集合间的基本关系讲义

1、1 . 1 . 2集合间的基本关系一、子集（一）子集：对于两个集合 a、b，如果集合 a 中任意一个元素都是集合 b 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 a 为集合 b 的子集， a b（或 b a），记作读作“a 含于 b”（或“b 包含a”）数学语言表示形式为：若对任意的 xa 有 xb，则 a b 子集关系用文氏图表示为：a b（或 b a）根据子集的定义，我们可以知道aa，也就是说任何集合都ba是它本身的一个子集.对于空集f，我们规定f a，即空集是任何集合的子集。例 1：用适当的符号填空0_0 f _02_22_n2_n变式练习 1：已知 axx23x20，b1，2，cx

2、x8，xn， 用适当的符号填空 a_ba_c2_c2_c例 2：写出集合 a , b, c, d 的所有子集。【解析】集合 a , b, c, d 的所有子集可以分为五类，即：（1） 含有 0 个元素的子集，即空集 f；（2） 含有一个元素的子集： a,b,c,d ；（3） 含有二个元素的子集： a , b,a, c,a, d,b, c,b, d,c , d ；（4） 含有三个元素的子集： a , b, c,a , b, d ,a , c, d ,b, c, d；（5） 含有四个元素的子集： a , b, c, d .2222结论：如果集合 a 中有 n 个元素，则集合 a 共有 2n个子集变

3、式练习 1：已知集合 axn 1x4，则集合 a 的子集有_个。【解析】：8 个（二）、集合相等：如果集合 a 是集合 b 的子集（a b），a( b )且集合 b 是集合 a 的子集（b a），则集合 a 与集合 b 相等，记作集合 a集合 b。即：a b 且 b a 则 ab。（上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例 3：已知集合 a 和集合 b 都是含三个元素的集合，且集合 aa，ab，a 2b，ba，ac，ac2，若 a b 且 b a，求 c 的值。【解析】（1）若 a +b =ac a +2b =ac2消去 b 得：ac a2ac0，a0 时，集合 b 中的三元素均为零，和元

4、素的互异性相矛盾，故 a0c 2c10，即 c1，但 c1 时，b 中的三元素又相同，此时无解a +b =ac 2（2）若 消去 b 得：2ac aca0，a +2b =ac1a0，2c c10，即(c1)(2c1)0，又 c1，故 c 。2变式练习：已知集合 a 和集合 b 都含有三个元素，ax，xy，xy，b 0，x，y，若 a b 且 b a，求 2xy 的值。【解析】：由集合的互异性，xy0，则 xy，此时 ax，x2，0，b0，x，x，则 x2x且 xx2，故 xy1，此时 a1，1，0，b0，1，1，符合题意，综上所述，2xy3。（三）、真子集：如果集合 a b，但存在元素 xb，

5、且 x a，我们称集合 a 是集合 b 的真子集。记：a b（或 b a）a 真含于 bb 真包含 a注意：即如果 a b 且 ab，那么集合 a 是集合 b 的真子集，记作 a b（或 b a）。例如1，2 n、a，b a，b，c等。子集与真子集的区别在于 “a b”允许 ab 或 a b，而 a b 是不允许“ab”的，所以如果 a b 成立， 则一定有 a b 成立；但如果有 a b 成立，a b 不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 例 4：分别写出集合a，a，b和a，b，c的所有子集和真子集。集合a的子集有 f，a，共有 2 个子集；真子集有a，共 1 个真

6、子集。集合a，b的子集有 f，a，b，a，b，共有 4 个子集；真子集有 f，a，b，共 3 个真子集。集合a，b，c的子集有： f，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，共有 8 个即个子集；真子集有 f，a，b，c，a，b，a， c，b，c，共 7 个真子集。 结论：如果集合 a 中有 n 个元素，则集合 a 共有 2n 个子集 ；2n 1 个真子集。 例 5：有适当的符号填空。（1） a2，3，6bxx 是 12 的约数a_b（2） a0，1bxx2y21，yna_b（3） ax1x2bx2x2a_b（4） a(x，y)xy0b(x，y)x0，y0a_b（5）axx21byy2

7、2y40a_b【解析】：（1） （2） （3） （4） （5）变式练习 1：已知集合 a0，1，bzzxy，xa，yb，则 b 的子集 有（）a：8 个 b：2 个 c：4 个 d：7 个【解析】：集合 b 中有 3 个元素，子集有 8 个。ax +1变式练习 2：已知集合 axz 0 ，byyx2x -31，xa，则集合 b 的含有元素 1 的子集个数为（）a：5b：4c：3d：2【解析】：axz1x31，0，1，2，则 b1，2，5，则集 合 b 的含有元素 1 的子集有1，1，2，1，5，1，2，5共四个，b1 b 1变式练习 3：已知 axx a ， a z，bxx ， b z，c6

8、2 3c 1xx ， c z，则集合 a、b、c 满足的关系是（）2 6a：ab cb：a bcc：a b cd：b c a【解析】：a6x6x6 a 1， a z，b6xx3 a 2 3( a 1)1， b z，c6xx 3c 1， c z。则 a bcb变式练习 4：已知 axy x2-2 x +1 ，byy x2-2 x +1 ，cxx2-2 x +1 0，dx x2-2 x +1 0，e(x，y)y x2-2 x +1 ，则下列结论正确的是（）a：a b c db：d c b ac：bed：ab【解析】：b变式练习 5：若集合 a 满足1，2 a 1，2，3，4，则满足条件的集合 a

9、的 个数为_个。【解析】：4 个二、子集的有关性质1、空集f：我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为 f，并规定：空集 是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集 f只有一个子集就是它本 身，而空集没有真子集 。2、子集与真子集的性质（1） 任何集合是它本身的子集，即 a a；（2） 对于集合 a、b、c，如果 a b 且 b c，那么 a c；（3） 对于集合 a、b、c，如果 a b，且 b c，那么 a c；（4） 空集 f是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例 5：下列集合只有一个子集的是（）a：xx20b：xx30c：xx20d：xx30【解析】：c例 6：下列表述正确的

10、是（）a： f0b： f0c： f0d： f0 【解析】：b例 7：设 ax2m1xm3，bxrx210问 m 为何值时能使得 ab。【解析】（1）显然 b f，欲使 ab，必须且只需 a f即可。由于 2m1m3 可得 m4，此时 ax2m1xm3 f. 综上可知，当 m4 时，ab例 8：已知集合 axx2x20，bxx a 0，若 b? a，则 a_。【解析】易求 a2，1，b1或2 当 b1，a1；b2，a2 综上：a1 或 a2变式练习 1：已知集合 axx28x150，bx a x10，若 b? a，则 a _。1 1【解析】：0 或 或3 5例 9：设集合 ax ( x +1)(

11、 x -4) 0，bxx a ，若 a b?，则 a 的取值 范围是_。【解析】： a 4变式练习 1：已知集合 ax3x5，若集合 bx2m1xm 1，若 a b?，则求 m 的取值范围。m +1 5【解析】2m135m1，即 m4-2 m -1 -3变式练习 2：集合 ax2x5，bxm1x2m1，若 b a，则 求 m 的取值范围。【解析】：（1）若 b f，即 m12m1 时，即 m2；（2）若 b f，则 m满足m +1 2 m -1m +1 -2 解之得 2m3，综上所述，m3 2 m -1 5变式练习 2：已知函数 f(x) x2+ax +b （ a 、 b r），且集合 axx

12、f(x)，bxxff(x)，（1）求证：a b?；（2）当 a1，3时，用 列举法表示 b。【解析】：（1）任取 xa，则有 xf(x)，则 ff(x)fxx，故 xb，故 a b；-1=1-a +b a =-1（2）a1，3，故 得 ，故 f(x) x3 =9 +3a +b b =-32-x -3 ，ff(x) ( x2-x -3)2-( x2-x -3) -3 ，故 ( x2-x -3)2-( x2-x -3) -3 x( x2-x -3)2-x2=0 ，x3，x1，x 3 ，故 b1，3， 3 ，- 3 课后综合练习1、下列关系中正确的个数为（ ）00， f 0，0，1 (0，1)，(

13、a ， b )( b ， a ) a：1 b：2 c：3 d：4【解析】：b2、下列图形中，表示 m n 的是（）mnnm mn mnabcd【解析】：cb3、设 a 、 b r，集合1， a b ， a 0， ， b ，则 b a （ ）aa：1b：1c：2d：2【解析】：c1 1 94、设集合 axx k ， k z，若 x ，则下列关系正确的是（）2 4 2a：x ab：xacxadx a【解析】：a5、用适当的符号填空：（1） f_xx210；（2）1，2，3_n；（3）1_xx2x0；（4）0_xx22x0【解析】： 6、已知集合 ax1x4，bxx a ，若 a?b，求实数 a 的取值范围 _。【解析】： a 47、已知 axx23x20，bx a x20且 b a，则实数 a 组成的集合 c 是_。【解析】：0，2，18、写出集合 ax0x3，xn 的真子集。【解析】：3 个9、已知 mx2x5，nx a 1x2 a 1。 （1）若 m n，求实数 a 的取值范围。（2）若 m n，求实数 a 的取值范围。【解析】