10.数学史第十讲：19世纪的几何与分析II

1、第十讲第十讲 1919世纪的几何与分析世纪的几何与分析IIII l 分析的拓展分析的拓展 l 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 分析的拓展分析的拓展 l 复变函数论复变函数论 l 解析数论解析数论 l 微分方程微分方程 x Q - y P , y Q x P 复变函数论复变函数论 n 1782-1812 1782-1812年拉普拉斯年拉普拉斯( (法法, 1749-1827), 1815, 1749-1827), 1815年泊年泊 松松( (法法, 1781-1840), 1781-1840)讨论了复函数的积分讨论了复函数的积分 泊泊 松松 复函数的偏导数与积分性质复函数的偏导数与积分性质

2、 17521752年和年和17771777年获得了达朗年获得了达朗 贝尔贝尔- -欧拉条件欧拉条件( (柯西柯西- -黎曼条件黎曼条件) ) v奠基人奠基人 柯西柯西( (法法, 1789-1857), 1789-1857) 黎曼黎曼( (德德, 1826-1866), 1826-1866) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯( (德德, 1815-1897), 1815-1897) v柯西柯西( (法法, 1789-1857 ): , 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和积分理论建立复变函数的微分和积分理论 复变函数论复变函数论 n 1814年, 1825年的论文详细讨论了复函 数的积分关于

3、积分限为虚数的定积分的 报告, 建立了柯西积分定理 0d C zf(z)柯西积分定理 n 1826年提出留数概念 n1846年发现积分与路径无关定理 )( 2 1 )( 0 0 zz dzzf i zf柯西积分公式 n 1831年获得柯西积分公式 1789年法国爆发大革命 1792年建立第一共和国 17991815年拿破仑当政 18141830年波旁王朝复辟 18301848年七月王朝 1848年建立第二共和国 18521870年第二帝国 复变函数论复变函数论 柯西, 一个复杂的人：多产的科学家、忠诚的保王党人、不出色的教师 父亲支持拿破仑, 与拉普拉斯、拉格 朗日交往颇多 1805年进入巴黎

4、综合工科学校学习工 程, 1810-1815参加拿破仑工程建设 1816年法国科学院院士、综合工科学 校教授，1821年巴黎大学教授 1821-1829年出版三部微积分重要著 作, 成为数学分析严格化的开拓者和复 变函数论的奠基人 1830-1838年离开法国: 到瑞士, 1831年在都灵, 1833年在布拉格 1849年任巴黎理学院数学天文教授, 1853-1857年任法兰西学院数学教授 发表论文800多篇，全集28卷 柯西柯西( (法法, 1989 ), 1989 ) v黎曼黎曼( (德德, 1826-1866) : , 1826-1866) : 黎曼面黎曼面 复变函数论复变函数论 n18

5、511851年博士论文年博士论文单复变函数一般理论基础单复变函数一般理论基础 n黎曼映射定理：黎曼映射定理：存在唯一解析函数将单连通区域D双方单 值保形映射为单位圆 阿尔福斯（芬美，19071996年）：这篇 论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的 萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新 了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究 铺平了道路。 v魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯( (德德, 1815-1897), 1815-1897) v1919世纪世纪4040年代建立了幂级数基础上的解析函数理论年代建立了幂级数基础上的解析函数理论 v解析开拓解析开拓 v占据占据主导地位主导地位，三者统一，三者统一 复

6、变函数论复变函数论 克莱因（德，18491925年）：“黎 曼具有非凡的直观能力，他的理解天才 胜过所有同代数学家。魏尔斯特拉 斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系 统地逐步前进。在他工作的分支中，他 力图达到确定的形式。” 解析数论解析数论 l 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题 l 1859年黎曼(德, 1826-1866) 论不超过一个给定值的素数个 数: (x)与(s) . , 中有无穷多个素数 则算术序列互素与若nbaba l 1896年阿达玛(法, 1865-1963) 和瓦莱普桑(比利时, 1866-1962) 证明了素数定理(x)x/lnx 狄里克雷定理

7、l 1737年欧拉恒等式: 解析数论 1s , )1/p-(1 1 n 1 1np ss 解析数论解析数论 阿达玛(法, 1865-1963) 瓦莱普桑(比利时, 1866-1962) 黎曼猜想黎曼猜想(1859)(1859) 解析数论解析数论 1 1 )( k z k z 素数分布的研究推向壮丽巅峰 为数学家留下魅力无穷的谜团 黎曼猜想黎曼猜想(1859)(1859) 解析数论解析数论 黎曼猜想黎曼猜想(1859)(1859) 解析数论解析数论 达朗贝尔达朗贝尔( (法国法国, 1959), 1959) 偏微分方程偏微分方程 2 2 2 2 2 x u c t u t)-(xt)(x x)u

8、(t, 通解 1n cossin l n l n au(t, x) n 特解 n 1747 1747年和年和17491749年达朗贝尔年达朗贝尔( (法法, 1717-, 1717- 1783)1783)和欧拉和欧拉( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)求出解求出解 n 弦振动方程：弦振动方程：17151715年和年和17271727年泰勒年泰勒( (英英, , 1685-1731)1685-1731)和约翰和约翰伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748) 分别提出分别提出 n 1753 1753年丹尼尔年丹尼尔伯努利伯努利( (瑞瑞, 1700

9、-1782), 1700-1782) 导出了具有正弦周期模式的解导出了具有正弦周期模式的解 偏微分方程偏微分方程 拉普拉斯拉普拉斯( (法法, 1955), 1955) 0 z V y V x V 2 2 2 2 2 2 0 2 l 拉普拉斯拉普拉斯: 1773: 1773年进入巴黎科学院年进入巴黎科学院, 1796, 1796年任年任 法兰西科学院院长法兰西科学院院长, 1799, 1799年任内政部长年任内政部长, 1803, 1803年年 任上议院议长任上议院议长, 1817, 1817年再任法兰西科学院院长年再任法兰西科学院院长, , 并并 封爵封爵 l 17891789年研究制定公制

10、系统年研究制定公制系统 n位势方程位势方程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )：17521752年欧拉年欧拉 ( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)提出，拉普拉斯提出，拉普拉斯( (法法, , 1749-1827) 17851749-1827) 1785年用球调和函数求解年用球调和函数求解 l 1796 1796年年宇宙体系论宇宙体系论的星云假说，的星云假说，1799179918251825年年天体力学天体力学 l “陛下陛下, , 我不需要这样的假设我不需要这样的假设! !” 偏微分方程偏微分方程 0 2 n 位势方程位势方程 4 2 n 1828 1828年格林年格林(

11、 (英英, 1793-1841), 1793-1841)关于数学分析应用于电磁学理论的一篇关于数学分析应用于电磁学理论的一篇 论文论文提出求解方法提出求解方法 d n V U n U VdvUVVU)()( 格林公式 斯托克斯斯托克斯 ( (英英, 1819-1903), 1819-1903) 麦克斯韦麦克斯韦 ( (英英, 1831-1879), 1831-1879) n 格林格林: : 诺丁汉磨坊主的儿子诺丁汉磨坊主的儿子 n 研读拉普拉斯、拉格朗日的著作研读拉普拉斯、拉格朗日的著作, 1828, 1828年年 完成成名之作完成成名之作(1850(1850年发表年发表) ) n 1833

12、1833年剑桥大学自费生年剑桥大学自费生, 1838, 1838年学士年学士, , 积积 劳成病，劳成病，18401840年返回诺丁汉年返回诺丁汉 n 发表发表1010篇论文篇论文, , 孕育了剑桥数学物理学派孕育了剑桥数学物理学派 v热传导方程热传导方程 偏微分方程偏微分方程 t T k z T y T x T 2 2 2 2 2 2 2 n 1822 1822年傅里叶年傅里叶热的解析理论热的解析理论 v热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造 v“这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的

13、数学哲学 头脑的数学大师才能达到头脑的数学大师才能达到” 傅里叶傅里叶( (法法, 1768-1830), 1768-1830) n 1807 1807年傅里叶年傅里叶( (法法, 1768-1830), 1768-1830)提出提出 v傅里叶级数傅里叶级数 偏微分方程偏微分方程 n “傅里叶是一首数学的诗傅里叶是一首数学的诗” n 法国大革命时就读于巴黎高等师范学校法国大革命时就读于巴黎高等师范学校, , 17951795年在巴黎综合工科学校作为拉格朗年在巴黎综合工科学校作为拉格朗 日、蒙日的助手日、蒙日的助手 n 17981798年随拿破仑远征埃及年随拿破仑远征埃及, , 任埃及研究任埃及

14、研究 院秘书院秘书 n 1801 1801年被拿破仑任命为地方高级官员年被拿破仑任命为地方高级官员, 1808, 1808年授予男爵年授予男爵, 1815, 1815年全力投入学术年全力投入学术 研究研究 n 18171817年就职于法国科学院年就职于法国科学院, 1822, 1822年当选为终身秘书年当选为终身秘书, 1827, 1827年被选为法兰西学院年被选为法兰西学院 院士院士 傅里叶：“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源 泉。数学分析与自然界本身同样的广阔。” 九大行星九大行星 常微分方程常微分方程 1781年，威廉赫歇耳 18441845年，耶 得默斯，勒威烈 八大行星八大行星 常

15、微分方程常微分方程 n 解的存在性解的存在性 l 1820-1830 1820-1830年柯西获得第一个解的存在性定理年柯西获得第一个解的存在性定理 柯西柯西( (法法, 1789-1851), 1789-1851) 李普希茨李普希茨( (德德, 1832-1903) , 1832-1903) l 1869 1869年李普希茨条件年李普希茨条件 皮卡皮卡( (法法, 1856-1941), 1856-1941) l 1890 1890年皮卡逐步逼近定理年皮卡逐步逼近定理 l 1875 1875年柯西柯瓦列夫斯卡娅定理年柯西柯瓦列夫斯卡娅定理 n 柯瓦列夫斯卡娅，杰出女数学家，发表柯瓦列夫斯卡娅

16、，杰出女数学家，发表1010篇论文篇论文 n 出生贵族家庭，很小对数学痴迷出生贵族家庭，很小对数学痴迷 n 18691869年，到海德堡年，到海德堡 n 18701870年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生 n 18741874年，哥廷根大学博士年，哥廷根大学博士 n 18841884年，斯德哥尔摩大学教授年，斯德哥尔摩大学教授 n 18881888年，解决年，解决“数学水妖数学水妖”问题问题 n 18891889年，彼得堡科学院通讯院士年，彼得堡科学院通讯院士 柯瓦列夫斯卡娅柯瓦列夫斯卡娅 （俄，（俄，1850185018911891） 常微分方程常微分方程

17、n 解的定性与稳定性理论解的定性与稳定性理论 l 1881-1886 1881-1886年庞加莱在年庞加莱在由微分方程由微分方程 定义的曲线定义的曲线创建了微分方程的定性理创建了微分方程的定性理 论论 庞加莱庞加莱( (法法, 1854-1912), 1854-1912) ( (法法, 1952), 1952) 李雅普诺夫李雅普诺夫 ( (俄俄, 1857-, 1857- 1918)1918) ( (俄俄, 1957), 1957) l 1892 1892年李雅普诺夫在年李雅普诺夫在运动稳运动稳 定性的一般问题定性的一般问题开创了微分方开创了微分方 程的稳定性理论程的稳定性理论 常微分方程常微

18、分方程 n 庞加莱庞加莱( (法法, 1854-1912): , 1854-1912): 显赫的家族显赫的家族, , 多病的童年多病的童年 n 18731873年进入巴黎综合工科学校年进入巴黎综合工科学校, 1879, 1879年关于微分方程的论文得到博士学位年关于微分方程的论文得到博士学位, , 18821882年提升为巴黎大学教授年提升为巴黎大学教授, 1906, 1906年当选法国科学院院长年当选法国科学院院长, 1908, 1908年选为法兰西年选为法兰西 学院院士学院院士 n “我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、健我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永

19、远是一位朝气蓬勃的、健 全的战士全的战士, , 直至他的逝世。直至他的逝世。”( (沃尔泰拉沃尔泰拉) ) n 500 500篇科学论文和篇科学论文和3030本科学专著本科学专著, , 开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、 代数几何等新方向的研究代数几何等新方向的研究 n 1919世纪最后四分之一和世纪最后四分之一和2020世纪初世界数学的领袖人物世纪初世界数学的领袖人物, , 对数学及应用具有全对数学及应用具有全 面了解、能够雄观全局的最后一位大师面了解、能够雄观全局的最后一位大师 n 19051905年，鲍约奖（年，鲍约奖（l0000l0000金克朗）金

20、克朗） n 阿达玛阿达玛: : 庞加莱庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的 道路。道路。” 追求真理应该是我们活动的目标，它是值得我们 活动的唯一目的，毫无疑问，世界一日不灭，痛苦终 身不能已。如果我们希望越来越多地使人们摆脱物质 烦恼，那正是因为他们能够在对真理的研究和思考之 中享受到自由。 庞加莱科学的价值(1905) 常微分方程常微分方程 u “呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中 呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中 国之边患。推源其故，制器精也，推源制器国之边患。推源其故，制器精也，推源制器 之精，算学明也。之精，算学明

21、也。” u “人人习算，制器日精，以威海外。人人习算，制器日精，以威海外。” ” l 垛积比类垛积比类(1850)(1850) 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 李善兰恒等式李善兰恒等式 q kqn k q q qn q k 2 2 0 2 u 徐光启等译徐光启等译几何原本几何原本 后后250250年年几何原本几何原本(1857)(1857) 谈天谈天(1858)(1858)u 万有引力定律及天体力学万有引力定律及天体力学 重学重学(1859)(1859) u 牛顿运动定律牛顿运动定律 代微积拾级代微积拾级 美美, , 罗密士罗密士(1859)(1859) 代数学代数学 英英, , 德德摩

22、根摩根 (1859) (1859) 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 丙对天甲 天甲 彳天 禾 )( cx)(a xa dx ln 卯地彳天地彳地天彳天 mydxydyxdx 李善兰李善兰: : 天文算学馆数学教习天文算学馆数学教习(1868-1882)(1868-1882) 小学略通书数小学略通书数, , 大隐不在山林大隐不在山林 京师同文馆京师同文馆 代表代表1919世纪中国传统数学最高峰世纪中国传统数学最高峰 直线之公式，地甲天丄乙，则地为天的函数。 翻译馆翻译馆 华蘅芳华蘅芳( (中中) ) 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 l 中国近代科

23、学事业的先行者中国近代科学事业的先行者 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 l 代数术代数术(1872)(1872) l 微积溯源微积溯源(1874)(1874) l 决疑数学决疑数学(1880)(1880) TTT 壬丁乙辛已甲庚戊丙庚乙已丁辛丙甲戊壬 壬辛庚 已戊丁 丙乙甲 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 ，求天地人之同数。 五五天四人四地 四二地三人三天 四五人三地二天 T T T z.yx 55x-4z4y 42y-3z3x 45z-3y2x ，求 T 二二二二 乙甲 二七 丙 三 丁 五 27 ba 3 c - 5 d 2222 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 1919世纪的中国数学世纪的中国数学 1919世纪