微积分II课程第3章导数与微分

1、第三章第三章导数与微分第一讲课 题：导数的概念教学目的：掌握导数的定义，理解它的几何意义、物理意义，能分清点导数与导函数的联系和区 另h掌握求导数的三个步骤教学重点： 教学难点： 教学时数： 教学方法：掌握导数的意义，点导数与导函数的区别与联系 分段函数的导数2讲授法教学设计微积分就是微分学和积分学的统称。微分学主要包括导数、微分以及他们的应用。积分学主要是不定积分与定积分。导数反映函数相对于自变量的变化速度(称为函数的变化率)，微分则是指自变量有微小变化时，函数相应变化的大体情况。今天我们就从导数开始学起。我们很多数学概念都是由于在实际生活或实际工作中，大量的存在着同类的问题， 科学家把实际

2、意义取掉，研究出规律，然后再应用到实际中去。导数也不例外。我们先看一些例子。一、几个实际例子1 .曲线y = f x在点x0处的切线斜率(1) 切线的概念割线的极限位置称为切线。(2) 求曲线的切线斜率三个步骤： 求函数增量Ay =f xo *xf xo 求函数增量与自变量增量之比 求函数增量与自变量增量之比在自变量增量趋向于2 .变速直线运动的物体在某一时刻的瞬时速度S=S（t）toV （to ）匀速运动时,3 总成本C对产量Q的变化率一一总成本相对于产量的变化速度我们也会得到一个极限5这个极限值在经济学上称为边际成本。前面三个例子虽然是在不同的领域，但我们都得到了三个相同的极限式子I i

3、m岁，即函数增量与自变量增量比的极限。为此我们特别的把这种极限拿出来进行研究，就产生了我们的导数。、函数f(X)在点x0处的导数1、定义3.1 :设函数y=f(x在点X0的某个邻域内有定义，当自变量x在X0处取得增量 AX不等于0)时，函数f(x)取得相应的增量=y = f x0亠- f x0，若lim存在，则称函数在X。点可导，极限值称为函数在x0点的导数。记作：例1 求函数y =x2 3在点x=3处的导数。解：当x由3变到3x时，函数增量为勺=(3 .)2 3 -9 -3 =6厶x (3)2=6伙x故f/(3)乜即了二62、lim y 还有另两种形式lim f(x0h)-f(x0),匚x=

4、0 =x0hlim 仝 购(这种形式在对分段函数在分界点处的导数用起来比较方便)xrX0x X03、 左导数f(X0)右导数f(X0)例2.讨论函数f( x)= | x |在x=0处的导数的存在性.y 广 f(0：x)-f(0)解 Ijm = lim歆r0八Xi. x|4|=lim収一0-x当 XV 0时，有当 x 0 时，有 lim =1.占一0十也x所以，lim y不存在，即函数f(x)= | x |在x=0处不可导.5 Ax4、 导数的几何意义：函数y二f(x)在点xo的导数f(X。)就是曲线y = f(x)在(Xo, f(x。)处 切线的斜率.5、可导与连续的关系定理3.1:如果函数y

5、二f (x)在x点可导，则函数在 x点一定连续。证明：函数y二f (x)在x0点可导，则昨卫=f/(x0)-y = f / (x0)】二 (Ijm ： - 0)y = f / (x0)lx * lim y = 0 此表明函数在X0点一定连续.注意：反之不然。即连续不一定可导。如y=|x|在x=0处连续。但不可导。例3.曲线y= 3 x在(0 , 0)处是否有切线？函数y= 3 x在x=0处是否可导？解：根据切线的定义，y= 3 x在(0 , 0)处有垂直于x轴的切线x=0,而故f (0) =g, 即卩y= 3 x在点x=0处不可导.三、函数在区间的导数-导函数1、定义：如果函数y=f(x)在开

6、区间(a,b)内的每一点处都可导，则称函数在开区间(a,b)内可导;如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导，且在左端点x=a处右可导，右端点x=b处左可导，则称函数y=f(x)在闭区间a,b上可导.这时，对区间I上的任意一点x,都对应着f(x)的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数y=f（x）的导函数，简称导数，记作/,dydf( x)f x 、y , dx , dx2、注意：1在区间上的导数与点导数的区别2他们之间的关系3通常，求一个函数的导数指导函数例4 求函数y =logax（ a 0, a = 1 ）的导数解：给x 一个增量 x，则相应有函

7、数增量Lx.y = f (x . x) - f (x) = loga(x . x) -loga X = loga(1)xlxloga(v-)x =也(1 + )必x= lim.0loga(V ) x = loga lxmo(1j x=logaexlog a ex1xln a即（log a x）zxln a四、小结：（1）导数的概念；（2）求导数的三个步骤;（3）可导与连续的关系;（4）熟记基本求导公式五、 作业1、P792、3、4、2、记公式表教学后记：第三章第二讲课题：求导基本公式与导数运算法则教学目的：熟练掌握导数求导基本公式、四则运算法则、反函数求导法则、复合函数求导法则、教学重点 教学

8、难点 教学时数 教学方法：隐函数求导法则、对数求导法则法则的熟练使用反函数求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则4讲授法、讲练结合教学设计：复习 1导数的定义、导数的几何意义、物理意义、经济意义2、导函数与点导数的区别与联系新课设计一、导数的四则运算法则 设下列各式中导数都存在，则U 二V =u v U V -U Vu V =U V U VV2注：和差积法则可以推广到有限个函数;特别地：常数因子可以提到导数符号的外面;x6例1求y=tanx的导数.sin x . (sin x) cosx -sin x(cosx) 解 y =( tanx)=()=厂cosxcos x2 + 2 d cos

9、x sin x 1=secx,cos x cos x(tanx) =secx.例2求下列函数的导数1、2、y =ex(x2 1)第三章x4、y = xe (sin x cosx)解：1、= (-Y ( x)/ (x3)/x+丄一仃2, x 342/X、/2x ,2/X/2x x22、y= (e ) (x1) e (x1) = e (x1) 2xe 二 e (x1)/31/213、y=(x 1) =3x2xx4、y/= x/ex(sin xcosx)x(ex)/(sin xcosx) xex(sin xcosx)/二 ex(sin x cosx) xex (sinx cosx) xex(cosx

10、-sinx) =ex (sin x cosx) 2xex cosx课堂练习 P138例3求下列函数的导数1、 yx2In x解：1、2、3、2x3、 y2cscx4、yL(x2)/2x -X2(2x)/(2x)21(In x)2(In x)/=(12x 2x -x2 2xln2 2x-x2ln21x(ln x)22(x2 1)2(2x)22x(x2 1)/4x2(x 1)4、(2cscx)/(1 x2)-2cscx(1 x2)(1+x2)22-2cscxcotx(1 x )-2cscx 2x(1+x2)222cscxcotx(1 x ) 2x(1 x2)例 4. 设 y=x4+、x +cosx

11、+ln3,求 y，及 yiy，=(x4)，+(x2) +(cosx)，+(ln3)12 ,x,3 =4x +-sinx.3 n =Fi.12-此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法来讲解x. 0例5已知f(x)=e xu0在x = o点可导，求a，b之值，并求f(x)x +b x 色0解：f(x)在 x = 0 点可导，贝 U f(O)=f/(O)而 f (0) = lim凹二 limf/(0)叽 xax b -bax.e -b cl i max0 _ x此极限式成立,必有lim (ex - b) = 0x0 -即 b =1xe b a = limx0 _ x=limxQ _ x=li

12、mx )01x=10 一x _ 0j0 F面求f/(x)当 x 0时，f lx) = (ex)/ = ex当 x 0时，f lx) =(x 1)1在 x=0处,f(0)=讪 f(x)-f (0)十 Ax 0- x0 x：-xf/(0)=lim -x0 X 1 -1=1则 f/(0) =1ex故 f/(x) = :0-0x :： 0二、反函数求导法则:定理.设函数y =?(x)在的某领域内连续且严格单调,y =?(x)在x处可导,且f(x)工 0.则y=?(x)的反函数 x= $ (y)在y处可导，且证明:例 6.求 y=arcsinx ( | x | 0.因此，在对应区间(-1,1)内有1 1

13、 1 1(arcsi nx)=(sin y) cosy Jsin2 y山-x21(arcsinx)，=类似可得其余反三角函数的导数公式:1(arccosx) = 一 (I x | 1), (arctanx) =71 -x21 2 (x R),(arccotx) =1(x R).1 x2三、基本公式今后这个函数的结果可以作为公式直接使用，其实所有基本初等函数的导数都可以作为公式导数的基本公式表C/=0特别地 x/ =1/ n、/n(x ) nxxn1(、x)x /(a )=ax ln a特别地x /x(e ) =e(log ax)/ 二xln a特别地(ln x)/(sin x)，二 cosx(

14、cosx)，- - sin x(ta n x)/2=sec x(cot x) / - - csc2 x(secx)，=secx ta n x(cscx)/ = -cscxcotx(arcsin x)/. 1 -x2(arccosx)/_1_1 -x2(arctanx)，二1x2(arc cot x)/ 二1x2四、复合函数的求导法则证明见书提醒同学注意fZ :(x)与 1f(x)?的区别3、求导法则可以推广到有限次复合 例7求下列函数的导数（要设u,v）1、y 二2、y=ta n(ln x+2)解：1、令 y = u3,u = x23y -(u3)； (x2 3)/x -3u2 26x(x2

15、3)22、令y = tanu,u = In x 2y/ =(tanu)u (In x 2)： = sec2u -=x2sec (In x 2)3、令u2y = 2 ,u = sinv,v = xy/ =(2u)u (sinv)v (x2)x =22 i 2In 2 cosv 2x = 2x cos(x )2sinx In2例8求下列函数的导数（可以不设u,v）12、y = arccos-x31、y = csc (In x)3、xy = In tan 2解：1 .y/ = 3csc2 (In x)csc(ln x2 /=3csc (In x)csc(lnx)cot(In x)(ln x)二33c

16、sc (In x)cot(In x)x2.y1j)2(1)13.y/tanX(ta鈔=cX.P2seC(-)2/= csx例 9 已知 f(u)可导，求fin xl及If x a解：f in x 丨二(in x)丄二xxFf tx +a n = f (x +a)n n(x + a)心F-f x a n ;二 n f (x a)n 4 f/ (x a) 1例 10：已知 y=y(xAef(x)，若 f(a訂，求证y(aAy(a)2 2证明：y =y xi=ef x，则 y/(x)二 ef (x) 2f (x) f /(x)f2(x)f2(a)y/(a)二e (a) 2f(a) f(a)二 y(a

17、) 2f(a)2f (a)1 y(a) 得证.例11求下列函数的导数彳x :21、y 石 a -x2 y = In x x2 a24 y =sin nx sinnx5、 y=In | x | (x = 0)解：1、f 二(.a2*丄 a2x2x222、a2 -x2 (创a2 -2x22、x /心刊-a2(12x2、x2a2- x2 a23、(ex 飞了4、xex e2抄/ nn /=(sin nx) sin x sin nx(sin x) cos nxnn sinn-1x sin nx nsin x二 nsinn 4 xsin( n 1)x五、隐函数求导法则 1、 隐函数的概念：在方程 F(x

18、, y) =0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，则就说方程F(x, y)=0在该区间内确定了一个隐函数2、把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化3、隐函数的求导4、注意：关于 y的函数是x的复合函数5、举例例13求下列隐函数的导数1、y=x Iny2、xy3、e x _ y = 04、解：1、两边同时对x求导：y/ 224xy -x y y 1 = 0x = y4 sin y cos5, 1In y x y/ yln y yy x两边同时对x求导： 12c/cy x 2y y -2xy2/,31小-x y 4y y 0y2 _2xyx2 _2xy _4y33

19、、两边同时对x求导： exy(y xy/)y/ = 01 yexy-xexy -14、两边同时对x求导:3x2二 4y3y/ cos/ y/3x24y3 cosy例14 求曲线 y+x-exy=0在点(01)处的切线方程六、对数求导法1、举例说明并归纳 例15求下列函数的导数1、y =xxy x3、x =y4、yx55)(x2)V $x2+3解：1、两边取对数：In y =xlnx/xy y(ln x 1) = x (In x 1)2、两边取对数：xIn y 二 xInxIn x - In(x 1)x +11y/ =ln x -In(x -1) x(-)yx x 1AA八妙(x1) x(; R

20、)/ x x11y =() inx-in(x 1) x(r)3、两边取对数：y I n x = x I n yy/ In x y 1 = In y y/x y. y In yx. x In xy4、两边取对数：In yJIn(x-5) In(x_2)_1In(x23)35丄一1x -25x232x)y/ 二 y 丄(-12x)3 x 5 x 25 x +31 3 (x -5)(x -2)丄 12x3 ：5 x23 x -5 x -25(x23)七、由参数方程所确定的函数的导数X =半(t)1、若参数方程丿确定y是X的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数片屮(t)1 / /2、设X二(t

21、)有连续反函数t二 (X)，又/(t)与=(t)存在，且(t) = 0贝U, y与x构成复合函数y - *-* ：(X)利用反函数和复合函数的求导法则，有dydy dy dtdt /(t)dxdt dxdx (t)dt3、举例例16已知=arctr求dy y =1 n 1 +t ) dxdy _2L解：d = dL 二jdx dx 1dt 1 t2例17已知椭圆的参数方程为x = a cost二，求椭圆在t =相应的点处的切线方程4y = bsint3T解:当t时，椭圆上的相应点4M的坐标是:江 a江Xo = a cos, y =bsin=424曲线在点M的切线斜率为:(bsin $ |叫-d

22、x t(acost)，bcostG* - a cost . a代入点斜式方程，即得椭圆在点M处的切线方程:-b(Xa化简后得bx a . 2ab = 0作业：P88. 1、2、3、4、5第三讲课 题：微分教学目的：掌握微分的定义，会求函数的微分，会利用微分进行近似计算教学重点：定义的理解和微分的求法教学难点：微分近似计算教学时数：2教学方法：讲授法教学设计：一、复习：二、新课（一）由铁板的膨胀引入微分的问题一块边长为X。的正方形金属薄片受热膨胀，边长增长了 x,其面积的增量为2 2 2 y=（ xo+ x） - X。=2x。 x+（ x） 这个增量分成两部分，第一部分2X0 x是厶x的线性函数

23、，第二部分（ x）是厶x的高阶无穷小量，当x很小时， y的表达式中，第一部分起主导作用，第二部分可以忽略不计因此，当 给x以微小增量 x时，由此所引起的面积增量 y可近似地用2xA x来代替，相差仅是一个以 x为边长的正方形面积（图3-4），当| x |愈小时相差也愈小.于是得到 y 2xoA x.f图3-4（二） 微分的定义1定义：设函数y = f （x）在某区间内有定义，X。及x。： =x在这区间内，如果函数的增量Ay = f（X。 ：x） - f（X。）可以表示为y = A ：x ：（ ：x）其中A是不依赖于 x的常数，：0 ）是比 x高阶的无穷小，则称函数 y二f（x）在x。处可微.并

24、称A x为函数y二f （x）在x。处的微分，记为 dy即 dy=A：x2、(怎样的函数才是可微的呢) 如f(x)在处可微xo，则二y = Alx:，(lx)因为l i m 竺二 A所以/f(x)在Xo处可导，且A= f(xo)又如f(x)在x0处可导，则l i m y = ANT也x根据有极限的函数与无穷小的关系，納=Alx o( x)此表面f(x)在处Xo可微.综上所述：函数f(x)在xo处可微的充分必要条件是函数在xo处可导，且/dy 二 f(X。)x例1求函数y =x2在x =1和X = 3处的微分解：函数y = x2在x=1处的微分dy =(x2)/ |x ： X =2x|xm x =

25、2 x2函数y二x在x=3处的微分dyxVlxm ： x=2x|xm ：x=6 ：x1、若不指明Xo点，即函数在I上的任意一点x都可微，则函数在任意点x的微分称为函/数的微分.记作dy或df(x) 即 dy =df (x) = f (x)厶x4、如果把自变量 x看作自己的函数，贝Udx二二x/ /这时 dy = f (x) ：x = f (x)dx齐 fix)此表明函数的导数就是函数的微分与自变量微分的商，因此，导数又叫微商5、微分的几何意义(三)微分的运算1、利用定义例 2 求函数(1) y=lnsinx (2)y=xsinx的微分解:/ 1(1) ycos x = cot xsin xdy

26、 = ydx = cot xdx(2) y/ = 1 sin x xcosx = sin x xcosxdy = ydx = (sin x xcosx)dx2、微分的运算法则和公式P134例3求下列函数的微分 dy(1 )、y =3x 7x 5(2)、y=si n( 2x+3)(3)、 y =(ex eV(4)、y =1 xey解：(1) dy = d(3x2 7x 5) = d(3x2) d(7x) d(5)=3d( x2) 7dx = 6xdx 7dx = (6x 7)dx(2) dy =d(sin(2x 3) =cos(2x 3)d(2x3) =cos(2x 3) 2dx = 2cos(

27、2x 3)dx(3) dy=2(ex e )(e e)d 2(e2x -ex)dx(4) 两边同时求微分：dy =d(1 xey)y丄ydy = e dx xe dy1 xeydx例 4.设 x2y- e2x =siny,求 dy.解 由 d(Xy- e2x)=d( siny),得d(xy)-d( e2 )=d( siny),即22 x2xydx+x dy-2 e dx=cosydy.整理得dy=2(2x -cos ydx微分的运用（四）微分的近似计算1、求函数增量2、求函数值的近似值.y : dy = f / (xo) -x f (xo x) -f (xo) ： f/(xo)xf（X。：x）

28、 ： f（xo） f /（X。）：x例5求下列各式的近似值(1)、Vl?Q2(2)、V0(3)、sin 3Q03Q/(4)、arctan1.02解: ( 1)令 f (x)=如x =1：x =1.02-1 =0.02由 f（X。咲）：f（X。） f /（X。）：x 有3 1.020.02 : 10.0 06 7 1.0 06 7(2) 101 二 100 1 =10“ 1 1 10 1 0.01V 100令 f(x)= .xx0 =1：x =1.01 T = 0.01由 f (X X)： f(X0) f 1x0)X 有101 =10 1.01 =10( 10.01) =10.050/0/31

29、H(3) 把30 30化为弧度，得30 306360兀n令 f (x) = sin x x0 二一 x =6360由 f (x . ：x) ： f (x) f /(x。). ：x 有0 /sin 30 30二二 二1、. 3 二:“ sin cos0.50766636022360(4) 令 f(x) =arctanxx =1lx = 0.02由f (x：x) ： f (x) f /(Xqx 有1兀arctan1.02 ： arctan10.020.01 ： 0.7951+142、在公式 f(X。* 3)、f(Xo)f/(Xo X 中，取 X0 =0有 f (x) ： f(0) f/(0) x用

30、此公式我们可以得到在工程上常用的几个近似公式: 当x非常微小时n 1 x : 1xnsin x x tanx x(x用弧度作单位来表示)(x用弧度作单位来表示)ex ： 1 xln(1 x) ： x例 6 求证 X :： 1 时，(1 xy ：、1：“：x证明：设 f(x) =(1 -xp 取 Xo =0 则二 x = x - Xo 二 x 且 |Ax|=|x|1由 f(X。 X)： f (Xq) f /(X。)：X有f(0 x) ： f(0): (1 x)：|xqx/得证(1 亠 x)- ： 1 ：.：x11 11如 . 101 =(100 1)2 =10(1 一)2 ：-10(1) 0.0

31、5100 2 100同样可证ex 2+x. In 1(+x)；tx,si nx a：x, t a X fc：x三、小结：本次课主要对微分知识进行学习，从微分的实际意义，到微分的定义、微分的计算、 微分的应用。内容较多，中心一个。当然重点还是要熟练的求各种函数的微分。这次 课我们要求用微分的公式、法则求微分，今后不强求。四、作业：P94 1、2教学后记:第四讲课题：高阶导数教学目的：理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的求解教学重点：高阶导数的求解教学难点：高阶导数的求解法教学时数：2教学方法：讲授法、讲练结合教学设计：一、复习：1、求导的四则运算法则2、求导的复合运算法则3、 求导的一般步骤：1代

32、法则，2代公式，3整理化简例 1 已知 y 二 f (sin2x) f(cos2x),求y 解：y/=f(si n2x)/ f (cos2 x)/2 / 2二 f (sin x) 2sin x cosx f (cos x) 2cosx (sin x)/ 2 / 2=sin 2x f (sin x) _ f (cos x)二、新课设计(一)、(四)、高阶导数定义：如果函数y二f x的导数f x在点x处可导，则称f x在点x处的导数为f x在点x处的二阶导数。记为f x，y，或豊。dx类似的三阶导数，四阶导数n阶导数记为f n例2求下列函数的二阶导数1、y 二ex 3x 22、 y=x2 sin

33、3x In x解：1、-ex 3/y2、二 2xsin 3x x1cos3x 3 一x/y2 1=2sin 3x 6xcos3x 6xcos3x9x sin3x - x解：y/2 1=2sin3x 12xcos3x-9x sin3xxy二xn的各阶导数二 nxn 1/y二 n(n -1)xn.y(n)二 n!例4 求y=sinx的n阶导数(p127)注意归纳规律解： y/ = cosx = si n(x 1-)2jiy二-sin xy/ /= -c o x = s i nX 3 2)(n).y 二 sin(x n ) = sin(x )2 2y =sinx练习P140四、作业 P98 1、2教

34、学后记:=sin(x 2 )2ji=sin( x 4 )2第五讲课 题：边际与弹性教学目的：理解边际与弹性的概念，掌握边际与弹性的计算教学重点：边际教学难点：弹性教学时数：2教学方法：讲授法、讲练结合教学设计：一、复习：导数与微分的概念，引出边际的概念一、边际概念(一) f(x)在点X。处的边际(1) 定义：若f(x) D(Xo),称f (Xo)为函数f (x)在Xo的边际.(2) 边际的经济意义：函数y = f (x)在x0处，当X增加一个单位时，y相应改变f (x0)个单位.事实上，当厶x=1时，y的改变y = f(X。厶x) - f(X。)： f(X。)：x = f (Xo).例1设供给

35、量Q二P2件，价格P = 8元，若价格上涨1元则2 2Q增加 Q =9 -8 =17 件，Q近似增加Q(8)=2PP出=16件说明：Q (8)与厶Q均表示价格上涨1元时，供给量Q约增加16件， 为研究简便，只讨论边际Q (8).f (X)关于X的边际函数：f(X).上例中Q (P) =2P，就是供给量Q关于价格P的边际函数(二)经济学中常见的边际函数1、边际成本(1) 边际成本：总成本函数的导数经济意义：生产了 Q单位产品时，再增加一个单位产品所增加的总成本(2) 边际平均成本：平均成本函数的导数 如：C(Q)=迴.QC(Q)；C(Q).I Q 丿Q2(3) 边际成本与固定成本无关证明：设总成

36、本 C(Q)二C。 Ci(Q),则 C(Q)=C Ci(Q)f = C；(Q),其中，Co为固定成本，Ci(Q)为可变成本2例2设总成本C(Q) =1100 卫(元), (1)生产Q =900件时,总成本 C(90() =1 1 001 775元)；1200C(900)1775平均成本 C (900)1.97(兀)900900(2)生产900件到1000件时，总成本的平均变化率为AQ Q =900C(1000) -C(900)1933 -1775100 100100= 1.58(元)(3) 生产900件的边际成本为c(Q)q 鉀Q600 q _9oo900600=.5(兀),当产量为900件时

37、,再增加(减少)1件,总成本需增加(减少)1.5元.2、边际收益 边际收益：总收益函数的导数 .如：R(Q).经济意义：销售了 Q单位产品时，再销售一个单位产品所增加的总收益 若价格 P 二 P(Q),则 R (Q) =QP(Q) = P(Q) QP(Q).例3 (选讲)设价格P(Q) =20 -Q(元)，销售量Q =15件时,5(1)总收益 R(Q) =QP(Q) =20Q -Q52 Q 520 15 上=255(元)；5平均收益R(q)罟叫55Q ：15Q22 Qt52边际收益 R(Q) =20Q =20 Q= 2015=14(元)；555当.Q =5时,收益的平均变化率为R R(15 5

38、)-R(15)320 -255-=13.Q55即当销售量从15件增加到20件时,每增加1件，总收益增加13元.3、边际利润(1)边际利润：总利润函数的导数.如:L (Q).经济意义：产量为Q时,再多生产一个单位产品所增加的总利润 L (Q)二 R (Q) -C (Q).当 R(Q) C(Q)时,L (Q)0 ；当 R(Q) : C (Q)时,L (Q) ：:0.说明：当产量为 Q ,再多生产一个单位产品所增加的收益大于（小于）所增加的成本时，总利润会 增加（减少）.2例4 设利润L（Q） =250Q -5Q （元）,则边际利润为L（Q） =250 -10Q , L（20） =250 -10 2

39、0 =50（元）,当产量为20吨,再增加1吨，利润会增加50元； L（25） =250 -10 25 =0（元）,当产量为25吨,再增加1吨，利润不变； L （35）=250 -10 35 -100（元）.当产量为35吨,再增加1吨,利润会减少100元:、弹性概念（一） y = f （x）在点X0处的弹性（1）两点间的弹性：y/ y ,也称为x0到X0 ： Lx两点间的平均相对变化率Ax/x0例5设供给量Q =P2（件），价格P从8元增加到10元，则Ap 108价格p增长歹=丁=25%, 供给量Q增长山=10 ；8 =56.25%Q 8显然Q/QP/P56.25%25%= 225表明:P每增长1% ,则Q增长2.25% .(2