概率论与数理统计习题随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布. 填空题51. 设随机变量 XB(2, p), Y B(3, p), 若P(X 1) =9, 则 P(Y 1) =9解. P(X 0)1 P(X 1)5499(1 p)2419 , p 3P(Y 1) 1 P(Y 0) 12. 已知随机变量X 只能取1, 0, 1, 232 3 1927四个数值 , 其相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 2 ,2c 4c 8c 16c解. 112c34c58c216c32 ,16c,3. 用随机变量 X 的分布函数 F(x) 表示下述概率 :P(X a) = .P(X = a) = .P(X a) = . P(x1 X x2)

2、= .解. P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a)P(X a) = 1 F(a)P(x1 X x2) = F(x 2)F(x 1)c224. 设 k 在(0, 5)上服从均匀分布 , 则4x2 4kx k 2 0有实根的概率为1解. k 的分布密度为 f(k) 500k5其它22P 4x2 4kx k 2 0有实根 = P 16k2 16k 32 051= Pk 1 或 k 2 = 5dkab5. 已知 P X k ,PY k 2 (k = 1, 2, 3), X 与 Y 独立 , 则 a = , b =kk2, Z = X + Y 的概率分布为 .b b36b 1,

3、b4 949合概率分布 aa解. a 1, a236111 / 14X Y1231ababab492ababab28183ababab31227Z = X + Y21012P2466251126721539(X, Y) 的联合分布为ab = 216 ,P(Z 2) P(X3) a9b241) P(X2,Y3) P(X1,Y 2) 660) P(X3,Y3) P(X2,Y 2) P(X1) P(X2,Y1) P(X3,Y 2) 1 2 62) P(X3,Y1) P(X3)P(Y 1) ab1,Y 3) P(X 1)P(YP(ZP(ZP(ZP(Z721,Y 1) 2516. 已知(X, Y)联合密

4、度为 (x,y)csin(x y)00 x,y4, Y 的边其它缘概率密度 Y (y) ./4 /4解.csin(x y)dxdy 1, c 2 100所以 (x,y)( 2 1) sin( x y)00 x, y4其它Y(y)(x,y)dx 4 ( 2 1) sin( x y)dx ( 2 1)(cos y cos( y) 04 / 14所以 Y(y) ( 2 1)(cos y cos(4 y) 0 y 40 其它127. 设平面区域 D由曲线 y 及直线 y 0,x 1,x e2围成, 二维随机变量 (X, Y) 在D上 x服从均匀分布 , 则(X, Y)关于 X的边缘密度在 x = 2处

5、的值为 .解. D 的面积2. 所以二维随机变量 (X, Y) 的密度为 :e2 1 dx 1x(x,y) 20(x, y) D 其它下面求 X 的边沿密度 : 当 x e2 时X (x) 0 当 1 x e2 时X (x)111 (x,y)dy 0x 2dy121x, 所以 X(2)8.1,体 N( ,解.若 X1, X 2, , Xn 是 正 态 总1(X1 X2Xn) 服从n独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布2) 的组简1n1nE XiE(X i)n i 1 n i 11DXini1n12n i 1D(Xi ) n2所以 X N( , ) n9. 如果(X, Y) 的联合分布用下

6、列表格给出(X, Y)(1, 1)(1, 2)(1, 3)(2, 1) (2, 2)(2, 3)P111169183且X 与Y 相互独立 , 则 = , = 解.X Y12311/61/91/1821/33 / 14P(X 2) 1 , P(Y 2) 1 , P(Y 3)391 , P(Y 1)18632P(Y 1)2P(Y 2) P(Y 3) 13P(X 2,Y2)P(X 2,Y3)1P(X 2)P(Y 2) (31P(X 2)P(Y 3) (3191)( 1 )18)( ), 解得2 , 1,9两式相除得两式相除得 11810.设(X, Y) 的联合分布律为i. Z = X + Y2iii

7、. U= X + Y2 的分布律 解.X + Y3213/21/213P1/121/123/122/121/122/122/12XY1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2 + Y215/4311/42157P2/121/121/121/123/122/122/12二. 单项选择题的分布函数x01. 如下四个函数哪个是随机变量 Xx21(A) F(x) 1222 x 0,(B) F(x)sinx0xx04 / 140x0(C) F(x)sin x0x/2,1x /20x0(D) F(x)10x1x321x1解. (A)不满足 F(+ ) = 1, 排

8、除(A); (B)不满足单增 , 排除(B); (D)不满足 F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除 (D); (C) 是答案 .2. P(X k) c ke /k!(k 0,2,4, )是随机变量 X 的概率分布 , 则 , c 一定满足(A) 0 (B) c 0 (C) c 0 (D) c 0, 且 0解. 因为 P(X k) c ke /k!(k 0,2,4, ), 所以 c 0. 而 k为偶数, 所以 可以为负 . 所以(B)是答案 .3. X N(1, 1), 概率密度为 (x), 则(A) p(X 0) P(X 0) 0.5 (B) (x) ( x), x ( , )(C)

9、 p(X 1) P(X 1) 0.5(D) F(x) 1 F( x), x ( , )解. 因为 E(X) = = 1, 所以 p(X 1) P(X 1) 0.5. (C)是答案 .4. X, Y 相互独立 , 且都服从区间 0, 1 上的均匀分布 , 则服从区间或区域上的均匀分布的随 机变量是(A) (X, Y)(B) X + Y2(C) X2(D) X Y解 . X (x)0x1其它Y (y)0y1其它. 所以(X, Y) (x,y)1 0其它x, y 1 .所以(A)是答案 .0 其它0x5. 设函数 F(x)5. 设函数 21x0x1(A) F(x) 是随机变量 X 的分布函数 .(B

10、) 不是分布函数 .(C) 离散型分布函数 . (D) 连续型分布函数 . 解. 因为不满足 F(1 + 0) = F(1), 所以 F(x)不是分布函数 , (B)是答案 .6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量的分布函数是(A) FZ(z)= max FX (z),FY(z)它们的分布函数为 FX(x),FY(y), 则 Z = max(X, Y)(B) FZ(z) = max |FX(z)|,|FY(z)|(C) FZ(z)= FX (z)FY (z)(D) 都不是5 / 14解. FZ (z) P(Z z) Pmax( X,Y) z P X z且Y z因为独立 P(X z)P(Y

11、z) FX ( z) FY ( z) .(C) 是答案 .7. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量 , 其分布函数分别为 FX (x),FY(y), 则 Z = min(X, Y) 的分布函数是(A) FZ (z)= FX (z)(B) FZ(z)= FY (z)(C)FZ (z)= min FX (z),FY(z)(D) FZ (z)= 11 FX (z) 1 FY (z)解.因为独立FZ (z) P(Z z) 1 P(Z z) 1 Pmin( X,Y) z 1 PX z且Y z 1 1 P(X z)1 P(Y z) 1 1 FX (z)1 FY ( z)(D) 是答案 .8. 设 X

12、的密度函数为1(x) , 而 (x)2 , 则 Y = 2X (1 x2)的概率密度是(A)2(1 4y2 )(B)2(4 y2)(C) 12(1 y2 )(D) 1 arctan y解. FY(y) P(Y y) P2X y P(X 2y) FX (2y)Y(y) FY (y) FX(2y)X (2y)2 1 (y)22(4 y2 )(B) 是答案 .9. 设随机变量 (X, Y) 的联合分布函数为 (x,y)e (x y)x 0, y 其它0, 则 Z X Y2的分布密度是(A)Z(Z)1e (x y)x 0, y 0 其它(B) Z (z) e 0xy2x 0,y 0 其它(C)Z(Z)

13、4ze2z(D)Z (Z) 201ezz0z0解.ZX是一维随机变量 , 密度函数是一元函数, 排除 (A), (B).6 / 141 z 1 0 2e dz 2 , 所以 (D) 不是答案 . (C) 是答案 .注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算 Z 的密度 :当z 0时FZ (z) 0FZ (z) P(Z z) P(XY2当 z 0时z) P(X Y 2z) (x,y)dxdyx y 2z2ze 2ze 2zZ(z) FZ(z)4ze z 0, (C)是答案 .0 z 0X和 Y分别服从正态分布N(0, 1) 和 N(1, 1), 则下列结论正10. 设

14、两个相互独立的随机变量确的是(A) PX + Y 0 = 1/2(C) PX Y 0 = 1/2(B) PX + Y 1 = 1/2(D) PX Y 1 = 1/2解 . 因为 X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X和 Y相互独立, 所以X + Y N(1, 2),XY N(1, 2)于是 PX + Y 1 = 1/2, (B) 是答案 .11. 设随机变量 X 服从指数分布 , 则 Y = minX, 2 的分布函数是(D) 恰好有一个间断点(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 解 . 分布函数 :FY(y) P(Y y) P(m i

15、nX(,2) y) 1 P(m i nX(,2) y)当 y 2时FY(y) 1 P( m i nX(,2) y) 1 0 1当 0 y 2时FY(y) 1 P( mi nX(,2) y) 1 (X y,2 y)1 P(X y) P(X y) 1 e y 当y 0时FY(y) 1 P( m i nX(,2) y) 1 (X y,2 y)1 P(X y) P(X y) 0于是1FY(y)1 e y0y20y2y0只有 y = 2 一个间断点 , (D)是答案 .7 / 14P(X13P(X2) P(A2 A1)P(A2 |A1)P(A1)10 312 13三 . 计算题1. 某射手有 5 发子弹

16、 , 射击一次的命中率为 0.9, 如果他命中目标就停止射击 , 不命中就一 直到用完 5发子弹 , 求所用子弹数 X的分布密度 .解. 假设 X 表示所用子弹数 . X = 1, 2, 3, 4, 5.i1P(X = i) = P(前i1次不中, 第i次命中) = (0.1)i 1 0.9, i = 1, 2, 3, 4.当 i = 5时, 只要前四次不中 , 无论第五次中与不中 , 都要结束射击 (因为只有五发子弹 ). 所 以 P(X = 5) = (0.1)4 . 于是分布律为X12345p0.90.090.0090.00090.00012. 设一批产品中有 10件正品 , 3件次品,

17、 现一件一件地随机取出 , 分别求出在下列各情形中 直到取得正品为止所需次数 X 的分布密度 .i. 每次取出的产品不放回 ; ii. 每次取出的产品经检验后放回 , 再抽取 ; iii. 每次取出一件产 品后总以一件正品放回 , 再抽取 .解. 假设 Ai表示第 i 次取出正品 (i = 1, 2, 3, )X1234p1010 310231231312 13111213111213i. 每次取出的产品不放回1)P(A1)1010 2 3 P(X 3) P( A1 A2 A3 ) P(A3|A2)P(A2 |A1)P(A1)11 12 131 2 3 P(X 4) P(A4|A3)P(A3

18、|A2)P(A2 |A1)P(A1) 111 12 13ii. 每次抽取后将原产品放回X12 k p103 103 k 1 31313 1313 13P(X k) p(A1 Ak 1Ak) P(A1) P(Ak 1)P(Ak) 133 1103, (k = 1, 2, )13 13iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 18 / 141013P(X1) P(A1)3 11 3 2 1213 13 13 13 13101 1 2 313 13 1313P(X112) P(A2A1) P(A2 |A1)P(A1)13313P(X3) P(A1 A2A3) P(A3 |A2 A1)P(A2 |A1)

19、P(A1) 1123P(X4) P(A4 | A3 A2 A1)P(A3 |A2 A1)P(A2 |A1)P(A1) 12131133132133133. 随机变量X 的密度为 (x) 1c2x 0|其x它| 1, 求 : i. 常数其它c; ii.11X 落在 ( , ) 内22的概率 .1解. 1(x)dx11c1dx 2c arcsin x|0 2c c , x22P(X ( 1/2,1/2)1/21/21 dx2 ar c sixn|10/2 264. 随机变量 X 分布密度为2i. (x) 1 x20|x| 1 其它ii. (x)2x x00x11x2其它求 i., ii 的分布函数

20、 F(x). 解. i. 当 x 1时xxF(x)(t)dt0dt 0当 1 x 1 时F(x)(t)dt2 1 t 2dtx 1 x21 arcsin x112 当 x 1时F(x) (t)dt 1 2 1 t2dt 11x11x1x10所以 F(x) x 1 x2 1 arcsin x 1 2 1ii. 当 x 0 时xxF(x) (t)dt 0dt 09 / 14当 0 x 1时F(x)x(t)dtx0tdt当 1 x 2时2x 1x 1 xF(x) (t)dt 0tdt 1 (2 t)dt 当 2 x时x 1 2F(x) (t)dt 0tdt 1 (2 t)dt 1所以02xF(x)

21、2 2x212x 1x00 x 1 1x2 x25. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数(x)40 2 exp(x 20)23200试求 : i. 测量误差的绝对值不超过 30 的概率 ;ii. 接连独立测量三次 , 至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概率 .解.因为 (x)40 2 exp(x 20)232002 x 0 时F(x) P(X x) P( D当 4x 5, 即 x254时F(x) = 0当 5 4x 6,25即 25 x 9 时F(x) P(X x) P( D 2 x)4x D 4x= 1dt54x 511 / 14xF(x) (t)dt656

22、 dt 125x051所以 F(x)25x94x925密度 (x) F(x) x0x94其它8. 已知 X 服从参数 表 2 所示 表1Yp = 0.6 的 0 1 分布在 X = 0, X = 1 下 , 关于Y 的条件分布分别为表1、212 求(X, Y) 的联合概率分布 解. X 的分布律为P(Y|X = 0)p(X, Y) 的联合分布为表2YP(Y|X = 1)4, 以及在 Y 1 时 , 关于 X 的条件分布 .P(X1,Y1)P(X2)P(Y 2| X10.600.41) 1211)611)310)4 10,Y 2) P(Y 2| X 0)P(X 0)2 1P(X 0,Y 3) P(Y 3| X 0)P(X 0)4P(XP(XP(XP(X1,Y3)0,Y 1)所以 Y 的分布律为P(Y 3|X 1)P(XP(Y 1|X 0)P(X35353 0.252 0.152 0.252 0.150.30.1Y123p0.40.30.3P(X 0|Y 1) P(X 0,Y 1) 0.3 0.50.6P(Y 1)12 / 14P(X 1|Y 1) P(X 1,Y 1) 0.3P(Y 1)0.6 0.5所以X|Y 101p0.50.5X 与 Y 相互独立 , 并在区间9. 设随机变量0, 9上服