热传导方程的导出及其定解问题的导出

1、热传导方程的导出及其定解问题的导出 1. 热传导方程的导出 考察空间某物体G的热传导问题。以函数u(x,y,z,t)表示物体G在位置(x,y,z)及时刻t的温度。 依据传热学中的Fourier实验定律，物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数 ?u成正比，即 ?ndQ?k(x,y,z)?udSdt (1-1) ?n 其中k(x,y,z)称为物体在点(x,y,z)处的热传导系数，它应取正值。(1-1)式中负号的出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ应和?u异号。 ?n 在物体G内任取一闭曲面?，它所包围的区域记为?，

2、由(1-1)式，从时刻t1到t2流进此闭曲面的全部热量为 ?u?t?Q?t12?k(x,y,z)dS?dt ?n? ?u表示u沿?上单位外法线方向n的方向导数。 ?n(1-2) 这里 流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t1,t2)中物体温度从u(x,y,z,t1)变化到u(x,y,z,t2)，它所应该吸收的热量是 ?c(x,y,z)?(x,y,z)u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)dxdydz ? 其中c为比热，?为密度。因此就成立 ?t2?k(x,y,z)1t?u?dS?dt?c(x,y,z)?(x,y,z)u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)dxdydz

3、?n? (1-3) 假设函数u关于变量x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为 ?u?u?u?t2?u?k?k?kdxdydzdt?c?dt?dxdydz ?t1?x?y?y?z?z?x?t?t2 t1 交换积分次序，就得到 ?u?u?u?u?k?c?k?k?dxdydzdt?0 ?t?x?x?y?y?z?z?t2 t1(1-4) 由于t1,t2,?都是任意的，我们得到 c?u?u?u?u?k?k?k? ?t?x?x?y?y?z?z?(1-5) (1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c,?均为常数，记k?a2

4、，即得 c? 2?u?2u?2u?2?u?a?2?2?2? ?t?y?z?x (1-6) 如果考查的物体内部有热源（例如物体中通有电流或有化学反应等情况），则在热传导方程的推导中还需要考虑热源的影响。若设在单位实践内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则在考虑热平衡时，(1-3)式左边应再加上一项 ?t1?F(x,y,z,t)dxdydzdt ?t2 于是，相应于(1-6)的热传导方程应改为 其中 2?u?2u?2u?2?u?a?2?2?2?f(x,y,z,t) ?t?y?z?x(1-7) f(x,y,z,t)?F(x,y,z,t)。 (1-8) c? (1-6)称为齐次热传导方程，

5、而(1-7)称为非齐次热传导方程。 2. 定解问题的提法 从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换情况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度。因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件和边界条件下求问题的解。 2.1 初始条件的提法 初始条件的提法显然为 u(x,y,z,0)?(x,y,z) (1-9) 其中?(x,y,z)为已知函数，表示物体在t?0时的温度分布。 2.2 边界条件的提法 2.2.1 第一边界条件（狄利克雷（Dirichlet）条件） 最简单的情况为物体的表面温度是已知的，这条件的数学形式为 u(x,y,z,t)|(x,y

6、,z)?g(x,y,z,t) (1-10) 其中?表示物体的边界曲面，g(x,y,z,t)是定义在(x,y,z)?,0?t?T上的已知函数。 这种边界条件称为热传导方程的第一类边界条件（又称狄利克雷（Dirichlet）条件）。 2.2.2 第二边界条件（诺依曼（Neumann）条件） 在物体的表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上在单位时间内所流过的热量Q是已知的。根据Fourier定律 dQ?u?k dSdt?n 就可明白，这种边界条件实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的。这条件的数学形式为 ?u?g(x,y,z,t) ?n(x,y,z)

7、?(1-11) 这里?u表示u沿边界?上的单位外法线方向n的方向导数，而g(x,y,z,t)是定义在?n (x,y,z)?,0?t?T上的已知函数。这种边界称为热传导方程的第二类边界条件。 2.2.3 第三类边界条件 今考察物体放在介质（例如空气）中的情形：我们能测量到得只是与物体接触处的介质温度u1，它与物体表面上的温度u往往并不相同。在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用物理中另一个热传导实验定律（牛顿定律）：从物体流到介质中的热量和两者的温度差成正比： dQ?k1(u?u1)dSdt (1-12) 这里的比例常数k1称为热交换系数，它也取正值。考察流过物体表面?的热量，从物体的内部来看

8、它应由Fourier定律确定，而从介质方面来看则应由牛顿定律所确定，因此成立者关系式 即 ?k?udSdt?k1(u?u1)dSdt ?nk1u?k?u?k1u1 ?n 由于k1,k均为正数，因此这种边界条件可以写成 ?u?u?g(x,y,z,t) ?n?(x,y,z)?(1-13) 这里?u表示u沿边界?上的单位外法线方向n的方向导数，而g(x,y,z,t)是定义在?n (x,y,z)?,0?t?T上的已知函数，?为已知正数。这种边界称为热传导方程的第三类边界条件。 又如果所考察的物体体积很大，而所需知道的只是在较短时间和较小范围内的温度变 化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时就不妨把

9、所考察的物体视为充满整个空间，而定解问题就变成柯西问题，此时的初值条件为 u(x,y,z,0)?(x,y,z),(?x,y,z?) (1-14) 3. 一维和二维情况 在适当的情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少。例如当物体是均匀细杆时，假设它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x及时间t有关，我们就得到一维热传导方程 2?u2?u?a ?t?x2(1-15) 同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程 2?u?2u?2?u?a?2?2? ?t?y?x(1-16) 对于这种低维的热传导方程，也可以提出前

10、述的柯西问题与初边值问题。 4. 扩散方程 在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来导出扩散过程所必须满足的数学方程。 扩散方程与热传导方程的导出极为相似，只要将扩散过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理定律作个类比，扩散方程就不难写出。 在推导热传导方程的过程中起基本作用的是Fourier定律与热量守恒定律（即(1-1)与(1-3)式）。在考虑扩散过程时，我们遇到的是相应的扩散定律与质量守恒定律，它们的形式是 dm?D(x,y,z)?t1?D?t2?NdSdt ?n(1-17) (1-18) ?NdSdt?N(x,y,z

11、,t2)?N(x,y,z,t1)dxdydz ?n? 其中 N表示扩散物质的浓度，dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面积dS的扩散物质的质量，式中D(x,y,z)称为扩散系数。 将(1-17)、(1-18)与(1-1)、(1-3)比较，可见其形式是极其类似的。在考察热传导过程中引入的量Q、u、k分别相应于扩散过程中的量m、N、D，而出现在(1-3)中的因子c?在扩散问题中相应于常数1。于是，我们立刻可以写出扩散方程为 ?N?N?N?N?D?D?D? ?t?x?x?y?y?z?z? 2(1-19) 如果D是常数，记 D?a，扩散方程(1-19)就转化为与热传导方程(1-6)完全

12、相同的形式。 对于扩散方程，也可以提出相应的柯西问题与初边值问题等定解问题。 5. 理论解法 注：该问题可以利用Fourier变换得到特殊情形的解析解。参阅文献【1】。 6. 差分方法 6.1 导数的差分公式 在x附近对f(x)展开，由泰勒展开公式 f(x?h)?f(x)?f?(x)h 得到前差公式为 同理也可以得到后差公式 f?(x)?f(x?h)?f(x) (1-20) h f?(x)?f(x)?f(x?h) (1-21) h 由后差分公式可以得到二阶导数的差分公式为 f?(x)?f?(x?h)?f?(x)f(x?h)?2f(x)?f(x?h)? (1-22) hh2 叫中心差分公式。 利

13、用这些公式可以将微分方程写成差分方程。 62 一维热传导方程的差分公式 热传导方程是 2?u2?u?t?a?x2?0,0?x?l,t?0? (1-23) 0?x?l?ut?0?(x),?u|?(t),u|?(t)t?0x?l2?x?01 ? 初始条件与边界条件相容：?（）=0?1(0),?(l)?2(0)。 6.2.1 显示格式 建立显示格式的图示 图1 显示格式 它表示未知函数u在第n+1排任一内节点上之值依赖于它在第n排上三个节点上之值。 (1-23)可以写成差分形式 即 u(x,t?t)?u(x,t)u(x?x,t)?2u(x,t)?u(x?x,t) ?a22?t(?x)u(x,t?t)

14、?u(x,t)?t2a?u(x?x,t)?2u(x,t)?u(x?x,t)? (1-24) (?x)2 令 x?j?x,t?n?t,j?1,.,J?1,n?0,1,2,.,，?a2?t (?x)2 (1-25) 上式可以写为（显示格式） ?un?1nnn ?u?(1?2?)u?jj?1j?uj?1 ?u0 j?(j?x),j?1,2,.,J?1,n?0,1,2,. (1-26) ?unn 0?1(n?t),uJ?2(n?t) un j表示解u(x,t)在点(xj,tn)处得取值。 可以证明，上式的稳定条件为 ?1 2 (1-27) 稳定且非振荡的条件为 ?1 4 (1-28) 截断误差为 O(?x)2,?t) (1-29) 6.2.2 隐式格式 建立隐式格式的图示 图2 隐式格式 u(x,t?t)?u(x,t)u(x?x,t?t)?2u(x,t?t)?u(x?x,t?t)?a2 ?t(?x)2 (1-30) 沿用前