弹性力学空间问题课案

1、第十章 弹性力学空间问题11知识点空间柱坐标系 空间轴对称问题的基本方程 空间球对称问题的基本方程 布西内斯科解 分布载荷作用区域外的沉陷 弹性球体变形分析 热应力的弹性力学分析方法 坝体热应力 质点的运动速度与瞬时应力 膨胀波与畸变波 柱坐标基本方程 球坐标的基本方程 位移表示的平衡微分方程 乐普位移函数 载荷作用区域内的沉陷 球体接触压力分析 受热厚壁管道 弹性应力波及波动方程 应力波的相向运动、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。 本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹 性力学空间问题求解的方法， 这对于引导大家今后解决某些复杂的

2、空间问题， 将 会有所帮助。 另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基 本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习， 例如土建工程的地基 基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。 然后讨论布希涅斯克问 题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。 通过布希涅斯克问题的求解， 进 一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。二、重点1、空间极坐标和球坐标问题； 2、布希涅斯克问题； 3、半无限空间作 用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题； 4、弹性波； 5、

3、热应力。10.1柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路：对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些 问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、 特别是边界条件的 描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此， 坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得 不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基 本方程。学习要点：1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。1、空间柱坐标系在直

4、角坐标系下，空间任意一点 M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的, 而在柱坐标系下，空间一点 M的位置坐标用（，z）表示。直角坐标与柱坐标的关系为：x =? cos ， y = sin :，z = z柱坐标下的位移分量为：u:, u :, w柱坐标下的应力分量为：二， ，；:z，卞，匕，柱坐标下的应变分量为：匚，；，；z， ：， -2，以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。2、柱坐标基本方程1、平衡微分方程2、几何方程1认a7dzdwdpldw枫 p dtp dz3、物理方程乐二朋*2戸弓二兄B +2戸备，込二2&+2并各,J = %， J =戸S % = %其中Ev(l+v)(l-2y)和戸

5、二E2(1+y)3、空间轴对称问题的基本方程对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对 称于某一坐标轴，例如z轴时，则根据变形的对称性，有叫二肚% 二 9忆)， w = w(p,z)根据几何方程，贝UJ，而根据本构方程，贝U -门。其余应变分量和应力分量仅是坐标? ,z的函数，而与坐标无关。因此，基本方程可 以简化为 1、平衡微分方程2、几何方程- dzy = +s dz dp3、本构方程_ E , f 2(1 + V)Yxfl + i/v1-2；%)，10.2球坐标表示的弹性力学基本方程学习思路：对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选 择与

6、问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。因此，坐标系的选取直 接影响问题求解的难易程度。对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。这些问题如果 应用直角坐标问题可能得不到解答。本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。 对于空间球对称问题的基本方 程表达形式作专门的探讨。学习要点：1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程1、球坐标的基本方程在球坐标系下，空间一点 M的位置是用3个坐标（R,匕）表示。直角坐 标与球坐标的关系为x= /?sincos, y = -Rsinsin,z 二 Rex召如果分别采用表示柱坐标下的位移分量；采用 : ) J ., 5 ,.和一.*.

7、：.分别表示柱坐标下的 应力和应变分量。则它们应该满足下列方程，有1、平衡微分方程9cr1 du亠I耳二:* /?sin dtpI 8叫十3%气Rsin& dip dRR ?陆i 3r B i唱 + (2b左-cr&-a + cot ff) + =Q 昧 /?阳朋in0牝尺刃1+(知-碍)cot&+兀J+氐=0叽十1 3听十37? R 30 Rsiii Spd 匸如113 61 + +*一卩厂腕*2坯 st&+氐=0dRRd& Rsind如R“2、几何方程du AUr t_ 1 B 叫 du& ue/ifi V而+五丘 51 du.1YJ (-一- u cot &) + 3、物理方程EX S.

8、S2Q3)2、空间球对称问题的基本方程对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因 素都对称于某一点（例如坐标原点）。由于变形的对称性，则11 - - 11 。根据几何方程和本构方程，则和- r.r -（，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R的函数，而与坐标二，无关。而且 5 - 。因此基本方程可以简化为T如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方 程为10.3半无限平面受法向力的作用学习思路:1885年，布西内斯科(Boussinesq.J.V)首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。这一问题的求解是弹性力学

9、最有理论价值的结论之一。布西内斯科问题的求解对于地基应力、 基础沉陷和弹性力学接触等领域的研 究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。求解方法采 用位移法，求解步骤为：1、建立位移表示的平衡微分方程。2、引入乐甫(love)位移函数简化问题分析。这一方面简化问题分析，使得 基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体 的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定 系数。4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平

10、面的沉陷等。学习要点:1、位移表示的平衡微分方程；2、乐甫位移函数与基本方程；3、乐 甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。1、位移表示的平衡微分方程设半无限体的表面受法向集中力 F的作用，选取坐标系如图所示在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。对于半无限平面受法向集中力 F的作用问题。根据结构的受力分析，显然这 是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。问题的求解有多种方法，下面讨论位移法求解。将轴对称问题的本构方程E vF v6 二(l + i 1-21/ E 碍=JT = (0 + E h1+v l-2vy1+小石“小叨时4E代入平衡微分方程&p dz

11、pp+=0dp dz p则可以得到位移表示的平衡微分方程。（左矜叫-塔）+岛1 - 2v dppi ba冬厂+瓦l-2u021 命其中，空间轴对称问题的拉普拉斯算符为 op pop dz如果不计体力，则平衡微分方程可以简化为-器+寸亿-与二01 - 2yp+ Vaw = 01 - 2v dz2、乐甫位移函数与基本方程对于无体力的半无限平面受法向集中力作用问题，基本方程为在给定边界条件下求解位移表示的平衡微分方程。对于空间轴对称弹性体分析，可以引入乐甫 （love）位移函数简化问题分析。设位移分量为1 3切ti 1_2G 8pBz1护方2Q-诃-討/将上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到关于

12、C，Z）的双调和方程。 （，z）称为乐甫函数。因此，问题就归结于在给定的边界条件下求解双调和函 数 （-，Z）。引入乐甫位移函数一方面可以简化问题，使得基本方程成为双调和方程；另因此减一方面由于乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量, 少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。将乐甫函数表达的位移分量代入几何方程和本构方程，则%二2（闪一丄厂）护（焰忑）ozp op6 =?（2-叮厂-爲）呎卩）dzdz% =-卩）-当）艸3dpcfc问题求解的关键是建立双调和函数 （：，Z） 3、乐甫位移函数的选择与基本未知量根据量纲分析，应力分量表达式应为 F乘以，z， R等长度坐标的负二次 幕

13、，位移分量应为长度坐标的负一次幕函数。如果注意到应变分量和位移分量之 间的关系，以及应变分量和应力分量之间的关系， 可以知道，乐甫函数,z）为 ，z，R的正一次幕的双调和函数。所以设乐甫位移函数为妙+z)其中、f：，而A和B为任意常数。将乐甫函数代入位移和应力分 量表达式，则可以得到位移分量pR+z应力分量41TR31/3z , z-2v)z由平衡条件，有8F 二-Jb二矽S0求解可以得到4啊Q -巧+ 2兀禺=0联立求解上述方程，可得4、边界条件与布西内斯科解考虑距离表面为z的水平面上的正应力的合力A = 3 - *)2 71。回代可得位移分量为r(l-2v)z 3p z. A r z 1

14、nC ；L ；丰-T 11 R3R5 1 血疋艮(R + z).(1 - 2v)z1b电二 ； + Aj1 R3 /?(/? +z)根据面力边界条件，有r八“() 兀-I.J： 匚-0。根据上述边界条件第二式，可得月(1-2卩)+ & 二013磐12总弓%Q + y)F 尹2nER应力分量为(1-2)RR +z383Fz32叙?根据位移表达式，对于任何一条常数的直线上，位移与距坐标原点的距离成 反比。在无穷远点，位移趋于零。在 z = 0的平面上，即半无限体表面上任一点 的法向位移（即沉陷）为(1-v2)FnEp上式对于任意的z =0,而工0均成立。公式表明，半无限体表面的沉陷与该 点到力的作

15、用点的距离成反比。上述公式称为布西内斯科解。10.4半无限平面作用法向分布载荷学习思路：通过布西内斯科问题解答的叠加， 可以得到表面区域作用分布载荷问题的解 答。本节讨论半无限体，表面半径为 a到圆形区域，作用均匀法向分布力问题。 分析半无限弹性体的应力和位移分布等，特别是表面沉陷问题。问题分为三个部分讨论。一是载荷作用区域中心点下方的位移；二是载荷作 用区域外的沉陷；三是载荷作用区域内的沉陷。由于分布载荷是连续的，因此问题的迭加工作可以通过积分完成。这里应该特别注意的是布西内斯科解的坐标在积分中的变换问题。由于坐标的变换，因此对于每一个问题都要建立积分的局部坐标。积分坐标变换是本节学习的难点

16、。学习要点：1、载荷作用区域中心点下方的位移；2、载荷作用区域外的沉陷；3、载荷作用区域内的沉陷。1、载荷作用区域中心点下方的位移在半无限体的表面半径为a到圆形区域作用法向分布力，其应力分量和位移 分布情况可以通过半无限体受法向集中力的结果迭加得到。 设圆形区域的半径为 a,单位面积的压力为q,如图所示I W首先分析载荷作用圆形区域中心下面（即 z轴上）任意一点的位移表达式 对于圆形区域中心下面任意一点 M，由于对称性，有比厂气二0z方向的位移分量可以根据公式的第二式得到。引进变量 并且注意到討”0cosR则环形面积上的分布载荷q引起圆形区域中心下面任意一点 M的位移为曲二理土空a - V）+

17、占詔 pAp2nEp所以地皿和)血+ E孙ipi 2畅 L vf (l + i/屈血0 ；小 (l + i/)ga Jd+M zz二 I -PQ)一y- + sin二一-(-)2Q - 21/) +=匕 Ecos pE a a賦心令上式中z=0，则可得载荷圆域中心点的沉陷为W2、载荷作用区域外的沉陷下面讨论半无限体表面的沉陷。对于半无限体表面上的点M，则必须首先区分它在载荷圆形区域之外，还是在圆形区域之内。如果点M位于载荷圆形区域之外，则由图可见变量s和作为描述圆形区域的局部坐标，贝肪根据公式可得图中阴影部分的合力在M点产生的沉陷为(1 -v2 )gdZ _ (1 -v3)gsdj(is _

18、(L-v3)g因此，M点的总沉陷为对上式进行积分，ds 二-p1 sin2注意到弦mn的长度，即7討八并且在积分时考虑对称性，可得积分上限T是的最大值，即圆的切线与0M之间的夹角，对于确定的点M， 它是确定的值。为了简化运算，我们引进变量 ，由图可见，它与之间的关系 为a sin = : sin1由此可得A -丄，回代可得$二（_ 3F2 tt 因此。1_叭+1-匕)兀旳層4a圆形接触区域的半径为mn因为s长度mn为-Jasm倂。s长度mn中点的压力为q(P)，所以最大接触压力为*4（眉十朋）E?ri A:如果 Ei=E2=E,.i=2=0.3，贝U6FE2RR%Tm03*糾 Rt R可圆形接

19、触区域的半径为o=L 11負取+R球体接触为肌 1.23根据上述分析，也可以进一步求解球体的接触应力分布 0.6弹性力学热应力问题学习思路：弹性体由于环境温度的变化而导致膨胀和收缩，并且伴随产生应力，这种由 于温度改变出现的应力称为温度应力，或者热应力。对于某些在温度变化环境下 工作的工程结构，热应力是不容忽视的。本节将通过简例扼要说明热应力的弹性力学分析方法。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。通过受热厚壁管道和坝体热应力分析， 介绍热应力问题分析和求解的基本方 法。学习要点:1热应力的弹性力学分析方法；2、受热厚壁管道；3、热弹性势 函数和管道热应力；4、楔形

20、体坝体；5、坝体热应力。1、热应力的弹性力学分析方法对于各向同性弹性体，在均匀温度下受热将发生膨胀，如果变形前的三个坐 标方向尺寸相同，均为I，变形后各个方向的伸长均为：l，称为线膨胀系数。如 果温度变化为T，则各个坐标方向的线应变为如果弹性体所处的环境温度是随着时间和空间变化的，称为温度场。在直角坐标系，温度场是时间和坐标的函数，有 T= T (x, y，z, t)。如果温度场不随时 ST .间变化(乔)，称为定常温度场，即热源强度 W=0。否则均为非定常温 度场。温度场是一种数量场。热量的传递引起温度的变化，也就是温度梯度的变化。如果单位时间、单位 面积上传递的热量定义为热流密度，显然热流

21、密度与温度梯度成正比，方向相反。 这一规律称为傅立叶定律。以下给出平面热应力问题的基本方程。对于热应力问题，平衡微分方程和几 何方程是相同的，不同的是物理方程。平面应力问题，本构方程为2(1 +咏犁平面应变问题，本构关系为1-v（叮弋炖F面给出受热管道和坝体的热应力分析结果 2、受热厚壁管道对于受热厚壁管道，设管道的内径为 a,外径为b。管道内温度增量为Ta, 管道外温度增量为0,管道内无热源时管道内热应力为 0。由于管道为定常温度 场，根据热传导方程可以得到=0, V = 0 dtd 71作为轴对称温度场，有。积分可得-1 1 0ap p dp7L=- = T-a_ Ta-Tainb根据边界

22、条件T=b = 0，可以得到 也&一加乃111 3 -Ind。则Ind - In z?T =-In lnb对于轴对称问题，有平衡微分方程为r1；：.:几何方程本构方程旦(一召十足)_竺】1+ r 1- 2vp 1 2詁1 + 討 1 - 2vEv9aET (1 + v)(l - 2v)1一2詁将上述应力分量代入平衡微分方程，有Id忙1叫_%dp2 p S p21+v1-vATaAP3、热弹性势函数和管道热应力|引入热弹性势函数门（0，使得护 1 d 1 d z d x+二(p一)dp pAp p dp dp 注意到将门o代入平衡微分方程，可得2(屛_)心一丄g二空 1篦dp dp p 1-v

23、In a - nb求解可得(p)防lnb -In a(In i - In p +1)其中In 6 - In (2 in - +1)P2G0In d - In tzg(2111 1)注意到上述应力分量在边界二a和= b分别等于常数qi和q2,这与命题边界 条件不符。对这一问题，可以借助平面轴对称问题的解， 叠加可以得到管道热应 力-ccETa In In 2(1 - v) In力一In 盘4、楔形体坝体对于顶角为2 1的楔形体坝体，坝体内部的热应力是一个重要的工程实际问 题。这个问题比较复杂，引起温度变化的原因也是多方面的。 这里仅讨论楔形体 坝体中心线的温度变化为 To，坝体两侧面温度变化为零

24、的情况。设坝体内部的 温度变化为cosp - cos 0坝体问题属于平面应变问题，但是为了使得问题简化，先按照平面应力问题 分析。对于弹性力学平面应力问题的位移解法，热弹性势函数G满足于少二(1+ y)力取热弹性势函数宀，代入上式，可得3C5旳FT1 - COS所以(1 +刃码3(1 - COSy!7)D =(1 + v)aT0 cos/?4(1- cos/?)回代可得怦炉（討旷扫询1 - cos p 34根据上述热弹性势函数，可以得到应力分量的特解叫=(-cos-Ar2)rf - sin胛】3T其中把=丘舛11- cosy?匕=cos/?25、坝体热应力上述应力分量特解在边界的值为为了消除与

25、原命题不符的上述应力场，类似地叠加一个相反的应力场。为此考虑应力函数飙 c 诃）二因为门为双调和函数，所以O（G毋）=p （/cos2- Ssin2p+ Cp+ D）根据平面问题的极坐标解，可以求解应力场，叠加可以得到楔形体坝体的热应力计算公式一航Gill COSy?C0SP+ COS2 0)一七1(COSP 一 COS0)b厂死_ 一 样百祜 (cos - cos/?)r =根据上述应力表达式，最大拉应力在坝体边界，有0.7弹性波初等理论学习思路：变形物体受突加载荷作用后，将产生变形。这种变形和与之伴随而生的应力 并不能立即传递到物体的其它部分。 在开始时刻，物体的变形仅仅在加载区域的 临近

26、区域产生，而这个邻域以外的部分则仍处于未扰动状态。 其后，物体的变形 和应力便以波的形式向远处传播。由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的多，因此，物体运动方式主要 表现为波的传播。根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用方式，波的传播过程将呈现各 种不同的特性。本节主要介绍弹性波的基本理论，主要介绍概念为：1、讨论弹性波和波动方程。这个问题通过半无限长弹性杆件说明，因此不 存在波的反射问题的；2根据波动方程分析质点的运动速度与瞬时应力的关系；3、讨论弹性波的相向运动。由于有限长杆件的弹性波问题必然存在波的反 射；4、介绍部分常见弹性应力波。弹性波问题是一个相当复杂的问题。根据扰动源、介质性

27、质和物体形态的不 同，将使得问题出现各种复杂，但是有趣的现象。此外还有其它形式传播的弹性 波，非弹性波。这些弹性波问题对应一定的工程技术应用问题。本节介绍的仅仅是弹性波理论的初等理论。学习要点:1弹性应力波及波动方程；2、质点的运动速度与瞬时应力；3、应 力波的相向运动；4、膨胀波与畸变波。1、弹性应力波及波动方程首先以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。设材料的弹性模量为E,密度为亠设杆件所受载荷比较小，使得杆端应力 二Wsd,匚sd为材料的动屈服极限。同 时设载荷为压力，则杆件传播的是弹性压缩波。因此设压缩应力为正，则运动方 程（波动方程）为d2u 2 S2ua? 丽

28、其中是一个与应力大小无关的常数，为杆件中弹性纵波的波速。对于金属材料而言，其数量级为每秒几千米（弹性横波的波速一般是纵波的一半）。般材料的Co值可以查表得到。应该指出，波的传播速度 u和在波传播中材料质点的运动速度 v是两个不 同的物理量，不能相互混淆。材料的质点受到扰动后，只能在平衡位置附近运动， 其运动速度称为质点的速度V。而质点将所受到的干扰相继传播到相邻质点的速 度，称为波的传播速度u。对于波动方程这个二阶微分方程可以改写作与之等价的一阶偏微分方程组, 如果令.，则上二二，所以1 口。处班灰E dt 敗波动方程可以写作dt dx上述方程写作矩阵形式，有rp 0 ?ro -1V*绘+0 -1 的杆件内，没有受到扰动。在扰动段内，。因此，杆件端部的总位移为.-。在这个时间内，杆件端部的位移同时应该为 vt，令二者相等，贝U可以得到质点的运动速度 V 与瞬时应力匚的关系。3、应力波的相向运动对于有限长杆件，干扰作用的弹性应力波将在杆件端部产生反射，因此需要 考虑两个相向运动的应力波的作用。假如两个相向运动的应力波的应力分别为门和二2，符号相同。