小学思维数学讲义：进制的应用-带详解

1、1 2 35 4 3 2 1 000 1 20 1 20 1 2nn -10nn -10进制的应用教学目标1. 了解进制；2. 会对进制进行相应的转换；3. 能够运用进制进行解题知识点拨一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0 和 1。二进制的 计数单位分别是 1、2 、2 、2 、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为： (100110) =1

2、2 +02 +02 +12 +12 +02 。2二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数 n,我们有 n =1。3. k 进制：一般地，对于 k 进位制，每个数是由 0，1，2， ，（k -1）共 k 个数码组成，且“逢 k 进一”（kk 1） 进位制计数单位是 k ， k ， k ， 如二进位制的计数单位是 2 ， 2 ， 2 ， ，八进位制的计数单位 是 8 ， 8 ， 8 ， 4. k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式（a an n -1a a ） =a k 1 0 k nn+an -1kn -1+

3、 +a k +a 1 0十进制表示形式： n =a 10 +an10 + +a 10 ； n -1 0二进制表示形式： n =a 2 +a 2 + +a 2 ；n n -1 0为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上 k ，表示是 k 进位制的数如：（352），（1010） ，（3145） ,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数8 2 125. k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上 按从左到右顺序排列即为 k

4、进制数反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按 k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果如右图所示:1八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、进制在生活中的运用【例 1】 有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付。可是不付 又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7 环。对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这 一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话， 从不食言，可以请大老爷作证。”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分 文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越

5、发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的 一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提 到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！” 当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月， 顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？【考点】进制在生活中的运用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 断开第三环，从而得到 1，2，4 环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一 环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一

6、环。【答案】 1 ， 2 ， 4【巩固】 现有 1 克，2 克，4 克，8 克，16 克的砝码各 1 枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【考点】进制在生活中的运用 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 因为砝码的克数恰好是 1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4， 23=8，24=16，在砝码盘上放 1 克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是 1，放 2 克砝码认为是二 进位制数第二位是 1，放 16 克砝码认为是二进位制数第五位是 1，不放砝码就认为相应位数 是零，这样所表示的数中最小的是 1，最大的是(11111)2=24+23222120=(

7、31)10，这就是说 1 至 31 的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出 31 种不同重量的物体。【答案】 31【例 2】 茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快 满足顾客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把 茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼 里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。 于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是： 1，2，4，8，16，32，64，128，256。你能 解释一下其中的道

8、理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 略【答案】由于 1 =(1) ,2 =(10) ,4 =(100) 8 =(1000) ,16 =(10000) ,32 =(100000) 观察一下你会发现最佳员2 2 2 2 2 2工：所取的数字与二进制中的 (1) ,(10) ,(100) ,(1000) ,(10000) ,(100000) 对应，而我们所要的 3，2 2 2 2 2 25，6，7，9， 等等数字都可以用这些二进制相加得来，老师可以在黑板上给学生列竖式演示此2101010道理，说明取 1，2，4，8，16

9、，32，64，128，256 的道理。【巩固】 如果只考虑 100 克以内的重量，至少需要多少包？【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 至少需要 1，2，4，8，16，32，64（7 包）【答案】至少需要 1，2，4，8，16，32，64（7 包）【巩固】 如果只许在天平的一边放砝码，要称量 100g 以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？ 【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 至少需要：1，2，4，8，16，32，64 这七种重量的砝码即可。【答案】至少需要：1，2，4，8，16，32，64 这七种重量的砝码即可【巩固】 古代英国的一

10、位商人有一个 15 磅的砝码，由于跌落在地碎成 4 块，后来，称得每块碎片的重量都是 整磅数，而且可以用这 4 块来称从 1 至15 磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。 那么这 4 块砝码碎片各重 ， ， ，【考点】 【难度】星 【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 15 题【解析】 因为二进制数可以表达所有的自然数，而且表达形式是唯一的，例如：9=1+8 ，31=1+2+4+8+16 所以只要准备质量为 1,2,4,8 的二进制数砝码即可。【答案】1,2,4,8【例 3】 有 10 箱钢珠，每个钢珠重 10 克，每箱 600 个.如果这 10 箱钢珠中有 1 箱

11、次品，次品钢珠每个重 9 克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 略【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将 10 箱钢珠分别编为 110 号，然后从 1 号箱中取 1 个钢珠，从 2 号箱中取 2 个钢珠 ，这样共取了 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10=55（个）钢珠，重量是： 55 10=550 （克），如果轻了 n(1n10)克，那么第几号箱就是次品.在这个方法中，第 10 号箱也可 不取，这样共取出 45 个钢珠，如果重 450 克，那么 10 号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品. 总结：不同

12、的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数， 反之，也是。【例 4】 小马虎将一些零件装箱，每个零件 10g，装了 10 箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次 品零件 9 克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？【考点】进制在生活中的运用 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 略【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将 10 箱钢珠分别编为 110 号，然后从 1 号箱中取 1 个钢珠，从 2 号箱中取 2 个钢珠，从 3 号箱中取 4 个钢珠，从 4 号箱中取 8 个钢珠从 10 号箱中取 512 个钢珠， 共取出 1+

13、2+4+8+512=1023 个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重 10230 克，如果轻了 n(1n10)克，就看 n 是由 1，2，4，8，16，512 中的那些数字组成，则数字对应的那些号箱就是 次品.在这个方法中，第 10 号箱也可不取，这样共取出 511 个钢珠，如果重 500 克，那么 1，2，4 号箱是次品。【例 5】 计算机存储容量的基本单位是字节，用 b 表示，一般用 kb、mb、gb 作为存储容量的单位，它们 之间的关系是 1kb= 2 b，1mb= 2 kb，1gb= 2 mb。小明新买了一个 mp3 播放器，存储容量为 256mb，它相当于_b。31018012n-

14、1nn12n 13【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试28【解析】 256mb=256 2 【答案】 2b= 2kb= 228b【例 6】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入 1677 个五号字。现在页面中有 1 个五号字，将它复制后粘 贴到该页面，就得到 2 个字；再将这 2 个字复制后粘贴到该页面，就得到 4 个字。每次复制和粘贴 为 1 次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次。【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7 题，4 分【解析】 2 的 10 次方为 1024

15、，2 的 11 次方为 2048，所以需要操作 11 次。【答案】 11 次【例 7】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有 80 万吨重，愚公有两个儿 子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推。愚公和它的子孙每人一生能搬运 100 吨石头。如 果愚公是第 1 代，那么到了第 代，这座大山可以搬完。（已知 10 个 2 连乘之积等于 1024）【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】 设到了第 n 代，这座大山可以搬完2 +2+2+2 8000001002 4096，213=819

16、2答：到了第 13 代，这座大山可以搬完。【答案】 13 代【例 8】 1234567890123456789012345678901234567890,共 10000 个数字。第一轮去掉在奇数位置（从 左数起）上的数字，剩下 5000 个数字;第二轮再去掉这 5000 个数字中奇数位置上的数字，剩下 2500 个;第三轮， 直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是_ ,这时已经操作了 轮。【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，12 题【解析】 最后剩下的数是接近 10000 的 2 。已知 2 =8192， 8192 10 =819 2 ，第二个

17、数正好就是 2。另外， 根据操作规律，每 2n 个数，操作 n 次剩下最后一个数，所以，操作 13 次。【答案】 2 ，操作 13 次【例 9】 10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为 _克。【考点】进制在生活中的运用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 7 题【解析】 由于无论怎样放都不能使天平平衡，首先可以知道这 10 个砝码的重量各不相同。最轻的那个砝码至 少为 1 克，次轻的至少为 2 克，由于1 +2 =3 ，接下来的至少为 4 克，由此想到我们熟悉的 2 的次幂，当 10 个砝码的重量分别为 1 克，2 克

18、，4 克，8 克，16 克，512 克时满足题意，所 以这堆砝码的总重量至少为1 +2 +4 +8 + +512 =1023 克。【答案】 1023 克【例 10】 将 6 个灯泡排成一行，用 和 表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个 数字：1，2，3，4，5。那么 表示的数是 。 41234522( )( ) ()20061022220032003【考点】进制在生活中的运用 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 16 题，5 分【解析】 从图中数字 1、2、4 的表示可知：自右向左第一个灯亮表示 1，第二个灯亮表示 2，第三个灯亮表示 4，第四个

19、灯亮表示 8，第五个灯亮表示 16，第六个灯亮表示 32。因此问题当中的表示 16+8+2=26。【答案】 26模块二、巧求余数问题【例 11】 已知正整数 n 的八进制表示为 n =(12345654321) ，那么在十进制下， n 除以 7 的余数与 n 除以 98的余数之和是多少？【考点】巧求余数问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】2009 年，清华附中，入学测试题【解析】 与十进制相类似，有： (12345654321) =(111111) 8 8根据 8 进制的弃 7 法， (111111) 被 7 除的余数等于其各位数字之和，为 6，而 6 =36 除以 7 的余数8为 1

20、，所以 (111111) 的平方被 7 除余 1，即 (12345654321) 除以 7 的余数为 1；8 8另外， 9 =(11) ，显然 (111111) 能被 (11) 整除，所以其平方也能被 (11) 整除，即 (12345654321) 除8 8 8 8 8以 9 的余数为 0因此两个余数之和为1 +0 =1 【答案】 1【巩固】 在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的 68，求除以 7 的余数为多少？【考点】巧求余数问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】人大附中，分班考试【解析】 类似于十进制中的“弃九法”，8 进制中也有“弃 7 法”，也就是说 8 进制中一个数除

21、以 7 的余数等于这 个数的各位数字之和除以 7 的余数本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为 68，而 68 除以 7 的余数为 5，所以这个数除以 7 的余 数也为 5【答案】 5【例 12】 试求 (22006-1)除以 992 的余数是多少?10【考点】巧求余数问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 我们通过左式的短除法，或者直接运用通过 2 次幂来表达为 2 进制： 992 = 1111100000 ， 2 -1 =111 1我们知道在 2 进制中 111.10000.0 一定能被 10 2 2006 个1 2 5个1 5个或以上0 2 (1111100000)2 整 除 ，

22、所 以 11 1 1 =111.1000.0 +111111 ， 因 为 111.1000.0 能 被 2006个1 2000个1 6 个 0 2000个1 6个0 (1111100000)2 整除，所以余数为 (111111)=2 5 +2 4 +23 +2 2 +21 +20 =63 ，所以原式的余数为 63。2【答案】 63【例 13】 计算 (22003-1) 除以 7 的余数【考点】巧求余数问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 由于 23=8 除以 7 余 1，而 2003 3 =667 2 ，所以 22003-1除以 7 的余数为 22-1 =3 本题也可以转化为 2 进制进

23、行计算： 22003-1 =(111 1) ， 7 =(111) ，2 22003个1所以 (2 -1) 7 =(111 1) (111) 2 22003个1而 2003 3 =6672 ，所以 (111 1) (111) 余 (11) =3 2 2 22003个1所以 (2 -1) 除以 7 的余数为 35200320032003122【答案】 3【例 14】 计算 (3 -1) 除以 26 的余数【考点】巧求余数问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 题中有 3 的次幂，令人联想到将题中的数转化成 3 进制下的数再进行计算3 -1 =(1000.0) -(1) =(2223 32) ，

24、而 26 =(222) ， 3 32003个02003个2所以， (3 -1) 26 =(222 2) (222) 3 32003个2由于 (222) 整除 (222) ， 2003 3 =667 3 32 ，所以 (222 2) (222) 余 (22) =8 3 3 32003个2所以 (32003-1) 除以 26 的余数为 8【答案】 8模块三、进制与位值的综合运用【例 15】 在美洲的一个小镇中，对于 200 以下的数字读法都是采取 20 进制的。如果十进制中的 147 在 20 进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的 49 在 20 进制中的读音是

25、“naw ha dew ugens”， 那么 20 进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数【考点】 【难度】星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 12 题【解析】（147） =（77） ，（49） =（29） ，所以 ha 代表十位，ugens 代表个位，dew 代表 9，naw 代表 2。10 20 10 20（92） =（182） ，所以答案是 182.20 10【答案】 182【例 16】 一个自然数，在 3 进制中的数字和是 2007，它在 9 进制中的数字和最小是 ，最大是 。 【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】

26、解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 9 题【解析】 最大为 20073=6021，最小为 2007.【答案】最小 2007 ，最大 6021【例 17】 在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少?【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】 (abc)=a62+b61+c 60 =36 a +6b +c ； (cba)=c92+b 9+a 90=81c +9b +a ；6 9所以 36a +6b +c =81c +9b +a ；于是 35a =80c +3b ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数所

27、以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1所以，b=0 或 51 当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且 a、c0，所以 a=16，c=7。但是在 6,9 进制， 不可以有一个数字为 162 当 b=5，则 35a=35+80c；则 7a=3+16c；mod 7 后，3+2c0。所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数)因 为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+802，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =562+56+2=212。这个三位数在十进制中为 212。【答案】 212【例 18】 在 7 进制

28、中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【考点】进制与位值的综合运用 【难度】5 星 【题型】解答【解析】 首先还原为十进制：( abc ) =a 7 +b 7 +c =49 a +7b +c ； ( cba ) =c 9 +b 9 +a =81c +9b +a 7 9于是 49a +7b +c =81c +9b +a ；得到 48a =80c +2b ，即 24a =40c +b 因为 24 a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b =0 或 8但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字于是 b =0 ， 24a =40c ，则 3a