微积分II课程练习74答案

1、3(5)J-xdx ；练习7.4(9)521.计算下列积分.(1)n2 cos xsin xdx;解:52 cos5 xsin1 2 xdx= , (1 -sin2)4 sin2 xd sin xz 1 7=(si n2、42x 2sin5 xsin3x)5320(2)解:(3)解:8105tan3 日dB ;o4 tan3 M 二=p4 tan)(sec - 1)d=p4tand(tanr) - 4tanrdv4+1 n cos日丄(1-1 n2)。2Tt2 cos2 xdx;6I cos2 xdx= I1 cos2xdx61(X(4)解：fluarcta nxe11 x2dx;arcta

2、nx e11 x21dx = 0 earctanxd (arctan x)arcta nxee4 -1解:3131-xdx=(1-x)dx x-Jdx1(x“)23=-2( x)2=4.(6)0 sin xdx ;解:2开|兀o sin xdx = 2 二 sin xdx-2cosx4.(7)JT4 -sin x cosx ,4dx ;03 sin 2x解:4 -sinx cosxd(sin x cosx)4dx = 4203 sin2x0 2 (sin x cosx)1 sin x + cosx 召-=arcta n428)(-arcta n).242dx2X9o6x 1解:dx9x2 6x

3、1dx2(3x 1)21 13 3x 11x2 1 x3dx;解:FTyE1 x3)(10)耳dxp-1 cosx解:2 dx p 1 cosxdx2cos2 -sec2(t -ln(t 1) - dx0= 2.TE (11) 2- , cosx -co xdx ;2TE 解:2一 cosx -cos3_n xdx = 2 2、cosx sin xdx_3l-2 p2、cosxd (cosx)，cox3JI202(12)M x +2 dx 1 3 x x解:dx32 1=1 (_1 x )dx x2 11 2(l nxIn (1 x2)X 8In2 52. 用换元积分法求下列积分.4 dx11

4、解:4 dx1 x2 2(1-丄)dt11 t解:(3)(2)xdx5 4x1 xdx_tr 1HdU.5 -4x3 t41-8 3(5一门水1. 3(5t t3)831x In 5 e)ex3e_1dx ；解：设 t 二.ex 1，则 x = In(T),ln5e9dx =0ex 3022(t 1) t 2t dt2 2 dtt 4 t 1242 (1-二)dto t2 42(t -2arctan)4 dx 315-x ；解：设 x = 5sin t，则 dx 二 5costdt ,4_dx_3 x、.25-x2arcsin 5cOStdtI 3arcsin5 5sint 5costarcs

5、in41arcsin总吐.4arcs in3 csctdtarcsin51In | csct -cott |5.4 arcs in5 .3 arcs in5In52(5)：丄1dx ；解：设 x = sect，贝U dx 二 secttantdt,妙0 sectsect tantdt3 tan sint tdt03103(sec2t-1)dt匹(tant t) 0(6)3 dxx2 .1 - x2解军：设 x =tant，贝U dx =sec2tdt ,3 dx1 X2 . 1 X2j sec214 tan21 sectdt3 costdtx22 2dx ;(1 x2)2解：设 x 二tant

6、，贝U dx =sec2tdt ,x22 2dx = (1 x2)2TL .2 .4tan t0 sec tsec tdtJIoFtdt】(t 一 二 sin2t)2 2c 32-3“、F x sin x (8).严 dx.& x 133.23 x sin x , 解:4dx=0-x4 +13. 用分部积分法计算下列积分(1)10 xedx;解:1 10 xedx = - 0 xd(e)-X_x=-xe1-0edx=esini xcos(ln x)e - : sin (I n x)dx-X(2)e* xln xdx ;解:- - 1 2* xIn xdx= i In xd(?x )(3)解:I

7、n xe 1一1严J(e1 2 1)4n7 x dx;x4 sin兀I x2;sin xTdx= - xcsc2 xdx45=- 3 xd(cotx)4=xcotx卫亠 13 cot xdx4(丄一晅)兀 +ln sinx4 9(;-(4)2 xsin 2xdx;解:-1xcos2x21o2 cos2xdxJ1匹02xsin 2xdx=2 xd (cos2x)n 1= sin2x4 4JT(5)解:4 In xd (2 . x)=2眉Inx：-让依dxx=8In 2 -4匸：=8ln 2 -4(6)ei sin (I n x)dx ;解:esin (I n x)dx = xsin (I n x

8、)e1- xcos(lnx) dx1x=esini - J cos(ln x)dxee=(es in 1 -ecos1 1)- - sin (I n x)dx所以e 11 sin (I n x)dx (es in 1 -ecosi 1)(7)1 2(arcsin x) dx ;解:122o (arcsin x) dx = x(arcsin x)1120 - 0 xd (arcsin x)=(arcsi n1)21 2xarcsin x , dx 1 - x22=(arcs ini)-2 arcsinxd .1-x2=(arcs in 1)22(、. 1-x2 arcsin x0 0dx)=(a

9、rcsi n1)2-2e(8)1 In x dx.ee1e解: J1 ln x dx= - k ln xdx + ln xdxee=-(xln x - x)1 +(xln x -x):e=2-？4. 设f (x)是连续函数，证明:a2 10a171f(x)dx (f(x) f(2a-x)dx;证明:2aa0 f(x)dx02a(x)dx a f (x)dx ,2a0f (x)dx令t =2a -x f (2a -t)dtaaa=0 f (2a -x)dx2aa所以.f (x)dx (f(x) f(2a-x)dx。22 1 2=-尹-2 0 f(t)dt)1 1 1=K)=0x n .7. 证明

10、方程ln x1 -cos2xdx在(0,=：)内有且只有两个不同的实根-(2) sin2nxdx=4 o2sin2nxdx-2 - -证明： sin2nxdx 令t=x-二sin2ntdtJoSj 2n =2 0 sin tdtn兀=2( ；sin2ntdt 亠 i,sin2ntdt)2=2 o2sin2ntdt 2 - sin2n tdt2JI31=2 o至 sin2ntdt 2 jcos2ntdt31 =4 至sin2nxdx.05. 设 o f (x)sin xdx o f (x)sin xdx = 5，且 f (0) = 3，求 f (二).解： f f(x)sin xdx =f (x)sin x 补一 (cosxf (x)dx=0 - 0 cosxd( f (x)TT兀=一 f (x)cos x 0 - L f (x)sin xdxn=f (二)f (0) - ： f (x)sin xdx ,所以 f(：) f (0) =5，由 f(0) =3 得 f (二)=2。1 2 1 2