高三数学二轮复习轨迹方程专题理

1、，百度文库 - 让每个人平等地提升自我高三广二模复习圆锥曲线专题三轨迹方程 一、定义法：要求牢记各种曲线的定义及特点例 1：一动圆与圆x2 +y 2 +6 x +5 =0 外切，同时与圆 x 2 +y 2-6 x -91 =0内切，求动圆圆心 m 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。分析：设动圆圆心为m ( x, y )，半径为r，设已知圆的圆心分别为o1、o2，将圆方程分别配方得：( x +3)2 +y 2 =4 ， ( x -3) 2 +y 2=100，当m与o1相切时，有| o m |=r +2 1当m 与 o 相切时，有 | o m |=10 -r 2 2将两式的两边分别相加，得| o

2、 m | +| o m |=12 1 2，即( x +3)2 +y 2 + ( x -3)2 +y 2 =12所以点m的轨迹是焦点为o ( -3,0)1、o (3,0)2，长轴长等于12 的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 解答过程：写法一：解：设 动圆圆心为m ( x, y )，已知圆的圆心分别为o 、 o1 2，且o ( -3,0)1，o (3,0)2由题设得：( x +3)2 +y 2 + ( x -3)2 +y 2=12整理得：x 2 y 2+ =136 27。所以，动圆圆心的轨迹方程是x 2 y 2+ =136 27，轨迹是椭圆。写法二：解：设动圆圆心为m ( x,

3、 y )，已知圆的圆心分别为 o 、o 且 o ( -3,0) ，o (3,0)1 2 1 2由题设得：| o m | +| o m |=12 o o 1 2 1 2所以点 m 的轨迹是焦点为 o ( -3,0) 、o (3,0) ，长轴长等于12 的椭圆，并且椭圆的中1 2心在坐标原点，焦点在 x 轴上，2c =6，2 a =12，c =3，a =6，b2=36 -9 =27，圆心轨迹方程为x 2 y 2+ =136 27。所以，动圆圆心的轨迹方程是 自我演练：x 2 y 2+ =136 27，轨迹是椭圆。1、若点p到直线x =-1的距离比它到点(2，0) 的距离小 1，则点p的轨迹方程为_

4、2、设圆 c 与两圆( x + 5)2+y2=4,( x - 5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切。1)( )2百度文库 - 让每个人平等地提升自我求 c 的圆心轨迹 l 的方程;二、直接法（几何法）：找出几何关系，直接利用几何关系建立式子例 2、已知动点 p到定点f(2,0的距离与点 p到定直线l：x =2 2的距离之比为22求动点 p 的轨迹 c 的方程；分析：先找出几何关系，pf 2=d 2解：设点p (x,y )，依题意，有x - 2 +y x -2 22=22整理，得x 2 y 2 x 2 y 2 + =1 所以动点 p 的轨迹 c 的方程为 + =14 2 4 2自我演练1、已

5、知椭圆的焦点是 f 、f ，p 是椭圆上的一个动点，如果延长 f p 到 q，使得|pq|pf |，1 2 1 2那么动点 q 的轨迹是( )a圆 b椭圆 c双曲线的一支 d抛物线2、已知点f (0,1)，直线l： y =-1， p为平面上的动点，过点 p作直线l的垂线，垂足为q ，且 qp qf =fp fq 求动点 p 的轨迹 c 的方程；x2 y2 33、已知椭圆 c ： 1(ab0)的离心率为 ，直线 l：yx2 与以原点为圆心、椭1 a2 b2 3圆 c 的短半轴长为半径的圆 o 相切 (1)求椭圆 c 的方程；1 1(2)设椭圆 c 的左焦点为 f ，右焦点为 f ，直线 l 过点

6、 f 且垂直于椭圆的长轴，动直线1 1 2 1 1l 垂直于 l ，垂足为点 p，线段 pf 的垂直平分线交 l 于点 m，求点 m 的轨迹 c 的方程 2 1 2 2 2220 20百度文库 - 让每个人平等地提升自我三、相关点代入法：要求 q 的轨迹方程，则先求 r 的轨迹方程，借用 r 的方程代入例 3：设 p 为双曲线x 24-y21 上一动点，o 为坐标原点，m 为线段 op 的中点，求点 m 的轨迹方程.分析：点 m 是由点 p 产生的，而题目中点 p 轨迹已知即为双曲线，故借用 p 的轨迹代入 解：设点 m（x，y），点 p（x ，y ）0 0x =x y 0 , y = 0 2

7、 2即 x 2x，y 2y0 0代入x4-y =14 x 2得 4y21 即 x24y21 4所以点 m 的轨迹方程为 x24y21自我演练11、已知 f 是抛物线 y x2 的焦点，p 是该抛物线上的动点，则线段 pf 中点的轨迹方程是4（ ）1 1ax2y bx22y2 16cx22y1dx22y22、如图，设是圆x2+y2=25上的动点，点是在 x 轴上投影，为 pd 上一点，且| md |=45| pd |（1）当 p 在圆上运动时，求点 m 的轨迹 c 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被 c 所截线段的长度3122222222 21 22 2百度文库 - 让每个人平等

8、地提升自我四、交轨法例 4：已知双曲线x 22-y2=1的左、右顶点分别为a , a ,点 p ( x , y ) , q ( x , -y ) 1 2 1 1 1 1是双曲线上不同的两个动点.求直线 a p 与 a q 交点的轨迹 e 的方程1 2解 : (1) a , a 为双曲线的左, 右顶点,它们的坐标为a ( - 2,0), a ( 2,0).1 2 1 2y -0 -y -0则a p : y = 1 ( x + 2), a q : y = 1 ( x - 2),x + 2 x - 21 1两式相乘得 : y 2 =-y1x -21( x 2 -2).点p( x , y )在双曲线上

9、, 所以 1 1x12-y =1,1即y 1 1 x 21 = , 故y 2 =- ( x 2 -2), 即 +y 2 =1. x -2 2 2 21经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹 e 的方程为x 22+y 2 =1 ( x 0, 且 x 2).x y自我演练：已知双曲线 - =1(m0,n0)的顶点为 a 、a ，与 y 轴平行的直线 l 交双m n曲线于点 p、q.求直线 a p 与 a q 交点 m 的轨迹方程；1 24212百度文库 - 让每个人平等地提升自我高三广二模复习圆锥曲线专题三轨迹方程 2013-4-7变式：设圆 c 与两圆( x + 5)2+y2=4,(

10、 x - 5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切。（1）求 c 的圆心轨迹 l 的方程;（2）已知点 m(3 5 4 5,5 5), f ( 5,0)，且 p 为 l 上动点，求mp - fp的最大值及此时点 p 的坐标解：设 c 的圆心的坐标为( x , y )，由题设条件知| ( x + 5)2+y2- ( x - 5)2+y2|=4,化简得 l 的方程为x 24-y2=1.（2）解：过 m，f 的直线l方程为y =-2( x - 5)，将其代入 l 的方程得15 x 2 -32 5 x +84 =0.解得x =16 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x = , 故l

11、与l交点为t ( , - ), t ( , ).5 15 5 5 15 15因 t 在线段 mf 外，t 在线段 mf 内，故 1 2| mt | -| ft | =|mf |=2, 1 1| mt | -| ft | |mf |=2. 2 2，若 p 不在直线 mf 上，在dmfp中有| mp | -| fp | |mf |=2.故| mp | -| fp |只在 t 点取得最大值 2。 11、已知点f (0,1)，直线l： y =-1， p 为平面上的动点，过点 p 作直线 l 的垂线，垂足为q ，且 qp qf =fp fq 求动点 p 的轨迹 c 的方程；解：设p(x, y)，则q(x

12、, -1)，qp qf =fp fq ， (0,y +1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2)即2 (y+1)=x2-2(y-1)，即x2 =4 y ，所以动点 p 的轨迹 c 的方程 x 2=4 yx2 y22、已知椭圆 c ： 1(ab0)的离心率为1 a2 b2533，直线 l：yx2 与以原点为圆心、椭pp12百度文库 - 让每个人平等地提升自我圆 c 的短半轴长为半径的圆 o 相切 (1)求椭圆 c 的方程；1 1(2)设椭圆 c 的左焦点为 f ，右焦点为 f ，直线 l 过点 f 且垂直于椭圆的长轴，动直线1 1 2 1 1l 垂直于 l ，垂足为点 p，线段 pf 的垂直平

13、分线交 l 于点 m，求点 m 的轨迹 c 的方程 2 1 2 2 23 b2 2解：(1)由 e ，得 1e2 ；3 a2 3由直线 l：xy20 与圆 x2y2b2相切，得22|b|.x2 y2所以，b 2，a 3 所以椭圆的方程是 1.3 2(2)由条件，知|mf |mp|，即动点 m 到定点 f (1,0)的距离等于它到直线 l ：x1 的距2 2 1离，由抛物线的定义得点 m 的轨迹 c 的方程是 y24x.2如图，设是圆x 2 +y 2 =25上的动点，点是在x轴上投影，为 pd 上一点，且| md |=45| pd |（1）当 p 在圆上运动时，求点 m 的轨迹 c 的方程；（2

14、）求过点（3，0）且斜率为45的直线被 c 所截线段的长度【解】（1）设点 m 的坐标是( x , y )，p 的坐标是( x , y ) p p，因为点是在 x 轴上投影，为 pd 上一点，且| md |=4 5 | pd | ，所以 x =x ，且 y = y5 4，p 在圆x2+y2=25 上， x2+(54y)2=25，整理得x 2 y 2+ =125 16，即 c 的方程是x 2 y 2+ =125 16（2）过点（3，0）且斜率为4 4的直线方程是 y = ( x -3) 5 5，设此直线与 c 的交点为a( x , y ) ， b ( x , y ) 1 1 2 2，将直线方程y

15、 =45( x -3)代入 c 的方程x 2 y 2+ =125 16得：x 2 ( x -3)2+ =1 ，化简得 x 25 2523 - 41 3 + 41-3 x -8 =0 ， x = ， x = ，2 2所以线段 ab 的长度是| ab |=( x -x ) 2 +( y -y ) 2 = (1 + 1 2 1 21625)( x -x ) 1 22=641 4141 =25 541，即所截线段的长度是 52 21 22 2222 22 221222222 22 2自我演练：已知双曲线百度文库 - 让每个人平等地提升自我x y- =1(m0,n0)的顶点为 a 、a ，与 y 轴平行的直线 l 交双 m n曲线于点 p、q.求直线 a p 与 a q 交点 m 的轨迹方程；1 2解：(1)设 p