专题二：平行四边形常用辅助线地作法

1、专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360;(2) 四边形的外角和等于360 .2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n边形的内角和等于(n-2)180 ;(2) 任意多边形的外角和等于 360 .3. 平行四边形的性质:性质四边形ABCD是平行四边形判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等;(3)两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补.4、平行四边形判定方法的选择已知条件选择的判定方法边一组对边相等方法,方法一组对边平行定义(方法D.方法角经对角相等对角线方法5、和平行四边形有关的辅助线作

2、法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCD是平行四边形E求证：OE与AD互相平分./ 飞说明：当已知条件中涉及到平行，且要求BC证的结论中和平行四边形的性质有关， 可 试通过添加辅助线构造平行四边形:例2、如图，在 ABC中，E、F为AB上两点,AE=BF ED/AC，FG/AC交 BC分别为 D, G.(2)利用两组对边平行构造平行四边形求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平 行时，可通过作平行线构造另一组 对边平行，得到平行四边形解决问(3) 利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知 ADS

3、ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行 四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE二CF ,请你以F为一 个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段， 猜想并证明它和图中已有的某一条线段 相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC =12,BD =10，AB=m，那么

4、m的取值范围是（）图2A、 1 ： m ： ： 11 B 、 2 m : 22C、 10 ： m ： 12 D 、 5 ： m ： 6（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2(7) 延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、于P点，求证：AP二AB、课堂练习:1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交于点F ,若平行四边形ABCD的面积为s，则图中面积为Is的三角形有(2A.

5、 1个 B . 2个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 四边形.3、如图，AD，BC垂直相交于点 O, AB / CD，贝U AB+CD的长=。BC=8，4、已知等边三角形 ABC的边长为a，P是厶ABC内一点，PD/ AB PE/ BC PF / AC,点DE、F分别在BC、AC AB上，猜想：PM PE+PF=并证明你的B DCK猜想.5、平行四边形ABCD中, E,G,F,H分别是四条边上的点，且 AE=CF,BC=DH ,试说明：EF与GH相互平分.6如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC和BD交于O, E、F分别为OB 0D的中点，过0 任作一直线分别交AB CD于G、H

6、.试说明：GF/ EH7、如图，已知AB C , B是AD的中点，E是AB的中点.8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.试说明:S . AbeS梯形 abcd2试说明：CD =2CE9、已知六边形 ABCDEF勺 6 个内角均为 120, CD= 2cm, BC= 8cm, AB= 8cm, AF=5cm 试求此六边形的周长.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE _ AB ,DF _AC,CH _ AB，垂足分别为 E、F、H,求证：DE DF =CH11、已知：在Rt ABC中，AB =BC ;在Rt ADE中，AD二DE ；连结EC，取EC的中点M，连

7、结DM和BM .(1) 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM =DM 且 BM _ DM ;(2) 如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么(1) 中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图图-答案： BF =DE例4、连结BF证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点0四边形ABC助平行四边形v AE 二 FC 四边形EBF场平行四边形例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得 四边形， AO =OC,DO =0B AO - AE = 0C - FC 即 OE 二 OF BF 二 DEDB =CE , DC = BE，贝

8、U有四边形CDBE为平行v在 ACE 中，AC =12, CE 二 BD =10 , AE 二 2AB 二 2m 12 -10 : 2m : 12 10，即 2 : 2m ： 22 解得 1 ： m 11故选 A例6、证明：过A,D分别作AE _ BC于点E , DF _ BC的延长线于点F AC2 =AE2 CE2 =AB2 - BE2 (BC - BE)2 =AB2 BC2 - 2BE BCBD2 =DF2 BF (CD2 -CF2) (BC CF)2 二CD2 BC2 2BC CF贝U AC2 BD2 二 AB2 BC2 CD 2 DA2 2BC CF _ 2BC BE四边形ABCD为平

9、行四边形二AB / CD且AB =CD , AD = BC . ABC =/DCF：AEB ZDFC =90.lABE 三 DCF. BE = CF AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB / CD 且 AB 二 CD , CD 二 AD , . BAD 二/ BCD =/D =90 ：C D F K A F CE =DF . 1 2 乙 1 ZK又： D = DAK =90, DF = AF1 1 AK =CD =AB/ CE =CD DF =丄 AD2， 2ZBCD=90 ：B C E C D F . 2 3 =

10、90。 CPB =900,贝U KPB =900 AP =AB二、课堂练习1、C 2 、平行3、1045、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形 HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到6、分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形 EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得 GF / EH .7、分析：延长CE至F,使EF = CE,连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明 DBCFBC即可8、分析：过点E作MN / AB,交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是

11、平行四边形，平行四边形ABNM，接下来说明 ABE与四边形ABNM等底等高，所以Smbe =丄S2S梯形ABCD= S平行四边形ABNM 即可。9、延长BA. EF,交点记ftG；延KBC. ED,交点记作H同理._4一7巳46讥Hi AFGA与ACDH都是正 三帝形.-GWCD=DH-CH=2t H=60.B+ H=18ft&r 二 EH/g 汁 一AGE7/BH. 因优*四劝形GBHEg平行四讷形. GB；A+AB=5+S=i3f BH=B-K ； ZDAEtZDEAO0/. ZACE+ ZCAD+ ZCEDO0/ 2CAD=45s -ZBAD ZDEM= ZNCMi ZBCM+ ZBCN

12、= ZCED. ZACE+45 一 ZBMH ZBCM+ ZBCN=9O,丈必銃斟区反給护T -A輕11施丄/家+：ZBWb/. ZBAD=ZBGN y X AB=CB fAD=CN /. AABD&GBR /.bp=bb ZABDZCBN* L p 4 f I, I 111 b| 丄广 1 ,. , 4 * 4 J- I, * III-* - * SJ I *、 1 I *+ ZDBC+ZCBN=ZDBC+ZABDf=90p / 丈卧酗 D1=MN/. EM匸DM 且 EM丄Did；平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同 性质，

13、所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三 角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常 用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2 ）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或 中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5 ）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE二CF，请你

14、 以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中 已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 BF（2） BF 二 DE证明：连结DB,DF，设DB,AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 A0 二 OC, DO 二 OB AE =FC二 AO-AE=OC-FC 即 OE =0F 四边形EBFD为平行四边形二BF =DE图1图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0 ,如果AC =12,BD =10 , AB二m，那么m的取值范围是（）A1 ： m ： 11B 2 : m . 22C10 ：

15、 m 12D 5 ： m ： 6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB二CE , DC二BE，则有四边形CDBE为平行四 边形，：在：ACE 中,AC =12 ,CE =BD =10 , AE =2AB =2m 12 -10 ：:2m ：:12 10，即 2： 2m： 22 解得 1：m1故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2证明：过A,D分别作AE _ BC于点E，DF _ BC的延长线于点F AC2 二 AE2 CE2 二 AB2 - BE2 (

16、BC - BE)2 二 AB2 BC2 - 2BE BCBD2 =DF2 BF (CD2 -CF2) (BC CF)2 二CD2 BC2 2BC CF贝 U AC2 BD2 二 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形二AB / CD且AB二CD , AD二BC . ABC 二.DCFI . AEB = DFC =90 BE 二 CFABE 三.：DCF2 2 2 2 2 2 AC BD =AB BC CD DAFFA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形例4：已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE

17、与CF 交于P点，求证：AP =AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB / CD 且 AB =CD , CD 二 AD , . BAD BCD D =90。 ：C D F3K A F CE =DF 1 =/K又I /D DAK =900, DF 二 AF1 1 AK =CD =AB/ CE =丄CD DF =丄 AD2 2V . BCD D =90V . 1 . 3 = 90 . 2 . 3 = 90 . CPB 二 90,贝,KPB 二 90 AP =AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F ，则有：AED: FEC FABFEC，丄AED: FABFD第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6,