1.5.1二次函数的应用(1)

1、第第1 1课时课时 二次函数的应用（二次函数的应用（1 1） 湘教版 九年级下册 一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米， 水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图想了解水面宽度变化时， 拱顶离水面的高度怎样变化,你能建立函数模型来解决这个问题吗？ 4.9m 4m 2m 动脑筋动脑筋 这是什么样的函数呢？这是什么样的函数呢？ 你能想出办法来吗？ 建立函数模型建立函数模型 拱桥的纵截面是抛物线应拱桥的纵截面是抛物线应 当是某个二次函数的图象当是某个二次函数的图象 4.9m 4m 2m 怎样建立直角坐标系比较简单呢？怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 从图看出，这条抛物线是哪从图看出，这条

2、抛物线是哪 种形式的二次函数的图象？种形式的二次函数的图象？ 2 4 212 1 A 以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图 由于顶点坐标是（由于顶点坐标是（0.0），）， 因此这个二次函数的形式为因此这个二次函数的形式为 2 yax 2 4 212 1 A 如何确定如何确定a是多少？是多少？ 因此，因此， 其中其中 x是水面宽度的一半，是水面宽度的一半，y是拱顶是拱顶 离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时， 拱顶离水面高度怎样变化拱顶离水面高度怎样变化 2 1 2 yx 已知水面宽已知水面宽4米时，拱顶离水

3、米时，拱顶离水 面高面高2米，因此点米，因此点A（2，-2）在抛）在抛 物线上由此得出物线上由此得出 2 22a 2 1 a解得 由于拱桥的跨度为由于拱桥的跨度为4.94.9米，因此自变量米，因此自变量x的取值范围是：的取值范围是： (1)(1)当水面宽当水面宽3 3米时，拱顶离水面高多少米？米时，拱顶离水面高多少米？ 2 2 1 xy (-2.45x2.45) . 2 3 3xm时，解：当水面宽 .125.1 8 9 2 3 2 1 2 y 即拱顶离水面高1.125m 2 4 212 1 2 2 1 xy (2)(2)当拱顶离水面高当拱顶离水面高1 1米时，水面宽多少米？米时，水面宽多少米？

4、 . 11ym时，解：当拱顶离地面高 2,2, 2 1 1 21 2 xxx解得 .22m即水面宽 A 2 4 212 1 3 2 2 1 xy A (3)水面下降水面下降1m时，水面宽度增加了多少？时，水面宽度增加了多少？ N M 解：当水面下降1m时,水面的纵坐 标为y=-3,这时有: 2 5 . 03x .6,6 21 xx解得 .62m这时水面宽度MN 当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462( .)462(mAB-MN B 例例1 一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB 在高出地面在高出地面1.5米的米的B处有一自动旋转的喷水头，喷

5、出的水处有一自动旋转的喷水头，喷出的水 流成抛物线形。喷头流成抛物线形。喷头B与水流最高点与水流最高点C的连线与水管的连线与水管AB之之 间夹角为间夹角为135(即即ABC=135)且水流最高点且水流最高点C比喷头比喷头B 高高2米。试求水流落点米。试求水流落点D与与A点的距离（精确到点的距离（精确到0.1米）米） 举举 例例 解：如图所示，以A为坐标原点,AD所在直线为x轴，AB所在直线为 y轴建立平面直角坐标系。 连接BC，则ABC=135，过C点作CEx轴于点E，又过B点作 BFCE，垂足为F，依题意可证四边形AEFB为矩形， ABF=90， CBF=135-90=45， BCF=45，

6、RtCBF为等腰直角三角形， 又由题意易知AB=1.5米，CF=2米， BF=CF=2米，则B（0,1.5），C（2,3.5） 设该图象解析式为y=a（x-h）+k， 则y=a（x-2）+3.5，将B（0,1.5）代入可求得a=-0.5 y=-0.5（x-2）+3.5设D（m，0）代入， 得m= +24.6米（负值已舍去）即DA=4.6米7 议一议议一议议一议议一议议一议议一议 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题实际问题建立二次函数模型建立二次函数模型 利用二次函数的利用二次函数的 图象和性质求解图象和性质求解 实际问题的解实际问题的解 1.是某抛物线形悬索桥的截面示意图

7、，已知悬索桥两端主是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主 塔高塔高150m，主塔之间的距离为，主塔之间的距离为900m试建立适当的直角坐试建立适当的直角坐 标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式. 900m 150m 练习练习 2.小妍想将一根小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正长的彩带剪成两段，分别围成两个正 方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？ 此时的面积和为多少？此时的面积和为多少？ 72cm 彩带彩带 围成围成 2.一位篮球运动员在离篮筐水平距离一

8、位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮，球处跳起投篮，球 沿沿 一条抛物线运行，球的出手高度为一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m。当球运行的水。当球运行的水 平平 距离为距离为2.5m时，达到最高高度，然后准确落入篮筐内。时，达到最高高度，然后准确落入篮筐内。 已已 知篮筐中心离地面的距离为知篮筐中心离地面的距离为3.05m，你能求出球所能达到，你能求出球所能达到 的最大高度约是多少吗？（精确到的最大高度约是多少吗？（精确到0.01m） 动脑筋动脑筋 如图，用8米长的铝材做一个日字形窗框，试 问：窗框的宽度和高各为多少时，窗框的透光面 积S(m2)最大，最大面积是多少？(假设铝材的宽度

9、 不计)并画出函数的大致图象. .变化随矩形一边长的变化而框的面积 材己确定，而窗分析：由于做窗框的铝 S . 2 38 ,:m x xm 则窗框的高为设窗框的宽为解 2 38x x 则窗框的透光面积为： 2 38 . x xS ,4 2 3 2 xx ) 3 8 0( x 2 38x x 配方得： xxS4 2 3 2 . 3 8 3 4 2 3 2 x , 0 2 3 a. 3 8 , 3 4 最大 时当Sx m2 2 3 4 38 此时高为 时，高为当窗框的宽为mm2, 3 4 . 3 8 2 m最大透光面积为窗框的透光面积最大， 例例2 如图用总长为如图用总长为60m的篱笆围成一个矩形

10、花园，矩形花的篱笆围成一个矩形花园，矩形花 园面积园面积S 随矩形一边长随矩形一边长L的变化而变化。的变化而变化。 （1）你能求出）你能求出S与与L之间的函数关系吗？之间的函数关系吗？ 解：解：S=L(30-L) = -L2+30L 60m 围成围成 L (30-L)S花园面积 花园面积 (0L30) S= -L2+30L L (30-L) （2）此矩形的面积能是）此矩形的面积能是200m吗？若能，请求出吗？若能，请求出 此矩形的长、宽各是多少？此矩形的长、宽各是多少？ 解：能，当解：能，当S=200时，时，200= -L2+30L 解得解得L1=10，L2=20. 宽为宽为20m或或10m.

11、 即长为即长为10m，宽为宽为20m或长为或长为20m，宽为宽为10m. （3）此矩形的面积能是）此矩形的面积能是250m吗？若能，请求出吗？若能，请求出L的值；的值； 若不能，请说明理由。若不能，请说明理由。 解：不能，当解：不能，当S=250时，时，250= -L2+30L, 0，方程没有实数根，方程没有实数根， 即即矩形的面积不能为250m。 S= -L2+30L L (30-L) （4）当）当L是多少米时，场地的面积是多少米时，场地的面积S最大？最大值是多少？最大？最大值是多少？ 当当L=15米时，场地面积米时，场地面积S最大为最大为225平方米。平方米。 解：解：S= -L2+30L

12、 .225 ) 1(4 300) 1(4 4 4 ,15 ) 1(2 30 2 22 a bac a b S= -L2+30L L (30-L) 例例3 在一面靠墙的空地上用长为在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。 (1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8

13、米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 A BC D 解解： (1) AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为24米米 花圃长花圃长BC为（为（24-4x）米）米 . (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米, (2)当x 时，S最大值 36（平方米） 3 2 a b a bac 4 4 2 Sx（24 - 4x） 4x224 x （0 x6） 024 - 4x 8 4x3时，时，S随随x的增大的增大 而减小而减小, (1)设矩形的一边AB=xm，那么AD 边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2，当x取何值 时，y的最大值是多少? 何时面积最大 1.如图,在一个直角三角形

14、的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和AD分别在两直角边上. M N 40m 30m AB CD 随堂练习随堂练习 (1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的 长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取何值 时,y的最大值是多少? 2.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶 点A和点D 分别在两直角边上,BC在斜边上. A B C D M N P 40m 30m xm H G 3.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩 形,制造窗框的材料总长为15m.当x等于多少时,窗户通过的光 线最多?此时,窗户的面积是多少? x y .152 2 1 3224:xxxy由解.