基本规范原理

1、第一章 基本規範原理第一章 基本規範原理要深入體會如何製作各式日晷，必須得先瞭解日晷是如何運作的。要確實瞭解日晷如何運作，必須先瞭解地球與太陽之間的相對運動關係。這些關係若深究起來，影響的因子是相當複雜的。幸好我們的最終目標只是要做些誤差在一、兩分鐘內的日晷；那些精微的關係，可以避免掉的因子，在這本書裡就避免掉了。盡可能從最基本的關係著眼，以能達成實質目標做一個日晷為目的。這一章從簡單的天球假說開始，利用一些基本的幾何關係，導出幾個與太陽相關的時間和方位公式。這些式子可以幫助我們更深入地了解太陽在天上每一刻的行蹤，因此它們也在日晷的設計上扮演著根本的、重要的角色。一、 以地球為中心1. 天球假

2、說大家都知道太陽系裡行星運行是以太陽為中心，然而我們在主觀上常以地球為中心。用太陽為中心的觀點，各行星運行的軌跡變得比較簡單明瞭。本書的目的在於製作日晷，所以只關心地球和太陽之間的關係。又因為只涉及兩個物體的相對運動，取用以太陽為中心或以地球為中心的觀點都是可行的。這裡，基本上我們取用後者，因為日晷的觀察是在地球上進行的。以不動的地球為中心，古人提出天球假說。就是：天體像是一個球，地球是這天球的中心。天球內部除了地球和月亮之外別無他物。太陽和星星都可看成是在天球表面上運動。那些每天相對位置幾乎不變而又繞著天球的極軸轉動幾乎一圈 比一圈又多360/365.2422度。的星稱為恆星。每天相對位置有

3、可察覺的變化的星就稱為行星，例如金、木、水、火、土等星。太陽每天的相對位置也是有可察覺的變化的，例如八月在室女座，九月在天秤座 太陽在黃道上依序進入12個星座或中氣的日期請見附錄二。，所以在天球假說裡太陽明顯的是行星。眾多恆星中有一顆星位於北天球極軸附近，所以唯獨它看起來在天上似乎是不移動位置的，它就是北極星。天球的極軸和地球的南北軸是合一的，因此地球南北軸的北端是指向北極星的。地球在天球的中心點，所以天球的赤道面和地球的赤道面也是合一的。請見圖1.1，其中紅色圈是天球赤道，它所形成的面是天球赤道面。圖1.1 天球假說裡地球與太陽的關係圖。 淺藍區域為天球。綠色球M為地球。紅色圈FG為天球赤道

4、，也是地球赤道面與天球的交界處。黃色球S為太陽。黃色圈為週日軌跡。太陽在天球上的高度有一定的活動範圍。圖1.2地球與太陽週日軌跡關係的側面圖。 因為是正側面，天球赤道圈和太陽週日軌跡都變成了直線，如FG和SS。太陽在天球上的高度變化不會超過AB或CD。在地球北極看太陽，一整天都在相同的高度移動。太陽一天在天球面上所走的軌跡非常接近一個正圓，然而不是正圓。若它是正圓，太陽在天球面上的高度（緯度）就永遠不變。因為太陽每天的高度不同，它的軌跡用螺旋形來形容才比較接近事實。但是每天高度的改變量不大，就日晷的計算而言，說每天的軌跡是正圓亦無不可。以下都以正圓來看待它。2. 赤緯若從側面看去，天球赤道以及

5、太陽一天的運行軌跡就成了直線形。請看圖1.2，其中FG是圖1.1裡的天球赤道，SS代表太陽軌跡。在地球北極觀察太陽，其一天運行軌跡離地面的高度不變。太陽在天球上的高度可以用它在天球上的緯度（赤緯 Declination。，）來表示。赤緯以赤道為準：在赤道上， = 0；在赤道以北為正；以南為負。從M看A、B、C和D四個點，它們與FG的夾角都等於。這裡的數值就是黃赤交角 黃道面（地球公轉軌道面）和地球赤道面之間的夾角。的數值：23.44。太陽在天球上的運行範圍限制在圖1.2裏由ABCD所圈起來的圓弧圈內。春分時， = 0，太陽週日軌跡與天球赤道FG重疊。春分後軌跡的高度慢慢上升，即增加。夏至時週日

6、軌跡到達AB那一圈，那是太陽可行的最高處，此時赤緯的數值最大，就是。夏至後太陽軌跡下降，減少。秋分時太陽回到赤道。秋分後太陽週日軌跡仍然逐日向下，成為負值。冬至時軌跡到達CD那一圈，是太陽可行的最低處，的數值最小，等於-。冬至後軌跡反轉向上，慢慢增加。春分時又回到FG， = 0。這樣，太陽的週日軌跡高度在與-之間一年做一個來回。仔細說起來，若從春分起算至夏至（含春分而不含夏至），約有92.75天。就是說太陽從 = 0開始每天增高一點，要繞92.75圈才到達 = 的最高處。但是每天增高的度數並不等於將用92.75平分。因為太陽在與-之間的來回運動相近於一種簡諧運動，所以對時間的關係接近正弦函數。

7、若想求得某一天開始時（子夜零時 這裡的子夜是說日晷時間的子夜，而非手錶時間的子夜。）的赤緯，(d)，好像應該可以寫成這樣的：sin (d) = sin sin (d 90 92.75) 其中d為離開春分日正午的日數（春分當日d = 0）。可是春分發生的時間並不一定在春分那一天的正午，所以比較恰當的算法是將其中的d改為(d + d)，d = (h 12) 24。h是春分發生的時間，以小時為單位。d以日為單位。故較正確的應該是：sin (d) = sin sin(d + d） 90 92.75（1.1）從夏至到秋分（含夏至而不含秋分），情理相似，只是要從正弦波的波頂下降，所以 sin (d) =

8、sin cos(d + d) 90 93.75（1.2）其中d為離開夏至日零時的日數，d用以調整夏至真正發生的時間。原來式（1.1）裡的92.75，這裡改成了93.75，這是因為從夏至到秋分約有93.75日的緣故。 同樣的道理，從秋分到冬至以及從冬至到春分的計算式分別為： sin (d) = -sin sin(d + d) 90 89.75（1.3） sin (d) = -sin cos(d + d) 90 89 （1.4）這些算式裡的日數d可以不是整數。例如要計算春分日零時的度數，則式（1.1）中的d = -0.5。這些算式所給的結果都只是近似值，理由很明顯：例如在秋分前一日，計算的基準是9

9、3.75；在秋分當日，計算的基準就變成了89.75。這兒有約4.4%的跳躍式變化，而真正的變化卻是漸進式的。雖然這裡結果是近似值，但是對一般製作日晷 請參考日晷的實作，邱紀良，清大出版社，2003年。這裡所給的公式已經比該書附錄四裡的要準確些。來說，卻也已經足夠準確 如果一定需要更準確的數值，可用下列公式計算 令A = 2p (d-1) 365, d為一年裡的第幾天，1月1日的d等於1，d(d) = 0.006918 0.399912 cos(A) + 0.070257 sin(A) 0.006758 cos(2A) + 0.000907 sin(2A) 0.002687 cos(3A) +

10、0.00148 sin(3A)。3. 赤經我們若要敘明地球上某個都市的位置，我們除了指出它的緯度，還要指出經度。南、北緯以赤道為準，這是地理上自然的依據。東、西經卻沒有這種天然依據的方便。因此從1884年起人們接受一個約束：以英國的格林威治天文台所在地為準，以它的經度為0，從那裡往東去為東經，往西去為西經。東、西經各有180，合在一起剛好是一個圓。 因為國際領土疆界的關係，東、西經的度數有超過180情形。以度數來敘明東、西方的相對位置，其強調的是兩地在空間角度上的東西向距離。地球上這種角度的距離還可以用時間的差別來表示 正如我們說新竹到台北約70公里，也說新竹到台北約1小時。前者指公路長度，後

11、者指行車時間。太陽繞地球一圈平均需時24小時，或者說每小時移動了15，因此東經120可稱為8h（h為小時的符號），而西經135為-9h。東經取正號的原因是太陽先經過東經地域才到達格林威治。格林威治中午12點的時候，東經120的地方已經是下午8點了。而那時候西經135的地方還要9小時才到正午，所以西經為負號。這樣，兩地的東西向角度差別就換成了用時間的先後來表示。這種用來代表角度的時間叫做時角 Hour angle。這裡是指地球表面某地離格林威治多少時間。時角還可以表示天體上一次經過天球子午線到現在的時間差。 。用經度度數或時間來敘明東、西方的相對位置只是各自強調的重點不同，其結果是一樣的。要敘明

12、太陽在天球上與其他星球的相對位置也需要指出它們的天球經緯度。赤緯只指出太陽在天球上的緯度，我們還需要某個參考點來指出經度。這裡的經度（赤經）通常選擇以時間來表示：仍然是以格林威治為準，規定春分中午十二時正通過它上方的天球子午線的經度為0時整（即 = 0h 0m 0s）。從這條線往東為正，往西為負。然而就日晷而言，一般並不在意當時太陽在天球赤經的什麼時間，而只在意那時是地球上當地的什麼時間。故而日晷所選的參考時間是：太陽通過當地日晷上方天球子午線的時間為正午，即12點整，或者說通過日晷下方天球子午線的時間為子夜0時。二、 從地面上看太陽1. 正午太陽的高度圖1.3 在地球表面觀察太陽的高度（仰角

13、a）會因緯度不同而有不同。 是那一天正午的赤緯值，是觀測地的緯度。箭頭所指為觀測者的頭頂方向。綠色直線是當地的地平線。(a)、(b)和(c)三個圖裡的SMP都等於90+。圖(c)裡的PMQ因直角三角形的關係而可看出等於。從地面上同一時間同一經度看太陽，會因為觀測地的緯度 在口頭上我們說北緯幾度，南緯幾度。在數值表示上，與赤緯的表示方式一樣：在赤道上， = 0；在赤道以北，為正；在赤道以南，為負。不同而覺得太陽的高度（仰角a）不同，雖然對不同緯度的人來說，當時太陽的赤緯是相同的。這是因為人都以自己為中心，在不同的緯度上每人頭頂所指的方向不同，但每個人都以自己頭頂所指的方向為天頂方向。例如在北極，

14、頭頂所指的方向就是天球的北極。而若在赤道上，頭頂所指的方向卻是天球的赤道；兩者相差90。若在夏至的正午 日晷時間的正午，而非手表時間的正午。在北極看太陽，那時仰角a由地平線量起有23.44，（就是的大小）。而同時在赤道上觀察，仰角a由南方地平線量起卻等於113.44（即90 + ），相當於由北方地平線量起的66.56（即180 113.44）。（習慣上當我們敘述仰角a的時候，我們採用小於90的度數，再加上一個方位。譬如這裡我們就應該說仰角等於北方66.56，而不說南方113.44，雖然兩者結果是一致的）。圖1.3裡列舉了三種情況：分別在(a)北極上、(b)赤道上和(c)其他緯度上某一天測量正午

15、時分太陽仰角a的大小。由此圖很容易就得到一個正午時由南方起算的a的計算式： a(d) = 90 + (d) - （1.5）若a大於90，就取其補角 若角度是b，其補角就是180 b。若取用補角，意味著a由北方起算。從式（1.5）我們知道如果 = ，即當觀測地緯度與赤緯相等的時候，則a = 90，就是太陽正在頭頂。在熱帶區域內（ -），例如高雄，一年有兩次這樣的機會，故知太陽一年會經過頭頂兩次；請參考圖1.4中的P點。春分和秋分時 = 0。這兩天在 = 0的地方，就是赤道上，正午的時候太陽會經過頭頂。請參考圖1.5(a)中的P點。 = 或- 的機會一年只有一次，所以在北回歸線上（ = ）或南回歸

16、線上（ = -）一年只有一次機會太陽經過頭頂。請參考圖1.5(b)中的A點和1.5(d)中的D點。緯度若在這個範圍之外，a一定不可能有等於90的時候，也就是說在熱帶區域外，例如台北，在北緯25.1，一定沒有機會遇見太陽經過頭頂。4. 出現在地平線上的太陽圖1.4 太陽特殊仰角的發生地點圖。 S代表陽光方向。從R向右經過P到Q的半圓弧是正午時分，向左經過G到Q的半圓弧是子夜時分。在P點觀察，因1 = ，故a1 = 90，此時太陽在天頂。若在Q點，2 = -(90 )，a2 為南方180，即地平線上。如在R點觀察，3 = 90 ，a3為北方 0，也在地平線上。每天日出日沒時，太陽都在地平線上，一般

17、都說是一在東、一在西。這一小節我們要討論的是在什麼季節、什麼緯度太陽在正午時分或子夜時分會出現在地平線上 這裡以及書中其他地方所指的或所計算的出現都是指未考慮折射的太陽中心點。太陽視半徑約16弧分，在地平線太陽因大氣折射又約提高34弧分，共50弧分。實際日出時刻是以太陽的上緣為準，所以在赤道上的日出和日沒時間大約提早和延後3分20秒。在南北極因週日軌跡幾乎與地面平行，故日出和日沒時間提早和延後大約兩天。見第二章。若太陽在正午出現在地平線上，那只是露一下臉，馬上就下去了。亦即日出與日沒發生在同一點上。除了正午時分，那個緯度的太陽露出地平面的部分是少於一半的。若太陽在子夜出現在地平線上，它會在天上

18、兜了一圈又在原處落下，日出日沒也是發生在同一點上，但是全天太陽露出地平面的部分是多於一半的。我們這裡非正式地給太陽午時在地平線出現的這種現象一個簡稱：午地平。也給太陽在子時出現在地平線上一個簡稱：子地平。在式（1.5）中，若 =（ 90），則a等於從南方起算的180，也就是北方起算0。0表示太陽中心剛好在北方地平線上出現。現在依時序來分別敘述：A、 若在春分， = 0，故 = -90。這是南極的緯度。春分正午太陽剛好在南極的地平線上出現，或說有午地平。 嚴格地說，在南極和北極兩點在春分或秋分這兩天是不能說有午地平或子地平的。若假設那兩天全天太陽軌道絕對垂直於地球自轉軸，即其軌道面平行於地球赤道

19、面；那兩點應該全天陽光都在地平線上。事實上，軌道不是絕對垂直於地球自轉軸，所以那兩點只有半天有陽光。太陽出現於地平線的方位是正東和正西，時間是上午和下午的6點。實際情況請參考註解14。 如圖1.5(a)裡的Q點。B、 春分過後值增大，發生午地平現象的緯度也隨著北移。如圖1.4的Q點。而在比這緯度更南的地方就進入永夜 永夜就是整天都看不到太陽光。書中所敘述的是指未考慮折射的太陽中心點落於地平面下就算永夜的開始。實際上，太陽在地平面下7天色就開始發亮。所以南北極真正永夜的開始比文中所指的要晚約18天，而其結束也要早約18天。圖1.5 仰角為零或者為90的地理位置。 ABCD的區域是熱帶。(a).春

20、分或秋分時， = 0。(b).夏至時， = 。A與P共點。(c)秋分後， 0，現象應出現在北半球。這些與時序的關係剛好與前述南半球的相反，在此不再贅述。請參考圖1.5中的R點及比RR高的區域。從上面看來，式（1.5）雖然簡單，卻也能幫助我們瞭解一些自然時序的現象。而太陽仰角的變化、永晝和永夜等現象在南、北半球都會發生，只是在時間上剛好相差半年。2. 日出方位角如同正午時太陽的仰角a會隨著觀測者的緯度不同而有不同，日出方位角AN也一樣。這裡將AN定義為當早上太陽中心點從地平線出現時，它的方位與正北之間的夾角。現在讓我們想像我們在夏天到北極點去觀察太陽的運行軌跡。北極點上的地平面是平行於地球的赤道

21、面的，也是平行於天球的赤道面。想像將北極點的地平面向四方延伸，直達天球的邊緣。雖然在事實上這個地平面與天球的赤道面之間有一個地球半徑的距離，但是因為天球太大了，在實務上這個地平面與天球的赤道面可看成是合一的。請參考圖1.6中的左圖。綠色的平面就是北極點的地平面，它取代了天球的赤道面。黃色圈是夏天太陽一日所運行的軌跡。這個軌跡可看成是一個與綠色面平行的正圓。在圖1.3(a)裡我們學到北極太陽的仰角a與赤緯相等。這一點在這裡仍然保持。現在請參考圖1.6中的右圖，我們可以看出幾點：A、 軌跡面與地平面平行，所以在北極從春分到秋分之間雖然每天赤緯不同，太陽都不下山的。一旦過了秋分，赤緯成了負值，太陽中

22、心點就在地平面之下了。再過不久就進入永夜狀態。圖1.6 北極地平面與太陽軌跡面的關係圖。 (a)圖是由上前方看下去。(b)圖是由正側面看去。M是日行軌跡觀測者的位置，北極點。S S與FG平行。B、 在圖1.6裡由S畫出一條直徑SS。這條直徑與天球的極軸相交於O點。這O點就是太陽軌跡圓的中心點。軌跡半徑OS天天在變，但不會大於天球半徑MS；它們的關係是： OS(d) = MS cos (d)若MS的大小為R，OS的大小為r，則可寫成 r(d) = R cos (d)（1.6）C、 OM是軌跡中心點到地平面的距離， OM(d) = R sin (d)（1.7）D、 由式（1.6）和（1.7）可知因

23、為每天在改變，r和OM也跟著每天在變。從上面的A點裡可知除了春分和秋分兩天，北極不是永晝就是永夜，沒有日出方位角的問題。但是北極點的緯度是90，可說是情況特殊。而在其他的緯度，方位角的情形就有相當的變化。說明如下：假設在緯度的地方觀測，也可以想像將該處的地平面擴大到天邊。請參考圖1.7。從天球外來看這個地平面，圖中綠色環所形成的面，它是傾斜的。它與極軸的夾角是，與赤道面的夾角是（90 ），與天球赤道只相交於天邊的、兩點，那分別是觀測者的正東方和正西方。太陽的軌跡環仍平行於赤道環，但卻可能和想像的地平面相交於天邊的I、J兩點。（當然，如果緯度很高，使得（90 ）小於，軌跡環還是不與地平面相交的）

24、。圖1.7 一般緯度的地平面與太陽軌跡面的關係圖。 (a)圖是由斜上方看下去。M是觀測者，位於地球北緯度。綠色環（ENW南）代表M的地平面無限延伸後與天球相交所形成的環。S為中天的太陽位置。SS環與天球赤道環FWGE平行，卻和地平面相交於天邊的I、J兩點。SS直徑交極軸於O，交地平子午線於K。(b)圖是由正側面看去。其中I、J和K共一點，E、W和M共一點。現在讓什麼都不變，只把圖旋轉一下，把緯度處的地平面擺成水平，圖1.7就變成圖1.8。從圖1.8可清楚地看出太陽從I點離開地面上升，經過日中的S點，在J點的地方沒下。IMN就是日出方位角AN。JMN是日沒方位角。因為M在軌跡環中心的正下方（參考

25、圖1.7），S是中天位置，經過M、S、N和S的平面不但平分了軌跡環，還平分了IMJ。所以日出方位角和日沒方位角的度數永遠一樣；只是一個偏東方，另一個偏西方。圖1.8北半球觀測者所感覺到的太陽週日軌跡和地平面的關係圖。 N點是觀測處地平面子午線（南北）與天球的交點（和黃色的軌跡環並不相交）。(a)圖裡的NMI是日出方位角AN，EMI是日出方位角AE。(b)圖是(a)圖的正側面，其中I、J、K共一點，E、W、M共一點。現在來檢討AN和以及的數學關係。由圖1.8之左圖裡得知 cos AN (d) = KM IM = KM R其中R是天球半徑。由圖1.8之右圖裡得知 KM = OM cos 將式（1.

26、7）之OM(d) = R sin (d)代入，得 cos AN(d) = sin (d) cos 或即 AN(d) = cos-1（sin (d) cos ）（1.8）因為式（1.8）是反餘弦函數，所以（sin (d) cos ）之絕對值不可能大於1。又因為只能介乎90之間，故cos 永遠為正值，意即sin (d)的絕對值必不能大於cos 。故得(d)與之間的關係： sin (d) cos （1.9）又因為可正可負，故AN的值可以從0（正北）變化到180（正南）。式（1.8）有兩個特例能不用三角函數計算即可得到AN之值。其一是在赤道上；此時因cos = 1，故cos AN = sin ，即 A

27、N = （90 (d)）。其二是在春分或秋分；此時sin = 0，故無論是多少，cos AN 都等於 1，即AN = 90，就是說在這兩天地球上各緯度的日出方位都相同：從正北算起90，即正東方。我們可以另外再定義一個由正東方起算的日出方位角AE： AE(d) = 90 AN(d) (1.10）意即AE以正東方為0，偏北為正，偏南為負。由這個定義來看，前面的兩個特例變成：(1) 於赤道上AE = (d)，即每天的日出方位角就等於赤緯之值。(2) 春分或秋分的時候AE = 0，即太陽由正東方出來，與緯度無關。對一般人士來說，這個定義或許會更方便。表1.1 日出方位角AN()與赤緯和緯度的關係 ()

28、()66.5660.0050.0040.0030.0020.0010.000.0023.440.0037.2951.7758.7262.6664.9666.1866.5620.0030.7146.8457.8563.4866.7468.6669.6870.0015.0049.4158.8366.2670.2572.6174.0174.7675.0010.0064.1269.6874.3376.9078.4379.3579.8480.005.0077.3479.9682.2183.4784.2284.6884.9285.000.00 90.0090.0090.0090.0090.0090.009

29、0.0090.00-5.00 102.66100.3497.7996.5395.7895.3295.0895.00-10.00115.88110.32105.67103.10101.57100.65100.16100.00-15.00130.59121.17113.74109.75107.39105.99105.24105.00-20.00149.29133.16122.15116.52113.26111.34110.32110.00-23.44180.00142.71128.23121.28117.34115.04113.82113.44下面我們從數值上來討論日出方位角與赤緯及緯度間的關係：

30、式（1.9）左邊的最大值發生在 = 的時候，就是在夏至和冬至。此時可取其等號來看，即cos =sin ()= 0.3978。從這裡求得 = 66.56。緯度若超出這個範圍，cos 會小於sin ()，使式（1.9）不成立。所以 = 66.56是能夠討論在夏至和冬至日出方位角的緯度範圍。事實上，66.56就是我們將之稱為北極圈和南極圈所在的緯度。在= 的情況下，若超出這個範圍，不是永晝就是永夜，是不用談日出方位角的。利用式（1.8），我們計算了在11種不同赤緯情況下在7個北半球緯度以及赤道上的日出方位角AN。計算結果列於表1.1。當然我們可以將表中的緯度用負值代入，以求得南半球的日出方位角。但其

31、結果與正值（北半球）者無異，這是餘弦函數的特性。表中赤緯的第一個（23.44）是夏至時的赤緯，第一個緯度（66.56）是北極圈的緯度；在這種組合時的日出方位角AN是0，就是太陽由正北出來。若將觀測地南移，移到北緯40或南緯40，則AN是58.72，就是由正北算起偏東58.72。將觀測地移到赤道上，則AN為66.56，即正北偏東66.56，或東偏北23.44，亦即東偏北。表1.1裡赤緯的最下一個（-23.44）是冬至時的赤緯。此時，在北極圈上的AN等於180，即日出於正南方；在赤道上則為113.44，即東偏南。表1.2 日出方位角AE()與赤緯和緯度的關係 ()()66.5660.0050.00

32、40.0030.0020.0010.000.0023.4490.0052.7138.2331.2827.3425.0423.8223.4420.0059.29 43.1632.1526.5223.2621.3420.3220.00 15.0040.59 31.1723.7419.7517.3915.9915.2415.00 10.0025.88 20.3215.6713.1011.5710.6510.1610.00 5.00 12.66 10.04 7.79 6.53 5.78 5.32 5.08 5.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00-

33、5.00 -12.66-10.04-7.79 -6.53 -5.78 -5.32 -5.08 -5.00 -10.00-25.88-20.32-15.67-13.10-11.57-10.65-10.16-10.00 -15.00-40.59-31.17-23.74-19.75-17.39-15.99-15.24-15.00 -20.00-59.29-43.16-32.15-26.52-23.26-21.34-20.32-20.00 -23.44-90.00-52.71-38.23-31.28-27.34-25.04-23.82-23.44我們也可以用AE來表示日出方位角，與表1.1相同和情況下

34、的AE數值列於表1.2。從這些數值能立即體會用AE表示方位的好處；它非常清楚地顯示了：A、 夏至和冬至的日出方位角具有南北對稱性；一個是東偏北幾度，另一個就是東偏南幾度。B、 在赤道上所測得的AE，其數值就是當天的赤緯值。C、 春分或秋分時，在任何緯度上太陽都是由正東方出來。D、 不但是夏至對冬至，所有日子日出方位角都依赤緯正負數值而有對稱性。5. 日出的時間以日晷時間而言，太陽中心通過日晷下方天球子午線的時間為0點。請看圖1.9，其架構與圖1.8相同，其中SISJ環是太陽一天的軌跡；S所在的位置就是0點0分，S所在的位置是中午12點0分，它們以軌跡中心點O而對稱。點I是日出位置。這一節所要討

35、論的是日出的時間，也就是太陽從S走到I所需的時間。太陽在SISJ環上行走一圈平均需時24小時。假設它運行的角速度是均勻的，那麼相對於中心點O它的方位角每小時改變了15。因此我們若能求出SOI的大小，就能得到日出時間。圖1.9中OK = OI cos (SOI)。因OI是SISJ環的半徑r，故 OK = r cos (SOI) = R cos (d) cos (SOI) （利用式（1.6）又 OK = OM tan = R sin (d) tan （利用式（1.7）故得 cos (SOI) = tan (d) tan 圖1.9 日出時間的幾何關係。 太陽每天運行的軌跡與地平面有兩個交點：I和J。

36、運行到I的時間是日出時間，到J的時間是日沒時間。S是每天的時間起算點：零時。S是中午12點。即 SOI = cos-1 ( tan (d) tan ) （1.11）若令某日日出時間的符號為Hrise(d)，則 Hrise(d) = SOI 15或 Hrise(d) = cos-1 ( tan (d) tan ) 15（1.12）Hrise的單位為小時；將其小數點後的數值乘以60，即得分鐘數。日沒方位角和日出方位角兩者的絕對值相等，只是一個偏西，一個偏東。因此太陽在子夜後的Hrise小時出現，暗示了它在子夜前的Hrise小時得落於地平線下。故日沒時間（Hset）為 Hset(d) = 24 Hr

37、ise(d) （1.13）我們代了幾個和的數值進入式（1.12），得到一些Hrise的值，列於表1.3。從那些數值裡很容易就看出：A、 春分和秋分時，不論在什麼緯度觀察，太陽都是6點鐘出來。B、 地球上每天太陽都是6點鐘出來的地方只有赤道。C、 在同一天，離赤道越遠日出時間就離6點鐘越遠。在南北兩半球上依緯度而成反對稱：在北半球越早，在南半球就越晚；在北半球越晚，在南半球就越早。D、 明白地顯示：夏至時，北極圈上有子地平現象，南極圈上有午地平現象；而冬至時則反之。表1.3 日出時間 Hrise與赤緯和緯度的關係 ()()66.56 60.0040.0020.000.00-20.00-40.00

38、-60.00-66.5623.440:002:454:355:246:006:367:25 9:1512:0020.00 2:113:24 4:49 5:29 6:00 6:31 7:11 8:369:4915.00 3:27 4:10 5:08 5:386:00 6:22 6:52 7:50 8:3310.00 4:24 4:49 5:26 5:45 6:00 6:15 6:34 7:11 7:365.00 5:13 5:25 5:43 5:53 6:00 6:07 6:17 6:35 6:470.00 6:00 6:00 6:00 6:00 6:00 6:00 6:006:00 6:00-

39、5.00 6:476:35 6:17 6:07 6:00 5:53 5:43 5:255:13-23.44 12:00 9:157:256:366:005:244:352:46 0.00E、 在同一緯度，離春分或秋分越遠則日出時間離6點鐘越遠。依赤緯而有反對稱：在夏至時越早，在冬至就越晚；在夏至越晚，在冬至就越早。表1.4 夏至和冬至不同緯度都市的日出與日落時間都市漠河北京市台北市新加坡坎培拉緯度()5339.925.11.3-36夏至日出 3：40 4：35 5：13 5：58 7：13日落20：2119：2518：4718：0216：47冬至日出 8：21 7：25 6：47 6：02 4

40、：47日落15：4016：3517：1317：5819：13再舉一些實例說明。從北緯53的黑龍江省漠河縣下來到北京市、台北市、新加坡，到南緯36的澳洲坎培拉，夏至和冬至那兩天的日出與日沒時間列於表1.4。從表1.4可以看出：A、 在同一天裡日出或日沒的時間從北到南有很大的差別。B、 白晝長度的差別，從北到南很大，從夏至到冬至也很大。C、 任何地方，若將夏至和冬至的白晝長度相加，其和必為24小時 漠河縣的數據相加，字面上會比24小時多1分鐘，這是因為數據經過四捨五入的關係。例如夏至日出為3點39.5分變成了3點40分，日沒為20點20.5分變成了20點21分。其平均晝長為12小時，亦即在夏天裡多

41、出來的白晝會在冬天裡扣除，沒有人會佔著便宜。表1.4 夏至和冬至不同緯度都市的日出與日沒時間都市漠河北京市台北市新加坡坎培拉緯度()5339.925.11.3-36夏至日出 3：40 4：35 5：13 5：58 7：13日沒20：2119：2518：4718：0216：47冬至日出 8：21 7：25 6：47 6：02 4：47日沒15：4016：3517：1317：5819：13D、 夏至日出時間加12小時就是冬至的日沒時間。夏至日沒時間減12小時就是冬至的日出時間。這些說法也可以用圖形來表示。圖1.10裡的黃色、紅色和藍色圓圈代表夏至、春分秋分、冬至的太陽軌跡。它們都是以極軸為中心的圓

42、。它們在地平面以上的圓弧部分所涵蓋的弧角大小與白天的時間長度成正比。從其右圖能看出黃色線和藍色虛線的對稱性。因為有對稱性，黃色虛線部分的長度剛好等於藍色實線的，所以夏至的弧角加上冬至的弧角剛好等於360，就是這兩天的白晝長度和為24小時。經由中心點M與夏至日出點對稱的點就是冬至的日沒點，所以夏至日出時間加12小時就是冬至的日沒時間。夏至日沒與冬至日出時間的關係也可以這麼看。圖1.10 太陽在夏至、春分、秋分和冬至的運行軌跡。 (a)圖是由上斜角看下去，(b)圖是從正側面（西方）看過去。黃色、紅色和藍色線條分別代表夏至、春分秋分和冬至的軌跡。注意這些線條的對稱性。三個軌跡圓都以極軸為圓心。實線為

43、晝，虛線為夜。圖1.11顯示了位於赤道上、北極圈上和北極圈內的情形。在赤道上，因為軌跡圈與地平面垂直，每天的晝夜時間相等。在北極圈上，夏至時的軌跡剛好在B點與地平面接觸，所以那一天全天都有太陽。同理，冬至時全天都沒太陽。在北極圈內，夏至時的軌跡不與地平面接觸，當然全天都有太陽。甚至在夏至前後也會有全天都有太陽的日子。同理，冬至及其前後會有全天都沒太陽的日子。在圖1.10和1.11裡，只有紅色實線的長度無論在那個緯度的圖裡都等於紅色虛線的，意即：無論在那個緯度，春分和秋分那兩天一定是晝夜等長。3. 太陽在天空中的位置以天球模型的觀點，太陽每天的軌跡再簡單不過：一個平行於赤道的圓圈。所以它在天空中

44、的位置以赤經、赤緯來描述即可。然而在地球上觀察太陽軌跡，不同緯度就各自感覺不同，正如同圖1.10和1.11裡的情形。因為人們習慣是主觀的、自我中心的，所以本節要導出適合以當地為中心的、能計算每天不同時間太陽位置的公式。太陽位置的表示方式不用天球上的赤經、赤緯，而改採用以地球為中心的球面座標的兩個角度。圖1.11 不同緯度的太陽週日運行軌跡的側面圖。 黃色、紅色和藍色分別代表夏至、春分秋分和冬至。(a)在赤道上觀測，地平面與極軸平行（重疊），太陽軌跡與地面垂直。(b)在北極圈上觀測，軌跡的B點和D點剛好到達地面。(c)在北極圈內觀測，軌跡的B點和D點無法與地面相交。假設地球到太陽的距離恆定為R，

45、採用球面座標系統來描述太陽在天空中的位置只需兩個變數：天頂角 Zenith angle。q和平經 azimuth。f。請參考圖1.12，其中L代表太陽位置。天頂角就是太陽離開觀測者頭頂的角度。平經是地平面上的方位，以角度表示。平經沒有絕對的起始點，也沒有絕對的正值方向。在某些系統裡，有以正北為起始點，向西變化為正，向東為負。或以向東變化為正，向西為負。本書將以一般數學習用的系統為準，即：z軸向上，指向天頂；xy面為地平面；x軸指向讀者，為平經角度的起始點，逆時鐘變化為正。故書內平經角以南方為起始點及終結點，即南方（x軸的正向）為0（若為終結點，則為360），東方（y軸的正向）為90，北方為18

46、0，西方為270或-90。圖1.12 描述太陽位置L的球面座標和直角座標系統。 因為太陽在天球面上運行， LM的長度不變，故描述L點位置只需和f兩個變數。若以直角座標描述L點位置，則需三個變數（x,y,z）。只要知道q和f的度數，就能指出太陽在天上的位置。如圖1.12，我們也可以採用直角座標系統來描述太陽的位置，但是需要用三個變數。直角座標系統和球面座標系統是相通的，也就是可以互換的。例如 f = tan-1 ( y x ) （1.14） q = cos-1 ( z R ) （1.15）現在先從幾何關係導出太陽在天上位置的直角座標公式，再轉換成球面座標公式。圖1.13 太陽位置與地平面的基本關

47、係位置。 L為太陽位置。LP垂直於綠色的地平面，P點在地面上。PQ垂直於南北方向線，其長度等於y。MQ長度等於x。為了顯示清楚，此圖中之x軸和y軸與圖1.12相比，已逆時鐘轉了90。下面公式裡會用到所謂太陽的時角 這裡說的太陽的時角與註腳7的時角不同。請勿混淆。h0。太陽的時角是從時間換算過來的角度。h0以子夜零時位置為起始點，每小時對應15。例如5點鐘的對應時角為（5 15），或即h0 = 75。再例如12點鐘的對應時角為（12 15），或即h0 = 180。 這裡的時角定義與日晷面盤上小時線的時角不同。在面盤上所謂的時角是指某時的小時線與12點鐘的小時線或子午線之間的角度。假令某天上午太陽

48、的位置如圖1.13中的L點。LOK的角度大小是時角h0。求得此時的MQ（其值為x）、PQ（其值為y）和PL（其值為z）即可換算出f和q。為了方便解析，我們將採用兩個平面圖來圖1.1請參考1.（）（b）圖1.14（圖1.13的鳥，SS與x軸共線，L與P共點。陽位置在y軸上的分量是： y = PQ = Lq = LO sin h0OL是軌跡半徑，將它與天球半徑的關係（式（1.6）代入，得y = R cos (d) sin h0 （1.16）圖1.14 太陽位置的分解圖。（a）由天頂看下去，（b）由西向東看過去。 綠色為延伸至天球赤道的地平面，淺藍色為天球。灰色部分表示在地平面之下。太陽位置在x軸上

49、分量稍微複雜，因為它牽涉了兩個向量：圖1.14（b）中的Ou和Ot。又因為時間起算點（零時，S）的方向與x相反，這兩個向量得取負號。圖中Oqt等於KMO，故等於。因此x = MQ = - Ot Ou = - Oq sin OM cos 但Oq = OL cos h0 = R cos (d) cos h0故 x = - R cos (d) cos h0 sin R sin (d) cos （1.17）太陽位置在z軸上分量也牽涉了兩個向量：圖1.14（b）中的Qt和tq；其中tq在零時時的方向與z相反，所以tq得取負號。z = Qq = Qt tq = OM sin Oq cos = R sin

50、(d) sin R cos (d) cos h0 cos 利用式（1.15），得 q(d,h0,) = cos-1 (sin (d) sin cos (d) cos h0 cos )（1.18）由式（1.16）、式（1.17）和式（1.14）得 f(d,h0,) = -tan-1cos (d) sin h0 (sin (d) cos + cos (d) cos h0 sin )（1.19）由式（1.19）直接算出的f只能落於-90到90之間，故必須再加以處裡：若知在午前，而f 0，則f的實際值是f 180。又式（1.18）和式（1.19）中的h0隨時間一天一個週期變化，隨時間一年一個週期變化。

51、這也是我們所感覺到的太陽在天空運行的雙重週期性。q角是由天頂開始起算，而太陽的仰角a是由地平面起算，故兩者應該互餘：a(d,h0,) = 90 q(d,h0,) （1.20）由式（1.5）得知在北緯40赤緯20那天正午的a為70。將h0 = 180， = 40， = 20代入式（1.18），得q = 20，亦相當於a = 70。圖1.15是利用式（1.18）及（1.20）得到的在赤道上正午以前太陽的仰角變化。仰角為0時的時間就是日出時間。在圖裡的春分那天，太陽在6點整由正東方出來，12點時到達頭頂，所以它的仰角變化與時間剛好成正比，一小時15。反映在圖1.15中，它就是一條直線，從0直直地升到90。正午以後的變化情形，因為與正午以前的對稱，所以在圖裡不用畫出 12點以後，太陽高度直