10.5分式方程及其解法

1、 【分式方程的定义】【分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做分母中含未知数的方程叫做 分式方程分式方程. . 整式方程的未知数不在分母中整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分母中含有未知数分式方程的分母中含有未知数 判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确： （） （） （ ） （ ） 是是分分式式方方程程 3 4 44 3 )2( xx 是是分分式式方方程程5 2 32 )1( x 是是分分式式方方程程1)3( 2 x x 是分式方程是分式方程 1 1 1 1 )4( yx 解：解：在方程两边都乘以最简公分母在方程两边都乘以最简公分母（20+x）（）（20-x）得，得， 解这个整式方

2、程，得解这个整式方程，得x=4x=4 120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x) 检验检验: :把把x= 4 x= 4 代入原方程中，左边代入原方程中，左边 右边右边= 左边左边=右边，因此右边，因此x x4 4是原方程的解是原方程的解 分式方程分式方程 解分式分式方程的一般思路解分式分式方程的一般思路 整式方程整式方程 去分母去分母 两边都乘以最简公分母两边都乘以最简公分母 解分式方程：解分式方程： x20 80 x20 120 【解分式方程】【解分式方程】 解分式方程解分式方程 1 1 x-5 1010 = = x2-25 解：解：在方程两边都乘以最简公分母在

3、方程两边都乘以最简公分母(x+5)(x-5)(x+5)(x-5)得，得， 解这个整式方程，得解这个整式方程，得x=5x=5 x+5=10 x+5=10 检验检验: :把把x x = 5 = 5 代入原方程中，发现代入原方程中，发现x-5和和x x2 2-25-25的的 值都为，相应的分式无意义，因此值都为，相应的分式无意义，因此x=5x=5虽是方虽是方 程程x+5=10 x+5=10的解，但不是原分式方程的解，但不是原分式方程 的解实际上，的解实际上，这个分式方程无解这个分式方程无解 1 1 x-5 1010 = = x2-25 例例2解方程解方程 21 2 33 x xx 1、当分式方程含有

4、若干个分式时，通常、当分式方程含有若干个分式时，通常 可用各个分式的最简公分母同乘方程两边可用各个分式的最简公分母同乘方程两边 进行去分母。进行去分母。 2、解方程时一定要验根。、解方程时一定要验根。 3、x=3不是原分式方程的根（解），像这不是原分式方程的根（解），像这 样的根叫做原分式方程的增根样的根叫做原分式方程的增根 【分式方程的解】【分式方程的解】 上面两个分式方程中，为什么上面两个分式方程中，为什么 120120 20+x20+x 8080 2020-x x = = 去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而 去分母后得到的整式方程的解却不去分

5、母后得到的整式方程的解却不 1 1 x-5 1010 = = x2-25 是原分式方程的解呢？是原分式方程的解呢？ 1 1 x-5 1010 = = x2-25 我们来观察去分母的过程我们来观察去分母的过程 120120 20+x20+x 8080 2020-x x = = 120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x) x+5=10 x+5=10 两边同乘两边同乘(20+x)(20-x)(20+x)(20-x) 当当x=4x=4时时,(20+x)(20-x),(20+x)(20-x)0 两边同乘两边同乘(x+5)(x-5) 当当x=5x=5时时, , (x+5)(x

6、-5)=0 分式两边同乘了不为分式两边同乘了不为0的式子的式子,所得整式方程的解与所得整式方程的解与 分式方程的解相同分式方程的解相同. 分式两边同乘了等于分式两边同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的解使所得整式方程的解使 分母为分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解这个整式方程的解就不是原分式方程的解 【分式方程解的检验】【分式方程解的检验】 1 1 x-5 1010 = = x2-25 120120 20+x20+x 8080 2020-x x = = 120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x) x+5=10 x+5=10 两边同乘两边同乘(20+

7、x)(20-x)(20+x)(20-x) 当当x=4x=4时时,(20+x)(20-x),(20+x)(20-x)0 两边同乘两边同乘(x+5)(x-5) 当当x=5x=5时时, , (x+5)(x-5)=0 分式两边同乘了不为分式两边同乘了不为0的式子的式子,所得整式方程的解与所得整式方程的解与 分式方程的解相同分式方程的解相同. 分式两边同乘了等于分式两边同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的解使所得整式方程的解使 分母为分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解这个整式方程的解就不是原分式方程的解 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有

8、可能 使原方程的分母为，所以使原方程的分母为，所以分式方程的解必须检验分式方程的解必须检验 怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？ 将整式方程的解代入最简公分母，将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为，则如果最简公分母的值不为，则 整式方程的解是原分式方程的解，整式方程的解是原分式方程的解， 否则这个解就不是原分式方程的否则这个解就不是原分式方程的 解解 解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 1 1、 在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母， 化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解这个整

9、式方程、解这个整式方程. . 3 3、 把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简，如果最简 公分母的值公分母的值不为不为0 0，则整式方程的解是原分式方程的，则整式方程的解是原分式方程的 解；解；否则否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. . 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. . 解分式方程的思路是：解分式方程的思路是： 分式分式 方程方程 整式整式 方程方程 去分母去分母 一化二解三检验一化二解三检验 【例题】【例题】 解分式方程解分式方程 x-1 = = (x-1)(x+2) 3 3x -1 解解 ：方程两边同乘以：

10、方程两边同乘以(x(x1) (x1) (x2),2),得得 X(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解整式方程解整式方程, ,得得 x x = 1 = 1 检验检验：当：当x = 1 x = 1 时，时，(x(x1) (x1) (x2)2)，x=x=是是 增根，原分式方程无解增根，原分式方程无解 解分式方程解分式方程 2 2 x-1 4 4 = = x2-1 (1) 1 1 x2-x 5 5 = = X2+x (2) 拓展延伸 1、求分式方程、求分式方程 产生增根时产生增根时 m的值的值。 2 2、当、当K K为何值时，方程为何值时，方程 无解？无解？ 2 4 2 x k x x 3-x m 2 3-x x 2 变【2013年绥化】若关于X的方程 无解，则a的值是 通过例题的讲解和练习的操作通过例题的讲解和练习的操作, ,你能总结出解分式你能总结出解分式 方程的一般步骤吗方程的一般步骤吗? ? 【小结】【小结】 解分式方程的一般步骤的框架图：解分式