等腰三角形三线合一典型题型

1、实用文档等腰三角形三线合一专题训练姓名例 1：如图，四边形 ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分 ABC、 BCD，且点 E在 AD上。 求证： BC=AB+D。CE 是 AD边中点。求证：CEBE。AE、 BE分别平分 BAD、 ABC.变 2：如图，四边形 ABCD中， ADBC，E是 CD上一点，且1）求证： AEBE； （2）求证： E是 CD的中点； （ 3）求证： AD+BC=AB.实用文档变 3： ABC是等腰直角三角形 ， BAC=90,AB=AC.若 D 为 BC的中点，过 D 作 DMDN分别交 AB、 AC于 M、N，求证：( 1)DM DN。(1) 已知：如图， A

2、B=AC， E为 AB上一点， F是 AC延长线上一点，且 BE=CF，EF交 BC于点 D求证： DE=DFA实用文档(2) 已知：如图， AB=AC，E为AB上一点， F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点 D，且 D为 EF的中 点 求证： BE=CF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中， AB=AC，P为底边 BC上的一点， PDAB于 D，PEAC于 E，? CF AB于 F，那么 PD+PE与 CF相等吗？实用文档变 1：若 P点在直线 BC上运动，其他条件不变，则 PD 、PE与 CF的关系又怎样，请你作 图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、 9

3、，则它的周长为（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律11例 1在 ABC中， AB=AC， 1= ABC， 2= ACB， BD与 CE相交于点 O，如图， BOC的大小22与 A 的大小有什么关系？11若1= ABC， 2= ACB，则 BOC与 A大小关系如何？3311若 1= ABC， 2= ACB，则 BOC与 A大小关系如何？nn会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例 2如图，等腰三角形 ABC中， AB=AC，一腰上的中线 BD? 将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这实用文档个三角形的腰长及底边长利用等腰三角形的性质证线段相

4、等例 3如图， P 是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA、 PB、 PC，? 以 BP为边作 PBQ=60，且 BQ=BP， 连结 CQ（1）观察并猜想 AP与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论（ 2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断 PQC的形状，并说明理由例 1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ）A、 2cmB 、 8cm C 、2cm或 8cmD 、不能确定例 2、已知 AD为 ABC的高， AB=AC， ABC周长为 20cm， ADC的周长为 14cm，求 AD 的长。例 3、如图，已知 BC=3， A

5、BC和 ACB的平分线相交于点 O，OEAB，OF AC，求 OEF 的周长。例 4、如图，已知等边 ABC中， D 为 AC上中点，延长 BC到 E，使 CE=CD，连接 DE，试说明 DB=DE。A实用文档例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450 ，则这个三角形是（）A、锐角三角形B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形例 6、（ 1）等腰三角形的腰长为 10，底边上的高为 6，则底边的长为。（ 2）直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为（ 3）若直角三角形三边为 1，2， c，则 c=。例 7、下列说法：若在 ABC中 a2+b2 c2，则

6、ABC不是直角三角形；若 ABC是直角三角形， C=900，则 a2+b2=c2；若在 ABC中， a2+b2=c2，则 C=900； 若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）例 8、正三角形 ABC所在平面内有一点 P，使得 PAB、 PBC、 PCA都是等腰三角形，则这样的 P 点 有（ ）（A）1 个（ B）4 个（ C）7 个（ D）10 个例 9. 四边形 ABCD中， AB=BC， ABC=CDA=90，BEAD于点 E，且四边形 ABCD的面积为 8，则 BE= （）A2B3C2 2D 2 3例 10. 已知 A

7、BC为正三角形，P为其内一点，且 AP=4，BP=2 3 ， CP=2，则 ABC 的边长为A） 2 5（B） 2 7（C）4（D） 4 2三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于 9，求它的周长。2、在 ABC中， AB=AC， B=400，则 A=3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为4、有一个内角为 40的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140CDBA5、如图，在 Rt ABC中， C105o，直线 BD交 AC于 D， 把直角三角形沿着直线 BD翻折，点 C恰好落在斜边 AB上，实用文档如果 ABD是等腰三角形，那么 A 等于 ( )(A)40 o (B) 30

8、o(C) 25o (D ) 15o6、若 ABC三边分别为 a、（ A）等腰三角形（ B）7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是b、 c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， 直角三角形（ C）等腰直角三角形则 ABC的形状为（ ）（D）等边三角形）。A、有一腰和一角对应相等、有两边对应相等C 、有顶角和一个底角对应相等 8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 9、在等腰三角形 ABC中， A与 B度数之比为 52，则 A的度数是（、有两角对应相等）D 、底角的一半D 、 75或 100 10、如图， P、Q是 ABC边 BC上的两

9、点，且 QCAP AQ BPPQ，则11、A、 100 B 、 75 C 、150BAC（）CBDA、 1250、1200、1300、90010 题图12、如图， AB AC，A 、 60011 题图AEEC， ACE280，则 B 的度数是B、700C、 76012 题图D、45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框 AC上（端点 A、 C除外），设甲虫 P 到另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC的高为 h， 则 d与 h的大小关系是（ ）解题方法指导 】例 1. 已知，如图， ABACCD，求证： B 2DC实用文档例 2. 已知，如图， ABC是等边三角形， AD/BC，

10、AD BD，BC6，求 AD的长。考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现， 而且经常把它们结合在一道题中加以应用， 虽然题目的难度不是很大， 但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【 典型例题分析 】例 1. （2005 年 苏州）如图，等腰三角形 ABC的顶角为 120，腰长为 10，则底边上的高 AD 。例 2. 已知，如图，ABC中， C90，AB的垂直平分线交 AB于 E，交 AC于 D，AD8，A30， 求 CD的长。CB例 3. 已知，如图， ABC是等边三角形， E 是 AB 上一点， D 是 A

11、C上一点，且 AECD，又 BD与 CE 交于点 F，试求 BFE的度数。A实用文档综合测试】1.已知，如图， AB AC， ABD ACD，求证： DBDCC2.已知，如图， D、E是 BC上两点， ABAC， ADAE，求证： BDCEADAE3.已知，如图， ABC中， DE/BC， ABAC，求证：4. 已知，如图， ABC中， ABAC， D 是 AB 上一点， CE，求证： DF EFE 是 AC延长线上一点，DE 交 BC于 F，又 BD5. 已知，如图， D是 BC上一点， ABC、 BDE都是等边三角形，求证： ADCE实用文档6. 已知，如图， ABC中， B90，AC的垂

12、直平分线交 AC于 D，交 BC于 E，又 C15， EC 10，求 AB 的长。图5例 6、如图 11，在ABC中，A90，ABAC，D为BC边中点， E、F分别在 AB、 AC上，且 DE DF，求证： AE AF是一个定值 .证明：连接 AD， ABAC，D 为 BC中点， ADBC， BAC 90 ， AB AC， B C 45， BAD 45， CAD45， ADBDCD， EDF 90 ， EDA ADF90，又由 ADBC得BDEADE90， BDE ADF，在 BDE和 ADF中， B DAF，BDAD， BDE ADF， BDE ADF， BEAF， AEAFAEBEAB（定

13、值） .思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？ 例 4、如图 9，已知 AD为 ABC的高， E 为 AC上一点， BE交 AD于 F，且有 BF AC，FD CD，你认为 BE与 AC之间有 怎样的位置关系 ?你能证明它吗？ 证明：线段 BE AC，理由如下： ADBC， ADB ADC 90， FBD BFD 90，实用文档在 RtBDF和 RtADC中， BFAC，FDCD，Rt BDF RtADC， BFD C， FBD C 90， BEC 180（ FBD C） 180 9090，即 BEAC.22例 5、如图 10，在 ABC中， ACB 90， AC BC， M是

14、AB上一点，求证： AM 2 BM 2 2CM证明：过 C 作 CDAB于点 D，图10 ACB 90 ， ACBC，CDAB， A B45， ACD BCD 45 A ACD， B BCD， ADBD，BDCD，即 ADBDCD， CDAB， DM 2 CD2 CM 2 ， AM 2 BM 2 (AD DM )2 (BD DM )2 2(DM 2 CD 2) 2CM 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题 . BE2BF，即 BA AEBCBD2BC CD2(BCCF)， CD2CF， CF DF，在 CEF和 DEF中， CFDF， CFE DFE90， EFEF， CEF DEF， C

15、EDE.实用文档例 3、如图 7，已知在 ABC中， ABAC，P 为底边 BC上任意一点， PDAB于点 D，PEAC于点 E，求证： PD PE是一个定值解：连接 AP，过点 C作 CF AB于点 F，由 S ABCS PAC11AB CF ， S PAB AB PD ，112 AC PE 2 AB PE ， S ABC S PAB S PAC ，111 得： AB CF AB PD AB PE ，222即， PD PE CF （定值） .图7说明：本例的结论可用文字语言叙述为： 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高拓展： 如果点P不是在边 BC上， 而是在 BC的延长线上，其

16、它条件保持不变，那么 PD与 PE 之间又有怎得：S ABC S PAB S PAC ，1 AB CF 1 AB PD 1 AB PE ，222即,PDPE CF （定值）即，当点P 在 BC延长线上时，PD与 PE之差为定值样的关系呢？解：连接 AP，过点 C作 CF AB于点 F，（如图 8）11由 S ABC 2 AB CF ， S PAB 2 AB PD ，11S PAC AC PE AB PE ，22基础训练 ： 1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是 4、8

17、，那么它的周长是。（3）等腰三角形的对称轴最多有条。2、填空题：（ 1）如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）A、三条边长分别是 5，5，11 B 、三条边长分别是 4，4， 8C、周长为 14，其中两边长分别是 4，5 D 、周长为 24，其中两边长分别是 6， 12 （ 2）等腰三角形一边长为 2，周长为 5，那么它的腰长为（）A、3 B 、2 C 、1.5 D 、2或 1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的3 倍，周长为 35cm，求等腰三角形各边的长。4、已知：如图， AD平分 BAC， AB=AC，请你说明 DBC是等腰三角形。x+2y=43x+y=7实用文档5、

18、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，求这个三角形的各边长。（ 1）等腰三角形的顶角平分线、 互相重合。（ 2）等腰三角形有一个角是 120，那么其他两个角的度数是和 。（3） ABC中， A=B=2C，那么 C=。（ 4）在等腰三角形中，设底角为 x，顶角为 y，则用含 x 的代数式表示 y，得 y= 数式表示 x，得 x= 。2、选择题：（ 1）等腰三角形的一个外角为 140，那么底角等于（）A、 40 B 、100 C 、70 D 、40或 70（ 2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D 、底角的一半（3）在等腰三角形 ABC中， A与 B度数之比为 52，则 A的度数是（）A、 100 B 、 75 C 、150 D 、75或 100；用含 y 的代（4）等腰三角形 B= C，A、 4 B 、 3、如图，已知ABC中， AB=AC， AD是角平分线，则“ ADBC， BD=DC， BAD= CAD”中，结论正确的个数是（）3 C 、 2 DABC中， D在 BC上， AB=AD=D，C 、1D4、如图，已知 ABC中，点 D、E 在 BC上， AB=AC， AD=AE。请说明 BD=CE的理由。D E1、填空题：1）在 ABC中， A 的相邻外角是 110，要使 ABC是等腰三角形，则