01函数及其表示学案(答案)

1、第一节函数及其表示一、学习目标1.了解函数的概念，构成函数的要素，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数； 2.了解简单的分段函数，并能简单应用；3.了解简单的复合函数，并能简单应用。二、知识梳理（一）函数的概念1函数与映射的概念定义函数设集合 a，b 是两个非空数集，如果按照某 种确定的对应关系 f，使对于集合 a 中的任 意一个数 x，在集合 b 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f : a b 为从集 合 a 到集合 b 的一个函数。映射建立在两个非空集合 a 到 b 的一种确定的 对应关系 f，使对于集合 a 中的任意一个元 素 x，在集合

2、b 中都有唯一确定的元素 y 与 之对应记法yf(x)，xa f：ab注意：判断函数图象的常用结论：与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点。2.函数的三要素（1） 函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成。（2） 对函数 yf(x)，xa，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 a 叫做定义域，与 x 的值对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xa叫做值域，显然，值域是集合 b 的子集。3.相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。（二）函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。1. 解析法：就是把变量

3、x,y 之间的关系用一个关系式 yf(x)来表示，通过关系式可以由 x 的值求出 y 的值。2. 列表法：就是将变量 x,y 的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系。3. 图像法：就是把 x，y 之间的关系绘制成图像，图像上每个点的坐标就是相应的变量 x，y 的值。c a y = f ( g ( x )（三）分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。 说明：分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系；画分段函数图像时，应根据不同定义域上的不同解

4、析式分别作出。当 自变量不确定时，需分类讨论。（四）复合函数如果函数 yf(t)的定义域为 a，函数 t=g（x）的定义域为 d，值域为 c，则当 时，称函数为 f(t)与 g（x）在 d 上的复合函数，其中 t叫做中间变量，t=g（x）叫做内层函数，yf(t)叫做外层函数。三、典例分析【题型一】函数的基本概念【例 1】若函数 yf(x)的定义域为 mx|2x2，值域为 ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是( )【解析】 a 中函数定义域不是2,2，c 中图象不表示函数，d 中函数值域不是0,2。故选 b。【答案】 b【变式训练 1】对于集合 ax|0x2，by|0y3，则由下列图形给

5、出的对应 f 中，能构成从 a 到 b 的函 数的是( )解析 对于 b，c 两图可以找到一个 x 与两个 y 对应的情形，对于 a 图，当 x2 时，在 b 中找不到与之对应 的元素。故选 d。222 2 2 2 2 2 4答案 d【题型二】相等函数的判断【例 2】下列四组函数中，表示同一函数的是( ) a f(x)|x |，g(x) x2bf(x)lgx2，g(x)2lgxx21cf(x) ，g(x)x1x1d f(x) x1 x1，g(x) x21【解析】 a 中，g(x) x2|x |，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；b 中，两个函数的定义域x21不同，故不表示同一函数；c

6、 中，f(x) x1(x1)与 g(x)x1 两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；x1d 中，f(x)的定义域为1，)，g( 【答案】 ax)的定义域为(，11，)，所以不是同一函数。故选 a。【变式训练 2】下列各组函数中，两个函数是同一函数的组数有（ ）f ( x) =| x |x与1, x 0 g ( x) =-1, x 0y =x2-4 x +6 与 y =(t -2)2+2f(x)=x -2， g (x)=x 2 -1x -1-3f (x)=x， g (x)=(x)2f ()t=t-1， g (x)= x -1, x 1 -x +1, x 0，【例 4-1】 （1）已知函数 f(

7、x)3x，x0，)则 f(f(4)的值为( )1a91b9 c. d99(2)已知 f ( x ) =1x 2 , x0, +) p sin x , x-,0 2 1若 f(a) ，则 a_。 21 1 1【解析】 (1)f(4)log 4log2 2 222，所以 f(f(4)f(2)3 21 。故选 c。 91 1 1 1(2)若 a0，由 f(a) 得， a 2 ，解得 a ；若 a0，则|sina | ，2 2 4 2 1 a ，0 ，解得 a 。综上可知，a 或 。6 4 61 【答案】 (1)c (2) 或4 63xb，x1，【变式训练 4-1】（1）设函数 f(x)2x，x1。若

8、 5 f f =4 ，则 b( )7 3 1a 1 b. c. d.8 4 2x，x(，a)，（2）设函数 f(x)x2，x a， 。若 f(2)4，则 a 的取值范围为_。62b，ab1，) 设 f(x) 2(x 1) (4x)，若函数 yf(x)k 的 5 5 5解析（1） f 3 b b，6 25 3当 b1，即 b 时，f 2 25 5b 2 b， 25 5 1即 2 b422，得到 b2，即 b ；2 2 25 3 5 15 15当 b 时，f b 3bb 4b， 2 2 2 2 215 7 3即 4b4，得到 b ，舍去。2 8 21综上，b 。故选 d。2答案 d【解析】（2）

9、因为 f(2)4，所以 2 【答案】 (，2a，)，所以 a2，则 a 的取值范围为(，2。角度二：分段函数图象与性质的应用【例 4-2】对任意实数 a，b 定义运算“ ”：a ba，ab1。图象与 x 轴恰有三个不同交点，则 k 的取值范围是( )a (2,1) c2,0)b0,1 d2,1)【解析】 解不等式 x21(4x)1，得 x2 或 x3。x4，x(，23，)， 所以 f(x)x21，x(2，3)。)其图象如图实线所示，由图可知，当1k2，yf(x)与yk 恰有三个交点，即当2k1 时，函数 yf(x)k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点。故选 d。【答案】 d反思归纳 1.对于分

10、段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给 定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。2 由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数 图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围。x，x0，1)，【变式训练 4-2】已知定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x2)2f(x)，当 x0,2时，f(x)x22x，x1，2，函数 yf(x)在2,4上的大致图象是( )则解析 方法一：因为 f(x2)2f(x)，所以 f(x)

11、2f(x2)，当 x2,4时，x20,2x，x0，1)，又 x0,2时，f(x)x22x，x1，2，2(x2)，x2，3)， 2(x2)，x2，3)，所以 x2,4时，f(x)2f(x2) 2(x2)24(x2)，x3，4 2(x3)22，x3，4，结合选项知 a 选项正确方法二：因为 f(x2)2f(x)，所以 f(x)2f(x2)，x，x0，1)所以当 x2,4时 f(x)的图象可看作由 f(x)x22x，x1，2图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的 2 倍得到【答案】a的图象沿 x 轴方向向右平移两个单位，再把【题型五】复合函数【例 5】指出下列函数的复合过程。（1）y=2-x2(2)y=sin3x (3)y=3cos1- x2解：() y=2-x2 是由 y=u,u=2-x2 复合而成的。 （2）y=sin3x 是由 y=sinu,u=3x 复合而成的。（3