10第十章弯曲应力(工力)

1、1 第十章第十章 弯弯 曲曲 应应 力力 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 回顾与比较 内力内力 A F N 应力应力 x P M I FA FQ M ? ? Mx 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 1、问题的提出、问题的提出 l梁横截面上的正应力如何分布？梁横截面上的正应力如何分布？ l如何计算如何计算梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力？ 10-1 10-1 引言引言 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 纯弯曲纯弯曲 梁段梁段CD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲

2、纯弯曲 梁段梁段AC和和BD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲 10-2 10-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 FQ图 M图 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 1、变形几何关系、变形几何关系 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 （1 1）梁的纯弯曲实验现象梁的纯弯曲实验现象 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS （1 1）梁的纯弯曲实验现象梁的纯弯曲实验现象 1、变形几何关系 l纵向线在梁变形后弯成了弧线，靠近凹面的线缩短，靠近纵向线在梁变形后弯成

3、了弧线，靠近凹面的线缩短，靠近 凸面的线伸长。凸面的线伸长。 l横向线横向线在梁变形后仍为直线在梁变形后仍为直线，但转过了一定的角度，且仍但转过了一定的角度，且仍 然与弯曲了的纵向线保持正交。然与弯曲了的纵向线保持正交。 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 （2 2）平面假设）平面假设 平面假设：平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍垂直于变形后横截面变形后保持为平面，且仍垂直于变形后 的梁的轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。的梁的轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 一侧纤维一侧纤维缩短缩短 一侧纤维

4、一侧纤维伸长伸长 中间一层纤维中间一层纤维 长度不变长度不变 中性层中性层 中间层与横截面中间层与横截面 的交线的交线 中性轴中性轴 中性轴与对称轴的关系？垂直（因为变形也对称） （3 3）两个概念）两个概念 1、变形几何关系一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 1、变形几何关系 （4 4）变形规律）变形规律 y z 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 上式表明上式表明: 纯弯曲时的正应力按线性规律变纯弯曲时的正应力按线性规律变 化，横截面上

5、中性轴处，化，横截面上中性轴处，y = 0 ，因而因而 =0， 中性轴两侧，一侧受拉应力，中性轴两侧，一侧受拉应力， 另一侧受压应力，与中性轴距离相等另一侧受压应力，与中性轴距离相等 各点的正应力数值相等。各点的正应力数值相等。 2、物理关系、物理关系 胡克定理胡克定理E y E 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处 于单向拉伸或压缩状态。于单向拉伸或压缩状态。 y 2、物理关系、物理关系一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 cmax tmax 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 3、静力学条件、静力学条件

6、 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 y E N d A FA d y A MzA d z A MyA = 0 = 0 = M 3、静力学条件、静力学条件 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS u 中性轴中性轴(即即z轴轴)通过截面形心。通过截面形心。 const0 E d0 z A Sy A 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力3、静力学条件、静力学条件 y E N d A FA d A E y A 0 N d A FA = 0 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS u y轴为横截面的对称轴，必然有轴为横截面的对称

7、轴，必然有 0 yz I d y A MzA d A E yz A d A E yz A 0 0, E d0 yz A Iyz A 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力3、静力学条件、静力学条件 y E d y A MzA = 0 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力3、静力学条件、静力学条件 y E d z A MyA = M 22 ddd z AAA EE MyAyAyAM 2 d z A IyA z EI M 1 为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率 1 为曲率半径为曲率半径 材材 料料 力力 学学 ME

8、CHAN ICS OF MATERIALS z My I 弯矩弯矩 到中性轴距离到中性轴距离 惯性矩惯性矩 正应力正应力 一、纯弯曲梁的正应力一、纯弯曲梁的正应力 某点的应力是拉应力还是压应力，可观察弯矩图或根某点的应力是拉应力还是压应力，可观察弯矩图或根 据梁的变形来直接判定：以中性轴为界，弯矩图画在受拉据梁的变形来直接判定：以中性轴为界，弯矩图画在受拉 侧，或梁在凸出的一侧受拉，在凹入的一侧受压。此时式侧，或梁在凸出的一侧受拉，在凹入的一侧受压。此时式 中的中的 y 看作所求应力的点与中性轴看作所求应力的点与中性轴 z 的距离。的距离。 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF

9、MATERIALS 横力弯曲横力弯曲 二、横力弯曲时的正应力二、横力弯曲时的正应力 M Fl 横截面翘曲，平面假设不成立横截面翘曲，平面假设不成立 max z M W 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。 计算结果与精确解比较，有足够精度。计算结果与精确解比较，有足够精度。 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 三、弯曲正应力公式适用范围三、弯曲正应力公式适用范围 Z I My Y平面弯曲平面弯曲 Y在材料的比例极限范围内使用在材料的比例极限范围内使用 Y可用于

10、具有纵向对称面的其它截面形式的梁可用于具有纵向对称面的其它截面形式的梁 Y当当 l / h 5 时时,可用于横力弯曲梁可用于横力弯曲梁 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS cmax tmax z My I maxmax y I M z max y I W z z z W M max 10-2 10-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 例：例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：1lm梁长 10槽钢槽钢 6kN/mq 解：解：1）画弯矩图）画弯矩图 2 max 1 |3kNm 2 Mql 2）

11、查型钢表：）查型钢表： 4 1 4.8cm,25.6cm ,1.52cm z bIy 2 4.8 1.523.28cmy 3）求应力）求应力： 1max y I M z t 6 4 3 1015.2 25.6 10 178 MPa 2max y I M z c 6 4 3 1032.8 25.6 10 384 MPa maxmax 178MPa,384 MPa tc b z 1 y y 2 y M 2 1 2 ql cmax tmax b z 1 y y 2 y 例题10-2 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 10-3

12、 10-3 弯曲正应力的强度条件及应用弯曲正应力的强度条件及应用 材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max max max z M W 塑性材料制成的等直梁塑性材料制成的等直梁 拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的等直梁 max1 tmaxt z My I max2 cmaxc z My I 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 解：1)1)求约束反力求约束反力 2.5 kN 10.5kN A B F F 2.5kNm C M 4kNm B M 例例10-4T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁

13、梁受力如图，铸铁的 t=30 M Pa， c=60 M Pa。其截面形心位于。其截面形心位于C点，点，y1=52mm， y2=88mm， I z =763cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。 2 2）画弯矩图）画弯矩图 3 3）求应力）求应力 B截面截面（上拉下压）（上拉下压） C截面截面（下拉上压）（下拉上压） y2 y1 C z 1m1m 1m AB C 4kN 9kN A FB F 2.5kNm 4 k N m D 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS C截面（下拉上压）截面（下拉上压）: tmaxt 28.2MPa cmaxc 46.2MP

14、a 4 ) 4 ) 强度校核强度校核 B截面（上拉下压）截面（上拉下压）: 最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上 1 cmax C C z M y I 17.04 MPa 6 4 2.5 1052 763 10 1m1m 1m AB C 4kN 9kN 2.5kNm 4 k N m D t=30 M Pa， c=60 M Pa。其截面。其截面 形心位于形心位于C点，点，y1=52mm， y2=88mm， I z =763cm4 ，校核强度。，校核强度。 1 tmax BB z My I 6 4 4 1052 763 10 27.2MPa 6 4 4 1088 763 10

15、46.2MPa 2 cmax BB z My I 2 tmax C C z M y I 6 4 2.5 1088 763 10 28.2MPa 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 例例10-5 如图所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为 简支梁。钢的许用弯曲正应力=152 MPa 。试选择工字钢 的号码。 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 mkN375 max M 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 强度条件 要求： z W M max 6 3

16、33 max 375 10 2460 10 mm2460cm 152 z M W 3 2447 cm z W 此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用 56b工字钢。 由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 此时危险截面上的最大工作应力为 其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最 大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。 6 max max 3 389.1 10 159 MPa 2447 10 z M W mkN1 .389mkN1 .14mkN375 8 mkN375 2 max ql M 如

17、果计入梁的自重 ，危险截 面仍在跨中，相应的最大弯矩则为 m kN 1.127 m kg 115q 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 10-4 弯曲切应力、切应力强度及应用弯曲切应力、切应力强度及应用 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS 1 d N2 A AFA I yMM A z d )d( 1 1 Ay I MM A z d )d( 1 1 AyS A z d 1 1 * * N2 )d( z z S I MM F * N1z z S I M F 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS * N2 )d( z z S I MM F * N1z z S I M F xbxbFddd 0 x F0d N1N2 FFF xbS I M S I MM z z z z d )d( * xbI MS z z d d * x M F d d Q bI SF z zQ * 材材 料料 力力 学学 MECHAN ICS OF MATERIALS bI SF z zQ * Q F z I * z S b 材材 料料 力力 学学 MECHAN IC