极值点偏移问题地两种常见解法之比较

1、实用标准ab,a b, ln a lnb a,a b,对数平均数与算术平均数、 几何平均数的大小关系是：ab L(a,b)ab极值点偏移问题的两种常见解法之比较浅谈部分导数压轴题的解法在高考导数压轴题中， 不断出现极值点偏移问题， 那么， 什么是极值点偏移 问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是： 已知函数 y f (x) 是连续函数，在区间 (x1, x2 )内有且只有一个极值点 x0，且 f(x1) f (x2) ，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点x0 x1 x2 ，2 我们称这种状态为极值点不偏移； 若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图 象不

2、具有对称性，常常有极值点 x0 x1 x2 的情况，我们称这种状态为“极值点 02 偏移” .极值点偏移问题常用两种方法证明：一是 函数的单调性 ，若函数 f(x) 在区 间 (a,b) 内 单 调 递 增 ， 则 对 区 间 (a,b) 内 的 任 意 两 个 变 量 x1、 x2 ， f(x1) f (x2) x1 x2 ；若函数 f (x) 在区间 (a,b) 内单调递减，则对区间 (a,b)内 的任意两个变量 x1、x2 ， f (x1) f (x2) x1 x2. 二是利用 “对数平均不等式” 证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？两个正数 a 和b的对数平均数定义：

3、 L(a,b)此式记为对数平均不等式)面给出对数平均不等式的 证明：i)当 a b 0 时，显然等号成立ii)当 a b 0时，不妨设 a b 0 ，文案大全实用标准2ln x1设 f ( x) 2ln x x ,x 1 ，则 f (x)x( x 1)2x20 ，所以 f (x )在 (1,) 内单调递减，所以f ( x)f (1)0 ，即 2ln x故 ababln a ln b再证：ababln a ln b2aa1 ln要证：a b ab，只须证：bbln a ln b2a12bxx21 x，x令 ba x 1，则只须证：x1x1ln2x ，只须证12x1ln x2x设 g(x) 1 x

4、21 ln2x， x 1，则 g (x)212( x 1)2 2x( x 1)222 x(x 1)2所以 g(x)在区间 (1,2) 内单调递减，所以 g( x) g(1) 0，即 1 2x1故 a b a bln a ln b 2综上述，当 a 0,b 0 时，ab L( a, b) a b22例 1( 2016 年高考数学全国理科第ln x21 题)已知函数 f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两先证 ab a b ， 要证 ab ln a ln b个零点()求 a 的取值范围；()设 x1, x2是 f ( x)的两个零点，证明： x1 x2 2 解：() 函数 f (x) 的

5、定义域为 R ，当 a0时， f (x)(x2)ex0 ，得 x2 ，只有一个零点，不合题意；当 a0时， f (x)( x1)ex2a文案大全实用标准当 a 0时，由 f (x) 0 得， x 1，由 f (x) 0得， x 1，由 f (x) 0 得， x 1，e0故， x 1是 f (x)的极小值点，也是 f (x)的最小值点，所以 f (x)min f(1)又 f (2) a 0 ，故在区间 (1,2) 内存在一个零点 x2 ，即 1 x2 2由 lim ( x 2)ex xlim x x2 x e xlimx0,又 a(x 1)20，所以，f ( x) 在区间( ,1) 存在唯一零点

6、 x1，即 x1 1，故 a 0时， f (x) 存在两个零点；当 a 0时，由 f (x) 0 得， x 1或x ln( 2a)，若ln( 2a) 1，即 ae时， f (x) 0，故 f (x) 在R上单调递增，与题意不符e若ln( 2a) 1，即a 0时，易证 f(x)极大值 =f(1)e 0故 f(x)在 R上只有一2e个零点，若 ln( 2a) 1 ，即 a 时，易证2f(x)极大值=f (ln( 2a) a(ln 2( 2a) 4ln( 2a) 5) 0，故 f(x)在 R上只有一个零点综上述， a 0)解法一、根据函数的单调性证明由()知， a0 且 x1 1 x2 2令 h(

7、x) f ( x)f (2 x ) (x 2)exxe2x,x 1，则h(x) (x 1)(e2(x 1) 1)ex 2因为x 1 ，所以2( x 1)x 10,e2( x 1) 10，所以 h (x) 0，所以 h(x)在 (1, )内单调递增所以h(x) h(1) 0，即 f (x) f (2x)，所以 f (x2) f(2 x2 ) ，所以 f(x1) f(2 x2)，因为x1 1,2 x2 1 ， f (x) 在区间 (,1)内单调递减，所以 x1 2 x2 ，即 x1 x2 2解法二、利用对数平均不等式证明 由()知， a 0，又 f (0) a 2所以，当 0 a 2时， x1 0

8、 且1 x2 2 ，故 x1 x2 2文案大全实用标准当 a 2 时， 0x1 1 x22 ，又因为(x1 2)ex1(x1 1)2(x2 2)ex2(x2 1)2即 (2 x1)e2x1(2x2 )ex2(1 x1)2(x21)2所以 ln(2 x1)x12ln(1x1)ln(2x2)x22ln( x2 1)所以 ln(2 x1)ln(2x2)2(ln(1 x1)ln(x21) x2 x1 (2 x1)所以 1 2 ln(1x1)ln(x21)(2x1)(2x2) 4 x1 x2所以 1 2ln(2x1)ln(2x2)ln(2x1)ln(2 x2)2所以 x1 x222 ln(1x1)ln(

9、 x21)22ln(2x1)ln(2x2)(2 x2)面用反证法证明不等式成立因为 0 x11x22，所以 2 x1 2 x20 ，所以 ln(2x1) ln(2x2)0假设 x1x22，当 x1x2 2， x1x2 20且2 ln(1x1) ln(x21) =0,与矛盾；2ln(2x1) ln(2x2)当 x1 x22时x1x22 0且 2 ln(1x1)ln(x2 1) 0,与矛盾，故假设不成立2ln(2x1)ln(2 x2) 0 ，得函数 f (x) 的递增区间 (0, )，a文案大全实用标准1由 f (x)0 ，得函数 f (x) 的递减区间 ( , ) a)解法一、根据函数的单调性求

10、解设点 A、B的横坐标分别为 x1、x2 ，则 x0 x1 x2 ，且 0 x1 1 1由()知，当 a 0时， f (x)极大值 = f ( x) max f (1) ln 1 1 1 aa a因为函数 f (x) 有两个不同的零点，所以 f ( x) max 0 ，所以 0 a 1 x2 0 2 1 a 21 1 1 由()知，当 a 0时， f ( x) 极大值 = f (x)max f ( ) ln 1 a a a因为函数 f ( x) 有两个不同的零点，所以 f (x)max 0 ，所以 0 a 1要证 f( x0)(12x0)(1ax0)0，只须证ax01，即证x1x22x0a令

11、h( x)f ( x)f ( aax)ln xln( 2a则 h (x)1a2a2(ax1)2x2axx(2ax)1x) 2ax 2,0 xa10 ，所以 h( x) 在 (0, ) 内单调递增a所以 h(x) h(1) 0，即 f (x) f (2 x)aa12因为 0 x1 1 x2 ，所以 f (x1) f (2 x1) ，所以 f (x2)aaf (2a x1)又 x21,2aa所以 x2 2a11x1，且 f (x) 在区间 ( ,aa2x1 ，即 x1 x2，故 f ( x0 )a) 内单调递减0解法二、利用对数平均不等式求解设点 A、 B的坐标分别为 A(x1,0)、 B( x2

12、 ,0) ，则 x01 22所以1a( x1 x2) (2 a)x2 x1ln x2 ln x1x1 x2 ，即12a(x1 x2 ) (2 a)所以 a( x12x2)2 (a 2)(x1 x2) 2 0 ，所以 a(x1 x2) 2( x1 x2 ) 1文案大全实用标准所以1 a x1 x2 0，所以 f (x0) f (2x1 x2 )2)(1 x1 x2)(1 a例 3 ( 2014 年高考数学湖南卷文科第 21 题)已知函数f(x)x1 x221xx2 exx)求函数 f (x) 的单调区间；)当 f (x1) f(x2), x1 x2时，求证：x1 x2解：() 函数 f (x)

13、的定义域为 R2(1 x2) 2x(1 x) x 1 x x f (x) 2 2 e 2 e 1x22(1 x2)22 x( x 1)222 (1 x2)22由 f (x) 0，得 x 0，由 f (x)0，得函数的递增区间得函数的递减区间 (0, )，所以 f ( x) maxf (0) 1)解法一、利用函数的单调性求解令 h(x)1 x x f(x) f( x) 11 xx2 ex1 x x1 x2 ex0则 h (x)x (x2 2x 3)e2x (x2 2x 3)x 2 2(1 x ) e令 H (x)(x2 2x3)e2x (x22x+3), x则 H (x)2(x2 x2x2)e2

14、x (x1),x 0，H (x) 2(2由 x 0 得， H (x)2(3 1) 40 ，故 H故 H (x) H (0) 20，故 H ( x)在(0,故 H (x) H (0) 0 ，故 h (x) 0 ，所以， h(x) h(0) 0由(1)及 f (x1) f ( x2 ), x1x2知，所以 f (x2) f( x2 ) ，所以f (x1)所以， x1x2 ，即 x1 x2文案大全x1 x2 )2 ) 0.,0) ，由2 2xx23)e2x(x)在 (0, )内单调递增) 内单调递增故 h(x) 在 (0, ) 上单调递减x1 0 x2 1 ，故 h(x2) f (x2)f (x)

15、0 ，1,x 0f ( x2) 0f( x2)，又 f(x)在 ( ,0)上单调递增例 4 (2014 年江苏省南通市二模第20 题)设函数 f(x) ex ax a(aR), 其图象与 x实用标准解法二、利用对数平均不等式求解因为 x1时， f (x)0， x 1时， f (x)0 ， f (x1)f ( x2 ), x1x2所以，x1 0 x2 1，1x1 x12e1x2ex2 ，所以，1 x1 1 x2 2e1x2 1 x12e12e11x1x21 x12x2所以，ln(1 x1)(1x2)ln(1x12)ln(1x2) (1x1) ln(1x22)所以，(1 x2 )(1 x1)n(1

16、 x2) ln(1x1) ln(12x12) ln(1x22)所以，(1 x2)(1x1)1ln(1x12)2ln(1 x22)1 x2 1x1ln(1 x2)ln(1 x1)ln(1x2)ln(1 x1)2所以，x1 x2ln(1x12)ln(1x22)2ln(1x1)ln(1x2)因为 x1 0 x2 1 ，所以 ln(1 x1) ln(1 x2) 0面用反证法证明 x1 x2 0 ，假设 x1 x2 022当x1 x2 0时， x1 2x2 0,且llnn(11 xx11) llnn(11 xx22)=0，与不等式矛盾轴交于 A(x1,0), B(x2,0) 两点，且 x1 x2 .()

17、求实数 a 的取值范围；()证明： f ( x1x2) 0(f (x)为函数 f (x)的导函数)；()略 .解：() f (x) ex a ， x R，当 a 0时， f (x) 0 在 R上恒成立，不合题意当 a 0 时，易知，x ln a 为函数 f (x) 的极值点，且是唯一极值点，文案大全实用标准故， f (x)min f (ln a) a(2 lna)2当 f (x)min 0，即 0 a e2时， f (x)至多有一个零点，不合题意，故舍去；,ln a) 内单调递减，故 f (x)2当 f (x)min 0，即a e2时，由 f (1) e 0，且 f (x)在(22在 (1,l

18、n a)有且只有一个零点；由 f (ln a ) a 2aln a a a(a 1 2ln a),2 2 2 2令 y a 1 2ln a,a e2，则 y 1 0，故 a 1 2ln a e2 1 4 e2 3 0a所以 f (ln a2) 0，即在 (ln a,2ln a) 有且只有一个零点 .()解法一、根据函数的单调性求解由()知， f(x)在( ,ln a)内递减，在 (lna, )内递增，且 f (1) e 0所以 1x1lnax22ln a ，要证 f (x1x2 )0，只须证 e x1x2a ，即证x1x2lna又 x1x2 x1 x2 ，故只须证 x1 x2 2ln a2令

19、h(x) f (x) f (2ln a x) ex ax a e2ln a x a(2ln a x) a,x 2 xe a e 2ax 2aln a，1 x ln a则h(x) ex a2e x 2a 2 exa2e x 2a 0，所以 h(x) 在区间 (1,ln a)内递增所以 h(x) elna a2e lna 2alna 2alna 0，即 f (x) f(2ln a x)所以 f(x1) f(2ln a x1) ，所以 f(x2) f(2ln a x1)因为 x2 ln a, 2ln a x1 lna，且 f(x) 在区间 (lna, ) 内递增所以 x2 2ln a x1，即 x1

20、 x2 2ln a，故 f ( x1x2 ) 0 解法二、利用对数平均不等式求解) 内递增，且 f (1) e 0由()知， f(x) 在( ,ln a) 内递减，在 (lna,所以 1x1lnax2 2ln a ，因为f (x1)ex1ex2x1 1 e1ex21a，即，所以x11x2 1x1 1x21所以 x1x2 (x1 x2 ) 0，要证： f ( x1x2)ex1 ax1 a 0 ， f (x2) ex2 ax2 a 01 (x11)(x2 1)(x11)(x21)ln(x11)ln(x2 1) 1 20 ，只须证 e 1 2 a ，即 x1x2 lna文案大全实用标准故， x1x2 x1 ln(x1 1)， x1x2 x2 ln(x2 1)所以 2 x1x2 x1 x2 ln(x1 1)(x2 1)，所以 ln( x1x2 (x1 x2) 1) x1 x2 2 x1x2 因为 x1x2 (x