立体几何中的向量方法：平行与垂直讲解

1、3.2立体几何中的向量方法3.2.1平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一空间的方向向量与平面的法向量考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系【解密重点难点疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量1. 空间中任意一条直线1的位置可以由1上一个定点 A以及一个定方向确定.点A是直线1上一点，向量a表示直线1的方向，这个向量a叫做直线的方向向量2.

2、 直线I _ ：，取直线1的方向向量a，则向量a称为平面的法向量.(1) 平面的一个法向量垂直于与平面 :-共面的所有向量(2) 个平面的法向量有无数个，且它们互相平行3. 平面的法向量的求法(1)已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可(2)已知平面内两不共线向量 a= a-i,a2,a3 ,b= b|,b2,b3时，常用待定系数法：设法向量u=(x, y,z)由0得a2y az 0在此方程组中，对x, y, z中b n =0,px + dy +b3Z = 0,的任一个赋值，求出另两个，所得u即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量4

3、. 用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系：设直线1,m的方向向量分别为 a,b，平面的法向量分别为u,v，则线线平行：l/m= a/b= a 二 kb, k R;即：两直线平行或重合 =两直线的方向向量共线.线线垂直：I _ m = a _ b= a b = 0;即：两直线垂直：* :两直线的方向向量垂直.线面平行： / ： = a _ u = a u =0;即：直线与平面平行 _直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外.FF!线面垂直：I _ ：二 a/u：= a=ku,k R;即：直线与平面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线：直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂

4、直.面面平行：/：= u/v ：= u = kv,k ：二 R;即：两平面平行：=两平面的法向量共线.面面垂直u _ v = u v = 0.即：两平面垂直两平面的法向量垂直.问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示1- 设直线I, m的方向向量分别为a = Q,a2, a3 ,b = bi,b2,b3，贝U线线平行：I /m= ab：= a 二 kb：= q = ka2,b!二 kpc = kg k R .2.设直线的方向向量分别为 a = aa2，a3 ,平面的法向量分别为u二bi,b2,b3 ,* fe-fc *线面平行： / ： = a _ u 二 a u = 0：= aa2

5、b1b2 C|C2 二 0.3.平面,:的法向量分别为u =印8283 ,v = b|,b2,b3 ,面面平行：二 / ： = u v ：= u = kv ：= a = ka2 ,bi = kb2，G = kq, k R .问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示1. 设直线l,m的方向向量分别为 a-ia1 ,a2,a3 ,Jb1,b2,b3，贝y ! 线线垂直：| _ m：= a - b= a b 二 0= a1a2 Rp C|C2 二 0.2. 设直线I的方向向量分别为 a= a1,a2,a3 ,平面的法向量分别为u二山2,3 ,F- FF-线面垂直：I _ ： = a u = a

6、= ku = a = ka2 心=kb2，G = kq, k R .3. 平面:-,:的法向量分别为u =印8283 ,v = b|,b2,b3 ,* -rr f面面垂直：一 ：u u _ v = u v = 0 = a2 bhb2 GC2 二 0.【点拨思维方法技巧】一.求平面的法向量例1已知平面:-经过三点A 1,2,3 , B 2,0,1 ,C 3,2,0，试求平面:-的一个法向量.【思维分析】先求出 AB, AC,，设出平面:-的法向量为u二x,y,z，结合向量垂直时数量 积为零的性质，联立方程组解题.解析A 1,2,3, B 2,0, 一1 ,C 3,-2,0 ,AB = 1, -2

7、, -4 , AC = 2, -4,3 ,设平面的法向量为u = x, y, z ,依题意，丿AB!u AC = 0x2y4z = 0x = 2y即丿y，解得丿.、2x_4y_3z=0二=0令 y =1,贝 y X =2.平面的一个法向量为u h2,1,0 .【评析】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解（非零向量）即可.变式训练1 .在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E,F分别是BB1, DC下屮鼎 求ii:A1D1F的法向量.证明图 3-2-1设正方体的棱长为1,建立如图所示的空

8、间直角坐标系，则A（1,0,0）E 1,1,- |AE= 0,1- II 2丿I 2丿U =0,01)Fp，1,0 卜=(1,01)( 1 !D1F= 0, 2-1 ) AD! =(一1,0,0 ).1 1 - . AE D1F0, AE AD =0, AE _ UF,AE _ A1D1 ,2 2又 D1F AU =D1,AE _ 平面 A1D1F - .AE是平面A1D1F的法向量.证明平行问题例2在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证： B1C /平面ODC!.【思维分析】 在平面内找与向量 B1C平行的向量 AD，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行也可建立

9、空间直角坐标系，求 B1C的方向向量和平面 OD6的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行证明方法BC=席，又 B1FD,.BQ/AD,又 A1D 平面 ODC1,方法.BC /平面 ODC图 3-2-2建系如图，设正方体的棱长为1,则可得E1,1,1，C0,1,0，。沽卄BiC = -1,0,-1,OD12设平面ODCi的法向量为n = x, y,z ,”一11cf -ol f 八x y z = 0则d竺二0,得 2121n QC1 =0_x+丄 y=0l 22令 x =1，得 y =1, z - -1, n 二 1,1,-1 .BQ n = -1 1 0 1： ：T ! i 1 = 0,BC

10、 _ n , . B1C /平面 ODC【评析】 向量法证明几何中的平行问题， 可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知 直线的方向向量共线； 二是通过建立空间直角坐标系， 依托直线的方向向量和平面的法向量 的垂直，来证明平行.变式训练2 已知正方体ABCD - A1B1GD1中，E,F分别在DB,DQ 上，且DE = D1F其中a为正方体棱长.如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz，则求证：EF / 平面 BB1C1C .E J,3,0；F ,3,Vj故ef2a - a0 _ I,3 ,0, 3又AB二0,a,0显然为平面BB1C1C的一个法向量,而 AB EF =（0,a,0）、一,0

11、,-一 | = , 33 ?7E丄EF .又E -平面BB1C1C，因此EF /平面BB1C1C .三.证明垂直问题例3.已知正方体 ABCD - ABiCiDi中，E为棱CG上的动点.（1）求证：AEBD ；（2）若平面A,BD_平面EBD，试确定点E的位置.【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于（1 ）,A1E_BD=0二AE丄BD ;对于（2）,利用已知条件平面ABD _平面EBD，通过垂直条件下的向量数量积等于0,求得点E的位置；取 BD的中点O,易证.A,OE是二面角A -BD-E的平面角，利用向量数量积证明 AOlEo=0即可.解析以DA,DC, DDi所在直线

12、为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a .(1) A a,0,0 , B a,a,0 ,C 0,a,0 , A a,0,a ,C1 0, a,a ,设 E 0, a,m，则 AiE 二 - a,a,ma , BD 二-a,a,0 ,ABDa2 a2 +0=0，所以 AE 丄 BD,即 AE 丄 BD .fa a y(2 )法一：设BD的中点为O,连接OE , OA1,则O ,0 i12 2丿一了 a a 、一所以 OE = 5,3，m | BD =(a,a,0),因为 BCE也 DCE ,所以ED = EB，所以OE BD ,A _BD_E的平面角，因为平面A BD _ 平面 EBD，

13、所以 AOE 二-, 1又 OA = ,a i,所以2 2丿OAfBDrO,所以OA _ BD ,所以.AOE是二面角所以OAjOE=0，即a2a小aam = 0, m442故当E为CCi的中点时，能使平面 AiBD_平面EBD .法二：E为CCi的中点，证明如下：由 E为CCi的中点得E 0,a,a2 ；， 2丿a a设BD的中点为O,连接OE，OAi,则O ,0 I，22)所以0E -a a a2,2,2BD = - a,a,0，则OzB?-0, 0E _ BD，即 0E _ BD .又 0A,=，所以OALbD0 ,所以OA _ BD ,所以.A1OE是二面角A -BD -E的平面角,2

14、 2a a0,所以 OAi _ OE ,4231故OA _ OE ,即.AOE，所以平面A BD _平面EBD .2所以当E为CCi的中点时，能使平面 ABD_平面EBD .【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果还原成立体 几何问题或结论.变式训练3. 在正棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G 是 PAB的重心，E,F分别为 BC,PB 上的点，且 BE: EC = PF : FB =i :2.求证：平面GEF丄平面PBC.证明（i ）方法一如图3-2-5所示，以三棱锥的顶点

15、P为原点，建立空间直角坐标系. 令 PA = PB =PC =3，贝UA3,0,0,B0,3,0,C 0,0,3, E 0,2,1 ,F 0,1,0,G1,1,0,P 0,0,0 PA = 3,0,0 , FG = 1,0,0 ,.PA=3FG,. PA/FG .而PA丄平面PBC , FG丄平面PBC ,又FG 平面GEF，平面GEF丄平面PBC .方法二：同方法一，建立空间直角坐标系，则E 0,2,1 ,F 0,1,0,G 1,1,0 ,EF 二 0,-1,-1 , EG 二 1,-1,-1设平面GEF的法向量为n = x, y, z i则疋!I=0,In EG = 0得 y Z,x -y

16、 -z =0,令 y =1，得 z = -1, x =0 , n =0,1, -1 而显然PA二3,0,0是平面PBC的一个法向量 又 n PA = 0, n _ PA ,即平面PBC的法向量与平面 GEF的法向量互相垂直，平面GEF丄平面PBC .【课后习题答案】练习(第104页)1.(1)答案：平行提示：b 二 6,-3,-6 =32厂1,-2 = 3a .(2)答案：垂直.提示：a b 二 1,2,-2- 2,3,2 =1-22 3-22 = 0, a_b.(3)答案：平行.提示：b= 0,0,-3 - -3 0,0,1 - -3a.2.提示：(1) u V =0, u _ V,.，卅.

17、I-. ( 2)u/v,:- / . ( 3) u 与 v 不垂直，也不平行，.：与：相交.【自主探究提升】夯实基础1.已知 m 二 8,3, a , n 二 2b,6,5 ,若 m / n，则 a b 的值为()A.0B.C.212D.8答案:C .提示:m / n,.8,3, a = k 2b,6,5 ,即 8 = 2bk,3 = 6k,a= 5k!2=5,b = 8 a + b = 5+8=?2 2 22.已知m 二 1,5, -2 ,n 二 a,2, a 2 ,若 m_n，则 a 的值为()A.0B.6C.-6D. 6答案:B.提示： m_n,. 1 m 5 2-2 m 2 =0,.

18、m = 6.3.平面的一个法向量为1,2,0 ,平面1的一个法向量为2,-1,0 ,则平面与平面一：的位置关系是（）.相交但不垂直不能确定A.平行BC.垂直D答案：C.提示：1,2,02,-1,0 =0 ,两法向量垂直，从而两平面也垂直.4.已知a二2,4,5 ,b = 3,x, y分别是直线h , J的方向向量，若h / I2，则（）A.x = 6, y =15C.x = 3, y =15c 15x = 3, y =2c 15.x = 6, y =答案:D 提示： h / l2, - a/b ,2 4则有一=3 x解方程得x=6y=12.25. 在正三棱柱 ABCAiBCi中，BiC丄AiB

19、.求证：AC B .图 3-2-6证明：建立空间直角坐标系 q -xyz ,3 a 、a,b A2 2丿设 AB =a,CC =b ,质彳乞齢丘心a,b）两亠bl 22 丿222 a 2BQ _ AB , BQ ABb2 =0,22而 AG AB -b -0 ,2.AC1 _ AB ,即AC1丄AB.拓展延伸6.下列各组向量中不平行的是（)A. a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4)B.c =(1,0,0),d 十3,0,0)C. e =(2,3,0), f =(0,0,0)D .(-2,3,5), (16,24,40)4IJ -4答案：D.提示：b = -2a= a/b;d 二-3

20、c d / C;而零向量与任何向量都平仃7若直线I的方向向量为a =（1,0,2 ），平面a的法向量为u=（2,0,4），则（）A. I /otB | 丄 aC. I ：D. I与斜交答案： B.提示：；u = -2,0, -4 = -2 1,0,2 = -2a ,u / a，- 1 丄：.&已知 A(1,1,_1 )B(2,3,1 )，则直线 AB的模为1的方向向量是 .答案f訂.13 33丿,333 丿提示：AB = (1,2,2 , AB =3,aBi直线AB的模为1的方向向量是1,2,2 .|ab39.已知平面:-经过点O 0,0,0 ,且u=：1,1,1是的法向量，N x, y,z是

21、平面内任意 点，贝U x, y, z满足的关系式是.答案：x y z = 0 .提示：由题意 u ON 二 1,1,1 x,y,z =0,即 x y z = 0.10.若直线a,b是两条异面直线，它们的方向向量分别是 1,1,1和2,-3,-2，则直线a,b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是 .答案：1,4,-5(答案不唯一).提示： 设直线a, b的公垂线的一个方向向量为u二x, y,z , a,b的方向向量分别为 a,b ,由题意得u a =,即丿u b =0x y z = 02x -3y -2z 二 0令 x =1，得 y=4,z = -5, u=1,4,-5.11.若 A(0,2,)85 5,B(1,-1,) , C(-2,1,)是平面:-内的三点，设平面 :-的法向量88a =(x, y,z)，贝V x: y: z =答案：2:3: (-4).提示:AB=(1,3,-4),AC=(-2,-1,W),4 4=0：昆=o,2x=3y4w24,x:y:zy:y:(y3(4)12.若非零向量a = x, y1,zl ,b = x2,y2,z2 ,则空 生是a与b