2013版高中全程复习方略配套课件：6.2一元二次不等式及其解法（数学文人教A版湖南专用）（共44张PPT）

1、第二节 一元二次不等式及其解法 三年三年1919考考 高考指数高考指数: : 1.1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元 二次方程的关系；二次方程的关系； 3.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求 解的程序框图解的程序框图. . 1.1.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、 根的存在性及二次函数

2、的图象与性质等知识；根的存在性及二次函数的图象与性质等知识； 2.2.以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算； 3.3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手 段，考查求参数的范围问题；段，考查求参数的范围问题； 4.4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中 等等. . 1.1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 表表 【即时应用

3、【即时应用】 (1)(1)不等式不等式x x2 2-3x+2-3x+20 0的解集为的解集为_._. (2)(2)设二次不等式设二次不等式axax2 2+bx+1+bx+10 0的解集为的解集为x|-1x|-1x x ,则则abab的的 值为值为_._. (3)(3)函数函数 的定义域是的定义域是_._. 1 3 2 yxx12 【解析【解析】(1)(1)原不等式等价于原不等式等价于(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)0,0, 即即1 1x x2.2. (2)(2)由题意可知由题意可知a a0,0,且且-1, -1, 是方程是方程axax2 2+bx+1=0+bx+1=0的两个根的两个根.

4、 . 故故 解得解得 (3)(3)由由x x2 2+x-120,+x-120,即即(x+4)(x-3)0,(x+4)(x-3)0, 得得x-4x-4或或x3.x3. 答案：答案：(1)(1,2) (2)6(1)(1,2) (2)6 (3)(-,-43,+)(3)(-,-43,+) 1 3 1b 1 3a , 11 1 3a a3 ,ab6. b2 2.2.一元二次不等式一元二次不等式axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)的求解过程用程序框图表的求解过程用程序框图表 示为示为 【即时应用【即时应用】 思考：上述不等式中思考：上述不等式中a a0,0,若若a a0 0时解集的情况又

5、将如何？时解集的情况又将如何？ 提示：提示：若若a a0,0,则一般先将不等式进行转化，使则一般先将不等式进行转化，使x x2 2的系数转化的系数转化 为正后再求解为正后再求解, ,但一定要注意转化过程中不等号的变化，但一定要注意转化过程中不等号的变化，00 时解集为时解集为,0 0时解集为时解集为x|xx|x1 1x xx x2 2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 【方法点睛【方法点睛】解一元二次不等式的一般步骤解一元二次不等式的一般步骤 (1)(1)变形，使一端为变形，使一端为0 0且二次项系数大于且二次项系数大于0 0； (2)(2)计算相应的判别式；计算相应的判别式； (3

6、)(3)当当00时，求出相应的一元二次方程的根；时，求出相应的一元二次方程的根； (4)(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集. . 【提醒【提醒】当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论. . 【例【例1 1】解下列不等式：】解下列不等式： (1)x(1)x2 2+3x+4+3x+40 0 (2)-3x(2)-3x2 2-2x+80-2x+80 (3)12x(3)12x2 2-ax-axa a2 2(aR)(aR) 【解题指南【解题指南】(1)(1)先判断先判断“”，而后获解，而后获解. .

7、(2)(2)先将先将x x2 2的系数转化为正数的系数转化为正数, ,而后因式分解求解而后因式分解求解. . (3)(3)将不等式转化后进行因式分解将不等式转化后进行因式分解, ,比较两根大小分类求解比较两根大小分类求解. . 【规范解答【规范解答】(1)(1)由由=9-16=-7=9-16=-70,0,故不等式的解集为故不等式的解集为. (2)(2)原不等式等价于原不等式等价于3x3x2 2+2x-80+2x-80(x+2)(3x-4)0(x+2)(3x-4)0 x-2x-2或或xx 故不等式的解集为故不等式的解集为(-,-2 +).(-,-2 +). (3)(3)原不等式可化为原不等式可化

8、为12x12x2 2-ax-a-ax-a2 20 0(4x+a)(3x-a)(4x+a)(3x-a)0,0, 令令(4x+a)(3x-a)=0(4x+a)(3x-a)=0得得 a a0 0时时, , 此时不等式等价于此时不等式等价于 a=0a=0时时, ,不等式等价于不等式等价于x x2 20 0 x0.x0. a a0 0时时, , 此时不等式等价于此时不等式等价于 4 , 3 4 , 3 12 aa x,x. 43 aa , 43 aa xx. 43 或 aa , 43 aa xx. 34 或 综上所述综上所述, ,当当a a0 0时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 当当a=0a=0时

9、时, ,不等式的解集为不等式的解集为(-,0)(0,+);(-,0)(0,+); 当当a a0 0时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 aa (,)( ,); 43 aa (, ),. 34 （） 【互动探究【互动探究】若将本例若将本例(1)(1)变为变为x x2 2+3x+4+3x+40,0,则不等式解集又将则不等式解集又将 如何？如何？ 【解析【解析】由由(1)(1)解析可知解析可知=-7=-70,0, 故故x x2 2+3x+4+3x+40 0恒成立恒成立, ,故不等式的解集为故不等式的解集为R.R. 【反思【反思感悟感悟】1.1.对于本例对于本例(3)(3)中分类讨论后中分类讨论后,

10、 ,在写不等式解在写不等式解 集时集时, ,也可以将也可以将a=0a=0的情况与的情况与a a0 0或或a a0 0结合起来写结合起来写. .如可写为如可写为 a0a0时不等式的解集为时不等式的解集为 a a0 0时不等式的解时不等式的解 集为集为 aa (,)( ,), 43 aa (, ),. 34 （） 2.2.含参数的不等式解法：含参数的不等式解法： 解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式, ,要把握好分类讨论的层次，一般要把握好分类讨论的层次，一般 按下面次序进行讨论：按下面次序进行讨论：(1)(1)根据二次项系数的符号进行分类，根据二次项系数的符号进行分类， (2)(2)

11、根据根是否存在，即根据根是否存在，即的符号进行分类，的符号进行分类，(3)(3)在根存在时，在根存在时， 根据根的大小进行分类讨论根据根的大小进行分类讨论. .讨论时对字母的范围需要做到不讨论时对字母的范围需要做到不 重不漏重不漏. . 【变式备选【变式备选】解下列不等式：解下列不等式： (1)10 x-125x(1)10 x-125x2 2 (2)(1-ax)(2)(1-ax)2 21 1 【解析【解析】(1)(1)原不等式等价于原不等式等价于25x25x2 2-10 x+10-10 x+10(5x-1)(5x-1)2 20,0, 只有当只有当5x-1=05x-1=0，即，即 时，不等式成立

12、时，不等式成立. . 故不等式的解集为故不等式的解集为 (2)(2)由由(1-ax)(1-ax)2 211得得a a2 2x x2 2-2ax+11,-2ax+11,即即ax(ax-2)0.ax(ax-2)0. 1 x 5 1 x | x. 5 当当a=0a=0时，不等式转化为时，不等式转化为0000，故无解，故无解. . 当当a0a0,x(ax-2)0, 即即 不等式的解集为不等式的解集为 当当a0a0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x(ax-2)0,x(ax-2)0,又又 原不等式的解集为原不等式的解集为 综上所述，当综上所述，当a=0a=0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 ；

13、 当当a0a0a0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 22 xx0.0, aa （） 2 x |x0. a 2 0, a 2 x |0 x. a 2 x |x0 a ； 2 x |0 x. a 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 【方法点睛【方法点睛】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主解决恒成立问题一定要清楚选谁为主 元，谁是参数元，谁是参数. .一般地一般地, ,知道谁的范围知道谁的范围, ,就选谁当主元就选谁当主元, ,求谁的范求谁的范 围围, ,谁就是参数谁就是参数. . (2)(2)对于

14、二次不等式恒成立问题对于二次不等式恒成立问题, ,恒大于恒大于0 0就是相应的二次函数就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在的图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方, ,恒小于恒小于0 0就是相应的二就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在次函数的图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方. . (3)(3)一元二次不等式恒成立的条件一元二次不等式恒成立的条件 axax2 2+bx+c+bx+c0(a0)0(a0)恒成立的充要条件是：恒成立的充要条件是： a a0 0且且b b2 2-4ac-4ac0(xR).0(xR). axax2 2+bx+c+bx+c0(a0)0(a0

15、)恒成立的充要条件是：恒成立的充要条件是：a a0 0且且b b2 2-4ac-4ac 0(xR).0(xR). 【例【例2 2】已知不等式】已知不等式mxmx2 2-2x-m+1-2x-m+10 0， (1)(1)若对任意实数若对任意实数x x不等式恒成立不等式恒成立, ,求求m m的取值范围的取值范围. . (2)(2)若对一切若对一切m-2,2m-2,2不等式恒成立不等式恒成立, ,求求x x的取值范围的取值范围. . 【解题指南【解题指南】(1)(1)讨论讨论m m的情况的情况, ,结合二次函数图象求解结合二次函数图象求解. . (2)(2)变换主元将其看成关于变换主元将其看成关于m

16、m的一元一次不等式的一元一次不等式, ,利用其定利用其定 义范围义范围-2,2-2,2求参数求参数x x的取值范围的取值范围. . 【规范解答【规范解答】(1)(1)不等式不等式mxmx2 2-2x-m+1-2x-m+10 0恒成立恒成立, , 即函数即函数f(xf(x)=mx)=mx2 2-2x-m+1-2x-m+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. . 当当m=0m=0时时, ,不等式变为不等式变为1-2x1-2x0 0，对任意实数，对任意实数x x不恒成立不恒成立, ,故故m m0 0 不满足；不满足； 当当m0m0时时, ,函数函数f(xf(x)=mx)=mx2 2-2x-m

17、+1-2x-m+1为二次函数为二次函数, ,需满足图象开口需满足图象开口 向下且方程向下且方程mxmx2 2-2x-m+1-2x-m+10 0无解无解, , 即即 则则m m无解无解. . 综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m,m,使不等式恒成立使不等式恒成立. . m0 , 44m(1m)0 (2)(2)设设g(mg(m)=(x)=(x2 2-1)m+(1-2x),-1)m+(1-2x), 当当x x2 2-1=0-1=0时，即时，即x=x=1,1,检验得检验得x=1x=1时符合题意时符合题意, , 当当x x2 211时时, ,则其则其 为一个以为一个以m m为自变量的一次函数为自变

18、量的一次函数, ,其图象是直线其图象是直线, ,由题意知该直由题意知该直 线当线当-2m2-2m2时在时在x x轴下方轴下方, , 2 2 g20 2x2x30 , g 202x2x1 0 即 解解, ,得得 或或 解解, ,得得 由由, ,得得 且且x1,x1, 综上得综上得x x的取值范围为的取值范围为 17 x 2 17 x, 2 1313 x. 22 1713 x, 22 1713 x |x. 22 【反思【反思感悟感悟】解决不等式恒成立问题解决不等式恒成立问题, ,通常有两种思路：通常有两种思路： (1)(1)转化成含有参数的不等式转化成含有参数的不等式, ,借助对应函数图象借助对应

19、函数图象, ,找到满足题找到满足题 目要求的条件目要求的条件, ,构造含参数的不等式构造含参数的不等式( (组组) )，求得参数范围；，求得参数范围； (2)(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围. . 【变式训练【变式训练】已知已知f(xf(x)=x)=x2 2-2ax+2(aR),-2ax+2(aR),当当x-1,+)x-1,+) 时时,f(x)a,f(x)a恒成立恒成立, ,求求a a的取值范围的取值范围. . 【解析【解析】方法一：方法一：f(xf(x)=(x-a)=(x-a)2 2+2-a+2-a2 2, ,此二次函数图象的

20、对此二次函数图象的对 称轴为直线称轴为直线x=a.x=a. 当当a(-,-1)a(-,-1)时时,f(x,f(x) )在在-1,+)-1,+)上单调递增上单调递增,f(x),f(x)min min= = f(-1)=2a+3.f(-1)=2a+3. 要使要使f(x)af(x)a恒成立恒成立, ,只需只需f(x)f(x)min mina a, ,即即2a+3a,2a+3a, 解得解得-3a-3a-1.-1. 当当a-1,+)a-1,+)时时,f(x),f(x)min min=f(a =f(a)=2-a)=2-a2 2, , 要使要使f(x)af(x)a恒成立恒成立, ,只需只需f(x)f(x)min mina a, ,即即2-a2-a2 2a,a, 解得解得-1a1.-1a1. 综上所述综上所述,a,a的取值范围为的取值范围为-3,1.-3,1. 方法二：令方法二：令g(xg(x)=x)=x2 2-2ax+2-a,-2ax+2-a, 由已知得由已知得x x2 2-2ax+2-a0-2ax+2-a0在在-1,+)-1,+)上恒成立上恒成立, , 即即