数学必修三第三章概率3.3几何概型教学设计

1、几 何 概 型 (第一课时)一. 教学内容分析 :本课时教材选自人教 a 版数学必修 3 第三章概率部分第 33 节的内容几何概型是 概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节课为第一课时 ,它是继古典概型之后学习的 另一类等可能概型；是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义会 计算简单的几何概型概率问题。几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结 果有限个拓广到无限个；课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要概 率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象 的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度

2、，并获取认识 世界的初步知识和科学方法二.学生学习情况分析:学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型 ,初步学会了用古典概型公式解决概率题 ,大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣 ,逐渐会把一些问题模 型化但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强通 过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概 型的“无限性”误认为古典概型的“有限性” .究其原因是思维不严谨，研究问题时过于 “想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上 下功夫，不要浮于表面 .另外，在解决几何概型的问题时，几何

3、度量的选择也是需要特别 重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.三. 设计思想:以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主 动建构基于以上理论，本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学， 让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概 型公式，运用实物、多媒体、投影仪辅助，具体流程如下:【知识回顾】 【问题猜想，实验证明】 【归纳猜想，探索规律】 【概念 形成，学习新知】 【概念辨析，活学活用】 【活学活用，例题讲解】 【练习 巩固，品味数学】 【知识小结，反思深化】 【家庭作业】四.

4、教学目标:知识与技能目标:1、 通过实例，让学生了解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别2、 会计算简单的几何概型事件，并解决有关概率的基本问题过程与方法目标:1、 提高学生自主探究问题、解决问题的能力；2、 渗透数学学习的基本思维：猜想验证思想、转化化归思想，数形结合思想等；情感与态度目标:通过创设情境激发学生学习数学的情趣，培养其积极探索的精神通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值,增强了学生学习数学的自信心 五教学重点与难点 :重点：几何概型的特点及其几何概型学习的思维过程；第 1 页 共 7 页难点：几何概型的判断及其概率公式的选择，从实际问题的背景中找几何度量 六、教学

5、过程设计:【知识回顾】计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法?（1） 通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；（2） 利用古典概型的概率公式计算.古典概型的两个特点:(1) 有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2) 等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.古典概型计算公式:p ( a ) =m ( a 包含的基本事件的个数 n (?基本事件的总数 )设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫. 【问题猜想，实验证明】问题 1：一根长度为 3 米的绳子上,有 a1、a2、a3、a4、a5 五个点将绳子均分成六段，从 a1、a2、a3、a4、a5

6、中任选一点将绳子剪断，那么剪得的两段均不小于 1 米的概率是多少？分析：基本事件是: 绳子剪断位置 基本事件个数：5（有限）每个基本事件的发生是等可能的吗？是 符合古典概型的特点吗？是概率p ( a) =35问题 2：取一根长度为 3 米的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于 1 米的概率？分析：基本事件是: 绳子剪断位置 基本事件个数：无限每个基本事件的发生是等可能的吗？是 符合古典概型的特点吗？否据生活经验得概率p ( a) =线段a a 的长度 1 2 4 =总长度 3通过计算机模拟实验验证设计意图：问题 1 到问题 2 让学生类比、猜想、以旧引新，再 通过实验验证

7、猜想。提高学生自主探究问题、解决问题的能力；问题 3：取一个边长为 2 的正方形 abcd 及其内边长为 1 的小正 方形 efgh，随机向正方形 abcd 内撒一粒米，求米的位置正好落 在正方形 efgh 内概率.分析：基本事件是: 米的位置 基本事件个数：无限第 2 页 共 7 页每个基本事件的发生是等可能的吗？是符合古典概型的特点吗？否据生活经验得概率p ( a) =红色区域的面积 1=总面积 4通过计算机模拟实验验证思考（1） 正方形 efgh 位置改变，面积不变，概率会改变吗？（2） 正方形 efgh 形状改变，面积不变，概率会改变吗？ 结论：位置，形状无关，只与区域面积有关问题 4

8、：现有 1 升的纯净水，假定里面有一个细菌，现从中抽取 0.1 升的纯净水，求抽到细菌的概率？分析：基本事件是: 米的位置 基本事件个数：无限每个基本事件的发生是等可能的吗？是符合古典概型的特点吗？否据生活经验得概率 p ( a) =取出水的体积 0.1= =0.1杯中所有水的体积 1设计意图：从面积和体积方面考虑问题 ,是为了让学生全面了解几何概型的概念，并且渗 透数形结合的数学思想方法【归纳猜想，探索规律】学生回答：(1) 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个； 每个基本事件的发生 都是等可能的.(2)借助几何图形的长度、面积、体积等的比值分析事件 a 发生的概率. 设计意图：引导学生通

9、过类比、猜想、归纳等方法，自己探索出几何概型的特点及概率公第 3 页 共 7 页式。最后教师点题：这就是我们今天要学习的几何概型问题的设计一维，二维，三维是 为了让学生在对比中全面了解几何概型的概念，并且渗透数形结合的数学思想方法通过 递进式地设置问题，使学生将实际问题转化成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣,加 深了学生对概念的了解和对公式的探究，突出教学重点【概念形成，学习新知】在问题情景的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念：1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例 ,则称这样 的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.

10、几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.3. 几何概型中事件 a 的概率公式：4. 古典概型与几何概型的区别：p ( a)构成事件 a的区域长度 (面积或体积 ) 试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积 )设计意图：通过用表格列出相同和不同点，既体现了数学中类比的思想又能让学生更好的 了解几何概型，从而突出教学重点【概念辨析，活学活用】下列概率问题中哪些属于几何概型？1 在区间0，9上任取一个整数，恰好取在区间1，3上的概率2 在区间0，9上任取一个实数，恰好取在区间1，3上的概率3 从一批产品中抽取 30 件进行检查，有 5 件

11、是正品，求正品的概率4 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点 钻探，钻到油层面的概率答案：（1），（3） 古典概型（2），（4） 几何概型设计意图：让学生学会判断区分古典概型和几何概型，加深对几何概型的理解。 【活学活用，例题讲解】例 1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机, 想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率.(假设只有正点报时)分析：电台每隔 1 小时报时一次，他在两次整点报时之间醒来都是等可能的，且醒来的时 刻有无限多个。这符合几何概型的条件。解:设事件 a=等待的时间不多于 10 分钟 事件 a 发生的区域为时间段5

12、0,60第 4 页 共 7 页pr 2法三6360 06p( a) =等待的时间不多于10分钟时间长度 10 1 =所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6注：这是与长度有关的几何概型问题思考：除了长度，有没有别的方法求概率法二：p ( a) =1a所在的扇形面积 1 = p ( a) = 整个圆的面积 pr 2 61a所在的圆心角 1 = 整个圆的圆周角 360 0 6法四 p ( a) =a所在的扇形弧长 1=整个圆的弧长 6设计意图：例题的设置让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解,认识到几何概型主要 是要把概率问题与几何问题完美的结合。引导学生建立各种不同的模型：线段、弧、角、 面积，

13、得出概率都相同的结论 ，正是因为无论建立哪种几何模型，它的基本事件出现的 可能性都是相等的，所以概率都相等。要学会用数形结合的思想解决概率问题让学生学 会从各各角度看问题，发散思维。思考：变式一：某人午觉醒来 , 发现表停了 , 他打开收音机 ,想听电台报时 , 刚好正点报时的概 率.(假设只有正点报时) 答案：概率为 0变式二：某人午觉醒来 ,发现表停了 , 他打开收音机 , 想听电台报时 ,没有在正点报时的概 率.(假设只有正点报时) 答案：概率为 1结论：概率为 0 的事件可能会发生， 概率为 1 的事件不一定会发生.设计意图：解决不可能事件概率为 0 但概率为 0 的事件不一定是不可能

14、事件，必然事件概 率为 1 但概率为 1 的事件不一定是必然事件。这个学生困惑的问题。例 2:张先生买了商品，送快递的人在早上 7：20 准时把快递送到他家，张先生离开家去上 班的时间在早上 7 ： 00 8 ： 00 之间，则张先生在离开家之前能收到快递的概率是 _（转化为一维的长度）变式:张先生买了商品，送快递的人在早上 6：307：30 之间把快递送到他家，张先生离 开家去上班的时间在早上 7：008：00 之间，则张先生在离开家之前能收到快递的概 率是_（转化为二维的面积）答案78解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间，以纵坐标 y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落

15、在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意只要点落到阴影部分， 就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件 a 发生，所以 p(a)第 5 页 共 7 页1 1 111 2 2 2 7 .11 8转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几 何概型概率公式(1) 一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴 上即可；(2) 若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变

16、量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来 表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型【练习巩固，品味数学】1. 点 a 为周长等于 3 的圆周上的一个定点若在该圆周上随机取一点 b，则劣弧的长度小 于 1 的概率为_ 分析：长度，角度都能解决2. abcd 为长方形,ab=2,bc=1,o 为 ab 的中点,在长方形 abcd 内随机取一点,取到的点到 o的距离大于 1 的概率为( b )a.p4b.1 -p4c.p8d.1 -p8分析：面积设计意图：学会了用几何概型公式解决概率题,【知识小结，反思深化】延伸了一个概念：从有限到无限渗透了三种思想：数形结合,类比与猜想转化与化归

17、 、实践了四种测度模式：长度、面积、体积、角度设计意图：学生自己梳理所学知识，以便于对知识有一个系统的理解与认识;同时让学生学会反思,是一个非常良好的学习习惯的养成,也是学生将来处理工作生活问题的一个很好的习惯 【家庭作业】1. 课本142:1,2,3（达标）2. 思考:两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一人 20 分钟，过时离去求两人 会面的概率(提高)设计意图：对课后书面作业实施分层设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时， 拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可 以获得成功的喜悦分层布置作业使数学教育既面向了全体学生 ,人人都能

18、获得必需的数 学,又使不同的人在数学上得到不同的发展,充分体现了课改精神七、教学反思第 6 页 共 7 页本节课采用了从特殊到一般，发现问题，猜想结论，实验验证的学习方法让学生明确 几何概型特点及公式。采用了类比的思维方式让学生明确古典概型与几何概型的异同。在 启发式教学方式的引领下，以问题串的形式开启学生思维之门。通过课后检测，发现本节 课学生的学习效果比较不错.我认为本节课有以下几个方面做得比较成功.1 通过具体的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲。2 通过与古典概型对比，产生矛盾，促使学生迫切想去探求解决问题的方法。3. 例题的设置从长度、面积、体积三种几何度量设置题目 , 由浅入深,覆盖面广,符合学生 的认知规律。4 充分利用现代教育技术，分解难度，将抽象的概念“解剖”，易于理解。5 问题设置层层递进，由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，符合学生的学习规 律。6 注重数学思想方法的渗透,本课时的教学中，每