数学高一必修四第一章三角函数知识整理

1、ooo oo高一必修四：三角函数重点技巧：1. 整体原则2. 公式逆用3. 逆向变化4. 有关变形一 任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。 按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的 叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系 x 轴正半轴作 为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。2、特殊命名的角的定义：(1) 正角，负角，零角 ：见上文。(2) 象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为

2、：第一象限 角、第二象限角等(3) 轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在 x 轴上的角的集合：b| b=k 180 , k z 终边在 y 轴上的角的集合：b| b=k 180 +90 , k z终边在坐标轴上的角的集合： b| b=k 90 o , k zx =a+2kp(4)终边相同的角：与 a终边相同的角x =a+(2 k +1)p(5)与 a终边反向的角：终边在直线 y=x 上的角的集合： b| b=k 180 o +45 o , k z终边在直线 y =-x上的角的集合： b| b=k 180 -45 , k z(6)若角 a与角 b的终边在一条直线上，则角a与角 b的关系： a

3、 =180 (7)成特殊关系的两角ok +b若角 a与角 b的终边关于 x 轴对称，则角 a与角 b的关系： a=360 o k -b若角 a与角 b的终边关于 y 轴对称，则角 a与角 b的关系： a=360ok +180o-b若角 a与角 b的终边互相垂直，则角 a与角 b的关系： a =360ok +b90o注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.23、本节主要题型：1.表示终边位于指定区间的角.例 1:写出在 -720到720之间与 -1050的终边相同的角.例 2:若a是第二象限的角,则2a,a2是第几象限的角? 写出它们的一般表达形式.

4、例 3:写出终边在 y 轴上的集合.写出终边和函数y =-x的图像重合,试写出角 a 的集合. a在第二象限角,试确定2a,a a,2 3所在的象限.q角终边与168角终边相同,求在0 ,360 )内与q3终边相同的角.（二）弧度制 1、弧度制的定义：a =lr2、角度与弧度的换算公式：360=2 p 180= p 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型（1）角度与弧度的互化例:315,330 ,7 4p,6 3p（2）a =l 1 1 ， l =ra, s = lr = rr 2 2

5、2a的应用问题例 1:已知扇形周长10cm,面积4cm2,求中心角.例 2:已知扇形弧度数为 72 ,半径等于 20cm ,求扇形的面积. 例 3:已知扇形周长 40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.例 4:a =-570, 1a =750, 2b =13 7 p, b =- p5 3a.求出a ,1a2弧度,象限.b.b,1b2用角度表示出,并在-720 0之间找出，他们有相同终边的所有角.二 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义正弦 sina =y x y ，余弦 cos a = ，正切 tan a =r r x12、三角函数的定义域：三角函数定义域f (

6、x) =f ( x) =f ( x) =sinxcosxtanxrr 1 x | x r且x kp+ p, k z 2 （二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)pm 表示 a角的正弦值，叫做正弦线。om 表示 a角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)at 表示 a 角的正切值，叫做正切线。注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负（三）同角三角函数的基本关系式 同角三角函数关系式(1) 商数关系：sin acos a=tana(2) 平方关系：sin2a+cos2a =1（四）诱导公式(重点)（奇变偶不变，符号看象限）sin(2kp + x) = sin xs

7、in( - x) = - sin xsin( 2p - x) = - sin x1.cos(2kp + x ) = cos x2.cos(- x) = cos x3.cos(2p - x ) = cos xtan(2kp + x ) = tan xtan(- x ) = - tan xtan( 2p - x) = - tan xsin(p+x ) =-sin xsin(p - x ) = sin xcos( p+x ) =-cos x5.cos(p - x ) = - cos xtan(p+x ) =tan xtan(p - x) = - tan x4.1sin( p-a)=cos a 2co

8、s( p-a)=sin a 21tan( p-a)=cot a 21cos(21sin(21tan(2p+a)=-sin ap+a) =cos ap+a)=-cot a三 三角函数的图像与性质 （一）基本图像：1正弦函数2余弦函数3正切函数（二）、函数图像的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y =sin xy =cos xy =tan xx| x r且定义域rrx k1p+ p2值域-1,+1 -1,+1r周期2p2pp奇偶奇函数偶函数奇函数单调 -p p+ 2 k p , + 2 k p 2 2上为增函数p 3p + 2kp , + 2 kp 2 2上为减函数( k z )(2k

9、- 1)p,2kp 上为增函数 2kp , (2k + 1)p上为减函数( k z) p p- + kp , + kp 2 2上为增函数( k z )无单调递减区间px =kp+pkppa对称对称轴为 ，2对称中心为 (kp,0) ， k z对称轴为 x =kp ，对称中心为 ( kp+ ,0) k z2(无对称轴， 对称中心为,0) k z2（三）、常见结论：1.y = sin x 与 y = cos x的周期是 .2.3.y =sin(wx +j)或 y =cos(wx +j)( w xy= tan的周期为 2 p .20)的周期t =2pw.4.y=sin(wx +j)的对称轴方程是x

10、=kp+p2(k z)，对称中心(kp,0)；y =cos(wx +j)的对称轴方程是x=kp(k z1)，对称中心( kp+ p,0 )；2y =tan(wx +j)的对称中心(kp2,0).5.当 tan a tan b =1,a+b=kp+p2( k z )；t a ntanb= - 1 ,a-b=kp+p2( k z )6.函数y =tan x 在 r上为增函数.()只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y = tan x为增函数，同样也是错误的.7. 奇函数特有性质：若 0 x 的定义域，则 f ( x)一定有 f ( 0) = 0.(0 x的定义域，则无此性质)8. y =

11、sin x 不是周期函数；y =sin x为周期函数( t =p)；y =cos x 是周期函数(如图)；y = cos x为周期函数( t =p)；y = cos 2 x +12的周期为 p (如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：2222yxy=cos|x|图象 y1/2xy=| cos2 x+1/2|图象四 和角公式两角和与差的公式（重点）cos(a+b)=cosacosb-sinasinbtan(a+b)=tan a+tan b 1 -tan atan bcos(a-b)=cos acos b+sin asin btan(a-b)=tan a-tan b 1 +tan atan

12、 bsin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb五 倍角公式和半角公式（一）倍角（重点）与半角公式（无需记忆）：sin 2a=2 sin acos aaa 1 -cossin =2 2acos 2a=cos a-sin a=2 cos a-1=1 -2 sin a 1 +coscos =2 22atan 2a=2 tan1 -tanaaatan =21 -cos a sin a 1 -cos a= =1 +cos a 1 +cos a sin a (11 （二）万能公式（无需记忆）：sin a =2 tan1 +tana2a22cosa=1 -tan1 +tan22a2a2tana =2 tan1 -tana2a22六 三角函数的积化和差与和差化积公式sinacosb=12sin (a+b)+sin(a-b)cos asin b= sin a+b)-sin(a-b)2cosacos1b= cos2(a+b)+cos(a-b)sinasinb=-