线性代数考试复习提纲知识点例题

1、线性代数考试复习提纲、知识点、例题 一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为 0【两行（列） 相同、成比例、一行（列）全为 0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即d =a a +a a +. +a a i1 i1 i 2 i 2 in ini =1,2,., n-2 2-40例 1、计算行列式432-1103 5-2 -35 1二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：ax =b xa =baxb =c若

2、系数矩阵可逆，则 x =a-1b 切记不能写成 x =a-1b -1c 或 x = 求逆矩阵的方法：1、待定系数法ab =e (或ba =e )x =ba-1 cabx =a-1cb -12、伴随矩阵法a-1=1aa*其中a*叫做a的伴随矩阵，它是a的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。 3、初等变换法 (a e )初等行变换(ea-1)x = 5 -2 7 8 9 10a = -1 1 1b = 2 0-1 0 -15 -3例 2、解矩阵方程3 -1 5 6 14 16 0 1 0 1 -1例 3、解矩阵方程x =ax +b，其中 三、解齐次或非齐次线性方程组设a =(aij)

3、mn，n元齐次线性方程组ax =0有非零解 r ( a) nn元齐次线性方程组 ax =0 只有零解 r ( a) =n。当m =n时，n元齐次线性方程组ax =0只有零解 a 0。当 m =n 时， n 元齐次线性方程组 ax =0 有非零解 当 m n 时，齐次线性方程组一定有非零解。 a =0。定义：设齐次线性方程组ax =0的解 x,.,1xt满足：（1） x,., 1xt线性无关，（2） ax =0 的每一个解都可以由 x,.,1则 x,., x叫做 ax =0 的基础解系。 1txt线性表示。定理 1、设amn，齐次线性方程组ax =0，若r ( a) =r n，则该方程组的基础解

4、系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个 数都等于 n -r 。齐次线性方程组的通解x =k x +. +k 1 1x n -r n -rk ,., k1n -rr设a =(aij)mn，n元非齐次线性方程组 ax =b 有解 r ( a) =r ( a)。唯一解无数解 r ( a) =r ( a) =n r ( a) =r ( a) n。无解 r ( a) r ( a)。非齐次线性方程组的通解x =k x +. +k 1 1x n -r n -r+h，k ,., k1n -rr(列 2 有非零解2 有非零解)() 1 2 sk ass1kks例 4、求齐次线性方程组x +x +2 x -

5、x =0 1 2 3 42 x +x +x -x =0 1 2 3 42 x +2 x +x +2 x =0 1 2 3 4的通解例 5、求非齐次线性方程组 x +x -3 x -x =1 1 2 3 43x -x -3 x +4 x =41 2 3 4x +5 x -9 x -8 x =0 1 2 3 4的通解。四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例 6、当 l为何值时，齐次线性方程组lx +y +z =0 x +ly -z =0有非零解，并求解。2 x -y +z =0例 7、已知线性方程组-2x +x +x =-21 2 3 x -2 x +x =l 1 2 3x +x -2 x

6、 =l2 1 2 3，问当 l为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。 五、向量组的线性相关性a ,1a ,.,2as线性相关 a ,1a ,.,2a ( s 2) s中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为 0 的数k , k ,., k 1 2s使得k a +k1 1a +. +k 2 2a =0s s。 a , a ,., a 1 2 sk a 1 1k 行 a=0 k , k ,., k =0 . . (a/,a/,., a/1 2 sk )2. =0有非零解a , a ,., a 1 2s线性无关 a , a ,., a ( s 2)1 2 s中任意一个

7、向量都不能由其余向量线性表示。 若 k a +k 1 1a +. +k 2 2a =0 ，则 k =k =. =k =0 s s 1 2 s。(列 只有零解2 只有零解)() 21 2 sk ass a , a ,., a 1 2 sk a 1 1k 行 a=0 k , k ,., k =0 . . 特殊的， n 个 n 维向量 a ,1a ,.,2an线性相关 a,1a ,.,2a =0n或a1a2.=0。ann个n维向量 a ,1a ,.,2an线性无关 a,1a ,.,2a 0n或a1a2.0。an例 8、已知向量组 a =(t,2,1 )1， a2=(2,t,0 )， a =(1,-1

8、,1) 3，讨论 t 使该向量组 （1）线性相关 （2）线性无关 六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组a :a ,1a ,.,2a ，若从 a 中选出 r 个向量构成向量组 sa :0a ,i1a ,.,i2air满足：（1）a0线性无关（2） a 中的每一个向量都能由 a 线性表示，0条件（ 2 ）换一句话说 a 的任意 r +1 个向量（若有的话）都线性相关，或者说从a中向a0任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。则 a 叫做 a 的极大线性无关向量组，简称极大无关组。 0向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作 r (a,1a

9、 ,.,2a )=rs求向量组的秩的方法：1aam（1） 扩充法（2） 子式法a 2 . mn(a,1a ,.,2am)nm最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就 是这个向量组的一个极大无关组。（3） 初等变换法例 9、设向量组同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。七、求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大 线性无关组线性表示。相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题相似矩阵的性质 :1、 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式， 迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。1

10、、 相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。2、 相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若a与b相似，则ak与bk相似，k n，则 j( a)与 j(b )相似。a 与 l =nl1l2o相似lna 有 n 个线性无关的特征向量 np , p ,., p 1 2n，且以它们为列向量与a = -2 x -2b = 0 y 0-4 -2 10 0 -4 1 0 0组的矩阵p使p-1ap =l， l,1l,.,2ln分别为与p , p ,., p 1 2n对应的an的特征值。若 a 有 n 个 互 不 相 等 的 特 征 值 l, l,., l ， 则 a 一

11、 定 与 n 1 2 n nl=l1l2o相似。lna 与 l相似 对应于 a 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数 n n等于该特征值的重数。 n -r (le -a) =k其中k为 l的重数1 -2 -45 0 0例 10、设矩阵 相似（1） 求 x 与 y；（2）求可逆矩阵p，使p-1ap =b。例 11、设0 0 1 a =1 1 a ，问 a 为何值时，矩阵 a 能相似对角化。 例 12、设三阶矩阵 a 的特征值为 l1=1 ， l2=2 ， l3=3，对应的特征向量依次为h1=(1,1,1)/， h2=(1,2,4 )/， h3=(1,3,9 )/，求矩阵 a 。例 13、设三阶实对称矩阵 a 的特征向值 特征向量为 a =(-1,1,1)，求a 。1八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵-1,1,1，与特征值 -1对应的例 14 、化