不定积分与定积分46833资料

1、第三次课不定积分与定积分一、知识点总结1、不定积分的概念和性质（1）不定积分的概念不宦枳分的（念.苦噸数只刃 为连KStt. fi F.r）二F（t 斗（:具中C为任意常数.（2）基本公式熟练掌握（1）创才kx+C（k为常数）*（5 = arcsinj： 1 C；、1 一（7） sinrrdx = cosj- + C；vr i.（9）. v coltC；J sin jtf 11 I cscxco secrtan,rd.r *iee.r + （12 jerd. =e+Ci2、不定积分的计算方法（1）直接法由杰定积分的壇本件质*垄本公或进行一些简牡的切等疣形后町以自悽计 算嗟比较简单的函数的不疋枳

2、分+这斡积分方法称为克接积分迭，（2）第一换元积分法（凑元法）设J/5、血-F（） + C,且畀n祇丹背连续导数，则| ./)；fW )dc* tA drjI /(Im ) /(lnjdln.i ：Ja.!也=2(/(zr)d77；丿吕i/( injr)dsinxi/ (cotij )$in.rdHr = | J (cost Jdeos.r ；I (tan_r sech .rdx = :| f ( lfitl.r)dtan.r；(10)/ ( coct )csc xd.r/ (coir Jdcoi.r:(11)(12)(吕艮ingjilF = jy(arcsin_r) darcsirLt； v

3、 1 -门咚Lr =( arctanjr )darctan_r (3)第二换元积分法设srU) IHf连纯的导浙数JI反崗数仔北口 W廿知果 八2连续II/ T护f )卩仃)df F(x)足 /(t)的原函数，则I f (-r)dr = F(je) I： = F() F(c,V- 楚积分/(刃飪的儿何意久去示由曲线段=/Cr).x轴以及垂直干工轴的两克线 d才u 4和才=/,四者所围戒的优数血积.2. 分部枳分法：若两敎八疋)和烈工】在闭!工间a.M I连续并有连续导数fQ)和 g&h 则J /t-r)gjr)d_r = /(x)g(j) K J /Hz)耳Odj t换法抚诵数爪小花闭恢间O

4、加内违恳俩敕啊门及其卑数/盒用区间/*内连绩其屮门=別”)丄冃啊目)：宣合函数f(t)程闭区间S审内有定义并连续则P/(_rdx =八緘。九J =例2、tan* jO*Cx,) * 训 /(x) =分析 变换打边为4八应乎(1八再枳分之.解 山于/(sinx) = L 2sini-x+ . S,1 sur j令f(G = 1曲+厂=一九计I 一 r1 u所以 ftr) = J( 2+ 1 jd. -jc2 ln 1 x) +C(O V ( 1 十 incosj ) * = cts r -s-irv x = co2；r 原式-cH 士 Mimcos-Z) J 1 + iiiturcosx ln(

5、 l + si n.rco3r ) + Udj-(1 h1十齐inj-coyd+ 2工 + 5CO原式=arctaiiI 云dgruYJ r Hr I nin , X7tAnjr(4 ) ： ( O.r 十 sin_r ) * ccjm-t 玉in.F g-vf d(cow_r -b sinj-) _ L亠丄、 丄严 : -:衍代换科用三侑代换叫将抿式根分更为三甬右理式积分.被秧叭恢门初含根忒所柞代換三用晟jfi图上X被机圍散“工）含摧武所作代揍jr=cJitan/XJ-1f/广r护Jxusecr/jr-a1例2、求下列定积分解（1）V被稅臥数中含有/E, 二应作变换 x=simMl drco

6、r4r. F是 原式=f呷窖节击=_ （奔叱（sin f * 1 JcosjfEcos tuot)d(c仃舁)costs2 72 丁披段函數中會有J (TP；应作4ft z-unz.W于娃呻、jt = ； C2ldl = f S-T (It wv -1 M !4门J Sl-l tJ CO IJ co n (osf + I- f:_ + * + C*J CDS I fOAl*/匚i工(A)令 j, 3ect I 则 dj 3sect * tarudi.于是 3sect * tan/d/ =吗Fsec/tusi)山In I aec/ +ran? | Mnf 1 (-+Cin 匕十_m+u4)令,r

7、 sin；t则 d_r = cos/dr.于是甘 _ f cosH co囂F J舟1 + co时J (1 + cos/) t j cos?)原式=cus/J sin/sirV /-4 + coi/ + F + C + 7一 工 + arcsin才 + (3. 利用分部枳分法求不屯积分求冶口）出2记丄例1、蹄 ftpA I esinj1 ey sirir e* sirud.r一 din_r - dcojr七 sinr e cos.r 11 ercQj%j dj* eJ ( siiLj-十 cos t ) *| cosrdj = -e-r (sin_r -递推公式不定积分申運眦公式的掷导越用分部职

8、分法求解.臥二75赵2 +/L + =vz /( i H J )）亠fn丁 一 fQ）八巧虹習T = e7nr+c、/ji 石)(3) |.)/，(2x)ck =d.八 2_r) J ( 2jt)二 +寸(22 -+J“2刃d(2_rh于绘八？工=肚冷加一切“VT为丹的原哦数,4r3=Ngs2z-血加沁&丈8工题型四、分-還由数的不疋籲力 （D先分别求出间段的不宦积分表达式； 2）由原蘭数的连续性确宜岀各积分常数的Jt象.设+ 1Hd0当时/(+时+当令20丄2+4JT6Ir题型五、利用定积分定义求极限例1、题型六壬帜：-隕勇喲强为换 第齐尼跌处式转冋齣题型七、：瞑吩禺计再oW益1 求由干愎函

9、数的连续性分别等虑在工=山工1处的左.右极限可知.有由于鞍.壽住区间叩叶连如皿町亦和采跆殊的分于楚reshwd/L十H + Glim + ?i )= lini (4厂十Z-1),即 G=G*lim (寺；r卜才+ 口 )= lim 2+G即y+ Ca _ l+C,解原式=l.m丄IF -I Tt注相取法、将0. J分成刃等分则斗.=+取务小区何的右端点为E(l_r = a resin 芝2cos/) dt1,分段圉敷的龜积分例1、k.t 设 /(Jj =c T0 E 电*求旅=当 0 .r 4 时m =ktdt0当F 1时*（才）=|=综上所述可知J-)/(Odf =Hi求定积分2、9fkrJpf)dr.句ck十ftniaxfj * 5b ,秋积函数帝有绝时值符于的积分1、求定枳分J ,Jwz co”上Lr的值I京积分=/ cosjtd co1 z)dr =_ jR4rxcosjsin rd./sinjI * Vens.? d 2 | sin.rVcos.1 dr_ncos3 jiicos；r = eosTtI：时称区同上的俟分例21（1）设丿（小在（一上连续，目对任何心有八丈十刃只工（2）计算积分J =rx * smr解(I)对尸这种被积函数含有抽象因子的枳分通常是利用奇或偶)负数 积分的“持性”处理以下证明/刃为奇隕数.令 y=0则由 /(x+y) = /(x)-r/(