专题二：平行四边形常用辅助线的作法排精选

1、专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1 四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360;(彳2)四边形的外角和等于360 .2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n边形的内角和等于(n-2)180 ;(2) 任意多边形的外角和等于 360 .3. 平行四边形的性质:性质 四边形ABCD是平行四边形 呻判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等;(3) 两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补.4、a左行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD

2、勺对角线AC的中点，四边形OCD是平行四边形求证：OE与AD互相平分.(2) 利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在 ABC中, E、F为AB上两点,说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形的性质有关， 可 试!通=过添加D辅助线构造平行四BC分别1为D, G.求证：ED+FG=AC.(3) 利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知 ADS ABC的中线，BE交说明：当图形中涉及到一组对边平AC于时E，交可通过作平行线AE造E另一证BF=AC.刘边平行，得到平行四边形解决问(4) 连结对角线，把平行四边形转化成两个全等二说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行

3、，且AE CF ,请你以F为一例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在牒形，A实上上是采用了平移请构以行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段， 猜想并证明它和图中已有的某一条线段 相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线BD 10，AB m，那么m的取值范围是（A、1 m 11 B 、2 m 22C、10 m 12 D 、5 m 6（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2

4、 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交B图2A占八、于P点，求证：AP AB、课堂练习:，若平行四边形ABCDE1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交 的面积为S，则图中面积为!s的三角形有（2A. 1 个 B . 2 个 C2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形.明你的CB2BBEAD=63、如图，AD, BC垂直相交于点 0, AB/ CD BC=8 贝U AB+CD勺长=4、已知等边三角形 ABC的边长为a，

5、P是厶ABC内一点，PD/ AB, PE/ BC PF / AC,点D、E、F 分别在 BC、AC AB上，猜想：PM PE+PF=猜想.图35、平行四边形ABCD中，E,G,F,H分别是四条边上的点，且AE CF , BC DH ,试说明：EF与GH相互平分.点，过&如图，平行四边形 ABCC的对角线A（和BD交于0, E、 任作一直线分证明：连结DB,DF ,设DB, AC交于点O四边形ABCD为平行四边形 AOOC, DO OB AE FC AOAE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形 BFDE例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE , DCBE,则有四边形C

6、DBE为平行别交AB CD于G、H.试说明：GF/ EH7、如图，已知AB AC , B是AD的中点，E是AB的中点.试说明：CD 2CEDHB A8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.试说明：S ABE 2 6梯形ABCD9、已知六边形 ABCDEF勺6个内角均为120，CD= 2cm, BO 8cm,RE求此六边形的周长.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DF AC,CH AB，垂足分别为 E、F、H,求证：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC 中，AB BC ;在 Rt ADE 中，AD DE ;连结 E（E11AB ,:R D C,取EC的中

7、点答案:例4、连结DM和BM .(1)(2)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图,求证：BM DM 且 BM DM ;如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明. 图连结BFBFDE在 ACE 中,AC12, CEBD10,AE 2AB 2m12 10 2m1210,即 22m22解得1 m 11故选A例6、证明：过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F AC2 AE2 CE2AB2 BE2 (BCBE)2AB2 BC2 2BE BC四边形,贝U AC2 BD2AB2 BC2

8、CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形 ABC DCF AB / CD 且 AB CD , AD BCAEB DFC 900ABE DCF二 BE CF2 2 2 2 2 2二 AC BD AB BC CD DA例7、证明：延长CF交BA的延长线于点KAB / CD 且 AB CD, CDAD , BADBCD0D 901K又tDDAK 900,DFAF CDF 也 KAFAKCDABT CE1-CD DF1AD CE DF2 ，2BCDD 90BCE也 CDF 1 2139023900 CPB900,贝U KPB 900T四边形ABCD为正方形 AP AB二、课

9、堂练习1、C 2 、平行 3、1045、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形 HEGF是平行四边 形，根据，厂平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分；.6分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得 GF/ EH7、分析：延长CE至F,使EF= CE连结AF、BF,得四边形AFBC是平行四边形，利用平 行四边形的性质证明 DB0A FBC即可。8、分析:过点E作M AB,交BC于N,交AD的延长线于M则四边咋形, ABE与四边形ABNM等底等高，所以 SABE= 丄 S

10、平行四边形ABNM 接下来说明 29、10、S梯形ABCD= S平行四边形ABNI即卩可。证明：过D点作DGL CH于G又 DEL AB于 E, CHL AB于 H四边形DGH为矩形 DE= GH EH/ DG/ B=Z GDC/ B=Z ACB/ GD&/ ACB又/ DG&/ DFC= 90CD = DC （公共边） CDG DCF（AAS DF= CG又 CH= CG+ GHCH= DF+ DG （等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同 性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构

11、成 三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理， 其常用方法有下列几种，举例简解如下：(1)连对角线或平移对角线：(2 )过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3) 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或 中位线(4) 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形(5 )过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E, F在对角线AC上，且AE CF ,请你 以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，

12、猜想并证明它和图中 已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结BFBF DE证明：连结DB,DF ,设DB, AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 AO OC, DO 0B AE FC二 AO AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形二BF DE第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC 12， BD 10，AB m，那么m的取值范围是()A1 m 11 B 2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE, DC BE,则有四边形CDBE为平行四

13、边形，在 ACE 中，AC 12, CE BD 10, AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2证明：过A,D分别作AE BC于点E，DF BC的延长线于点F AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC贝 U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD

14、且AB CD , AD BC ABC DCF/ AEB DFC 90 ABE DCF BE CF2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4:已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF 交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形AB / CD 且 AB CD, CDAD , BADBCDD 9001K又DDAK 900,DFAF CDF 也 KAFAKCDAB CE1丄 CD DFJ1AD CE DF22BCDD 900BCE也 CDF 1 2139023900 CPB90,贝U KPB 900APAB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长 AE与BC的延长线相交于 F，则有 AED s FEC , FAB s FEC , AED sFAB1BC , NE3第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6,在平行四边形ABCD中