人教版高中数学必修二 阶段质量检测(四) 圆与方程

1、2 22 2222 22 222222222222 2222 222222 22阶段质量检测（四）圆与方程(时间 120 分钟满分 150 分)一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1直线 xy10 被圆(x1) y 3 截得的弦长等于( )a. 2c2 2b2d4解析：选 b 由题意，得圆心为(1,0)，半径 r 3，弦心距 d|101| 2，所以 1 1所求的弦长为 2 rd2，选 b.2若点 p(1,1)为圆 x y 6x0 的弦 mn 的中点，则弦 mn 所在直线的方程为( )a2xy30 cx2y30bx2y

2、10 d2xy10解析：选 d 由题意，知圆的标准方程为(x3) y 9，圆心为 a(3,0)因为点 p(1,1)为弦 mn 的中点，所以 apmn.又 ap 的斜率 k10 1 ，所以直线 mn 的斜率为 2，所 13 2以弦 mn 所在直线的方程为 y12(x1)，即 2xy10.3半径长为 6 的圆与 x 轴相切，且与圆 x (y3) 1 内切，则此圆的方程为( )a(x4) (y6) 6 c(x4) (y6) 36b(x4) (y6) 6 d(x4) (y6) 36解析：选 d 半径长为 6 的圆与 x 轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则 b6.再由 a 3 5，可以解得 a4，故所求

3、圆的方程为(x4) (y6) 36.4经过点 m(2,1)作圆 x y 5 的切线，则切线方程为( )a. 2xy50 b. 2xy50c2xy50 d2xy50解析：选 c m(2,1)在圆上，切线与 mo 垂直1k ，切线斜率为2.又过点 m(2,1)，mo 2y12(x2)，即 2xy50.5把圆 xy 2x4ya20 的半径减小一个单位则正好与直线 3x4y40 相切，则实数 a 的值为( ) a3c3 或 3b3d以上都不对解析：选 c 圆的方程可变为(x1) (y2) a 7，圆心为(1,2)，半径为 a 7，22 222222222 2 1 1 2 1 5222 4222 2|1

4、3424|由题意得 a 71，解得 a3. 46. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水 面 2 米，水面宽 12 米，当水面下降 1 米后，水面宽度为( )a14 米c. 51米 解析：选 db15 米 d2 51米如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为 x 轴，以过圆 弧形拱桥的顶点的竖直直线为 y 轴，建立平面直角坐标系设圆心为 c，水面所在弦的端点为 a，b，则由已知可得 a(6，2)，设圆的半径长为 r，则 c(0，r)，即圆的方程为 x(yr) r .将点 a 的坐标代入上述方程可得 r10，所以圆的方程为 x (y10) 100，当水

5、面下降 1 米后，水面弦的端点为 a，b，可设 a(x ，3)(x 0)，代入 x (y10) 100，解得 x 51，0 0 0水面宽度|ab|2 51米7过点(3,1)作圆(x1) y 1 的两条切线，切点分别为 a，b，则直线 ab 的方程为 ( )a2xy30 c4xy30b2xy30 d4xy30解析：选 a 设点 p(3,1)，圆心 c(1,0)已知切点分别为 a，b，则 p，a，c，b 四点共圆 ， 且 pc 为 圆 的 直 径 故 四 边 形 pacb 的 外 接 圆 圆 心 坐 标 为 2， ， 半 径 长 为22 252.故此圆的方程为(x2) y .圆 c 的方程为(x1

6、) y 1.得 2xy30，此即为直线 ab 的方程8已知在平面直角坐标系 xoy 中，圆 c 的方程为 x y 2y3，直线 l 经过点(1,0) 且与直线 xy10 垂直，若直线 l 与圆 c 交于 a，b 两点，则oab 的面积为( )222 22222222222 22 222a1 b. 2c2 d2 2解析：选 a 由题意，得圆 c 的标准方程为 x (y1) 4，圆心为(0，1)，半径 r 2.因为直线 l 经过点(1,0)且与直线 xy10 垂直，所以直线 l 的斜率为1，方程为 y0|011|(x1)，即为 xy10.又圆心(0，1)到直线 l 的距离 d 2，所以弦长|ab|

7、2|001| 12 r d 2 422 2.又坐标原点 o 到弦 ab 的距离为 ，所以oab 的面2 21 1积为 2 2 1.故选 a.2 2二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分请把正确答 案填在题中的横线上)9圆心在直线 x2 上的圆 c 与 y 轴交于两点 a(0，4)，b(0，2)，则圆 c 的方程为 _解析：由题意知圆心坐标为(2，3)，半径 r 325，圆 c的方程为(x2) (y3) 5.答案：(x2) (y3) 510已知空间直角坐标系中三点 a，b，m，点 a 与点 b 关于点 m 对称，且已知 a 点的 坐标为(3,2,1)

8、，m 点的坐标为(4,3,1)，则 b 点的坐标为_x3 y2 z1解析：设 b 点的坐标为(x，y，z)，则有 4， 3， 1，解得 x5，y4，2 2 2z1，故 b 点的坐标为(5,4,1)答案：(5,4,1)11圆 o：x _y 2x2y10 上的动点 q 到直线 l：3x4y80 的距离的最大值是解 析 ： 圆 o 的 标 准方 程 为 (x 1) (y 1) 1 ， 圆 心 (1,1) 到 直 线 l 的 距 离 为 |31418|31，动点 q 到直线 l 的距离的最大值为 314.3 4答案：412已知过点(1,1)的直线 l 与圆 c：x y 4y20 相切，则圆 c 的半径

9、为_， 直线 l 的方程为_解析：圆 c 的标准方程为 x (y2) 2，则圆 c 的半径为 2，圆心坐标为(0,2)2 22 2222 222 222 22222222222 3 1 3 2 222 2 2 2 21点(1,1)在圆 c 上，则直线 l 的斜率 k 1，2101则直线 l 的方程为 yx，即 xy0.答案： 2 xy013已知圆 c：(x1) y 25 与直线 l：mxym20，若圆 c 关于直线 l 对称， 则 m_；当 m_时，圆 c 被直线 l 截得的弦长最短解析：当圆 c 关于 l 对称时，圆心(1,0)在直线 mxym20 上，得 m1.直线 l： m(x1)y20

10、 恒过圆 c 内的点 m(1，2)，当圆心到直线 l 的距离最大，即 mcl 时，圆 c 被直线 l 截得的弦长最短，k mc201，由(m)11，得 m1. 11答案：1 114已知点 m(2,1)及圆 x y 4，则过 m 点的圆的切线方程为_，若直线 axy 40 与该圆相交于 a，b 两点，且|ab|2 3，则 a_.解析：若过 m 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为 x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为 yk(x2)1，由圆心到切线的距离等于半径得 3 3解得 k ，故切线方程为 y (x2)1，即 3x4y100.4 4综上，过 m 点的圆的切线方程为 x2 或 3

11、x4y100.|2k1|2，k 1由4 4a 132得a 15.答案：x2 或 3x4y100 1515已知两圆 c ：x y 2ax4ya 50 和 c ：x y 2x2aya 30，则两1 2圆圆心的最短距离为 _，此时两圆的位置关系是 _(填 “外离、相交、外切、 内切、内含”中的一个)解析：将圆 c ：x y 2ax4ya 50 化为标准方程得(xa) (y2) 9，圆心1为 c (a，2)，半径为 r 3，将圆 c ：x1 1 2y 2x2aya 30 化为标准方程得(x1)(ya) 4，圆心为 c (1，a)，半径为 r 2.两圆的圆心距 d2 2a 2a2 2a 6a5 内含2

12、a ，所以当 a 时，d ，此时 |32|，所以两圆min答案：22内含三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)22 22 2222 22 2222216(本小题满分 14 分)已知正四棱锥 p-abcd 的底面边长为 4，侧棱长为 3，g 是 pd 的 中点，求|bg|.解：正四棱锥 p-abcd 的底面边长为 4，侧棱长为 3，正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 ab，bc 所在的直线分别为 y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点 b，d，p 的坐标分别为 b(2,2,0)，d(2，2,0)，p

13、(0,0,1)1g 点的坐标为 g 1，1，|bg|1 73 3 3 .4 217(本小题满分 15 分)已知从圆外一点 p(4,6)作圆 o：x y 1 的两条切线，切点分别 为 a，b.(1) 求以 op 为直径的圆的方程；(2) 求直线 ab 的方程解：(1)所求圆的圆心为线段 op 的中点(2,3)，1 1 半径为 |op|2 22 213，以 op 为直径的圆的方程为(x2) (y3) 13. (2)pa，pb 是圆 o：x y 1 的两条切线， oapa，obpb，a，b 两点都在以 op 为直径的圆上xy 1， 由 x y13，得直线 ab 的方程为 4x6y10.18(本小题满

14、分 15 分)已知圆过点 a(1，2)，b(1,4)(1) 求周长最小的圆的方程；(2) 求圆心在直线 2xy40 上的圆的方程解：(1)当线段 ab 为圆的直径时，过点 a，b 的圆的半径最小，从而周长最小，1即以线段 ab 的中点(0,1)为圆心，r |ab| 10为半径2则所求圆的方程为 x (y1) 10.4 (2)法一：直线 ab 的斜率 k 3，11222222222 2 22222222 22 22 2222 22222221则线段 ab 的垂直平分线的方程是 y1 x，3即 x3y30.x3y30， x3，由 解得2xy40， y2，即圆心的坐标是 c(3,2)r |ac| (

15、31) (22) 20.所求圆的方程是(x3) (y2) 20.法二：设圆的方程为(xa) (yb) r2. a 2b r ， 则 1a b r ，a3， b2，2ab40r20.所求圆的方程为(x3) (y2) 20.19(本小题满分 15 分)已知圆 x y 4ax2ay20a200.(1) 求证：对任意实数 a，该圆恒过一定点；(2) 若该圆与圆 x y 4 相切，求 a 的值解：(1)证明：圆的方程可整理为(x y 20)a(4x2y20)0，此方程表示过圆 xy 200 和直线4x2y200 交点的圆系xy 200， x4，由 得4x2y200 y2.已知圆恒过定点(4，2)(2)圆

16、的方程可化为(x2a) (ya) 5(a2) . 当两圆外切时，dr r ，1 2即 2a25a ，解得 a15 5或 a1 (舍去)； 5 5当两圆内切时，d|r r |，1 2即| a2|5a ，解得 a15 5或 a1 (舍去) 5 5综上所述，a15.520(本小题满分 15 分)在平面直角坐标系 xoy 中，o 为坐标原点，以 o 为圆心的圆与直 线 x 3y40 相切(1)求圆 o 的方程2 2222k3k 1226k 6 2k 1 k 12(2)直线 l：ykx3 与圆 o 交于 a，b 两点，在圆 o 上是否存在一点 m，使得四边形 oamb 为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由|0 304|解：(1)设圆 o 的半径长为 r，因为直线 x 3y40 与圆 o 相切，所以 r132，所以圆 o 的方程为 x y 4.(2)法一：因为直线 l：ykx3 与圆 o 相交于 a，b 两点，所以圆心(0,0)到直线 l 的距离 d|3|1k5 5或 k . 2 2假设存在点 m，使得四边形 oamb 为菱形，则 om 与 ab 互相垂直且平分，1所