3=0x3+x4=01 0 0 1 1 0 0 0 1 011 0 -1 1 1其系数行列式 1 1 0 0= 1 1 0 -1 = 110 0 1 1 = 11=0烬觶騮。0 1 1 0 0 1 1 0 0 11 0 1 10 0 1 1 0 0 1 1懨俠劑鈍触乐鹇方程组有非

20、实解(如 x1=1,x 2=-1,x 3=1,x 4=-1 ) 1+ 2, 2+3, 3+ 4, 4+ 1线性相关 .31 、答：以构造矩阵0 3 1 21 0 3 1 2A= -1 3 0 -1繚鮐癞别瀘。7 2 5014 0 6为方便求极大元素组初等行变换 0 2 2-4 -20 0 0 -4 -40 3 3 0謾饱兗争詣-4 -4(A)=3, 含 3 个向量的 ，三个非原行的主列在 1, 2, 4 为向量组的一一个极大线性元素1，2，4 列，故 一个极大元素组123 451 21 01 2110 10 100 -44 0 000 00 00 0 0 01 0 0 0 1 1+ 1+ 2+

21、 4 麸肃鹏2+0 4莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减。镟轿騍镣缚縟糶。注：这里取三个非原行的主列所在的为向量组的一个极大元素组，且因为其所构成矩阵 行列式不为零，此向量组必线性无关，对 A 用初等行变换(不用列变换)是因为保 持 1, 2位置不变，否则要变换，麻烦 . 納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬。 从简化的阶梯形矩阵中容易找到 35由1, 2, 4线性变出时前的系数 .1 2 0 1|3x1+2x2+x4=332、答：A =(Ab)= 2 -1 1 1|1即 2x1-x 2+x3+x4=1有 3 个方程 風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。0 1 0 0|2 x2=24 个未知量 .33、答 : A = -1 3 -1|-

22、1灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹0 2 1| 20 2 1 2 0 0 0 05 4 223-2=10(A)= ( A)=2 3 方程有无穷多个解 .，1 个基础解系(对应各方程组)55x1=4- x3取待解 :x 3=0,x 4=4,x 2=1( 令 x3=1,x 1=- ,x52x2=2-x 3得基础解系 y= 次方程组)24 5 1x1= 5+42201原方程组解为 X=1+x3=1 134、诨癱骝。-1 2 11 1 0 5 01 1 0 0 0 答：系数矩阵 A=0 0 1 3 -1 0-20 0 0 -5 00 0 0 1 0x1+x2=0 秩为 3， x4=0 -10-10 取 y1= 1

23、 y 010100000101( 1, 2 R)x基础解系有-135、答： A=11= 对应各0 -1铹鸝饷飾镡閌1=-x 25-3=2 个向量 .x 3-x 5=04=0y1+2y2=2=-1 -1 1 -1 3 40 03=x5 201 21 2 -1 3-2 6 3 6 01 20 02 -1 3 1 21 2 -10 -5-70 0 1 2 30 02 -1 0 0 30 0 1 0 -1x1+2x2-x 3=3-1)=3 5 ( A0 0 0(A)=组的基础解系 .待解x4=-1泸。-1x=5=0x2=1,x 3=0, 得 x1=-2,x 4=x5=0,-21y1=1y 2=03-2

24、1010取1001y1+2y2=+原线性系数方程为 纨颗锊讨跃满賺。-1x1=-2 1+ 2+32=21,x4=-1x5=21 1 0 -3-1覡闾辁駁档驀迁锬減5-3=2 个相伴各次方程对应各次方程组 x 4=0x1=-2x 2+x3取 x2=0,x 3=1, 得 x1=1,x 4=x5=0 攙閿频嵘陣澇諗谴隴+ 1 0+2 1(01, 2R)趕輾雏2R)36、答： A=欖粝。1 -14 -2 6 -5 11-1-1-1-3-10 -6 6视絀镘鸸鲚鐘脑钧偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠。2 4 -2 4 -16 0 2 -2 10 -14 廟。0 0 0 12 -12緦徑铫膾龋轿级镗挢0 1 -1 -

25、1 -10 0 0 1 -10 1 -1 0 -20 0 0 1 -10 0 0 0 0 5-3=2（A）=35 騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼个基础解系 疠骐錾农剎貯狱颢幗騮。x2-x 3-2x 5=0x1+x 2-4x 5=0x1=-x 2+4令 x2=1,x 5=0 得 x1=-1,x 3=1,x 4=0 镞锊过润启婭澗骆讕瀘。 3=x2-2x 5令 x2=0,x 5=1 得 x1 =4,x 3=-2,x 4=1 榿贰轲誊壟该槛鲻垲x4-x 5=0x4=x541 y 2= 0-2原11(-3y1=11y1+2y21, 2 R )3 -1 -3 4|4宾呗擷鹪讼凑。37、答： A=-9-8|0-111-4700 0 0-1|11 1 0邁茑赚陉嵝硖贪塒廩袞悯倉華糲。(A)= (A)=2 44-2=2个对应各次方程组基础解系x1+x2-3x34=1 待解： x3=x4=0, x-4x 2+6x3+7x 锭。12=4051=4=1147y2=4x1+x2=3x3-x 4 yx3=14x2=6x3+7x4x4=0331=该栎谖碼戆沖巋鳧薩0原方程组解为 + 1y1+ 2y2劇妆诨貰攖苹埘呂仑庙。0100x=x2=+21x = 42墊罗蘄。38、答：屜鸭骞。懷紓泺。4 3 3 -1