椭圆综合测试题含答案

1、椭圆测试题、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、离心率为2，长轴长为36的椭圆的标准方程是（(Axy1(B)xy_1或95952222(C)xy1(D)xy1或362036202、动点P到两个定点F1 (- 4 , 0)、F2(4,0)的.A.椭圆B.线段f1f2C.直线F1 F2222220D.2y- 192红136.和为8，则P点的轨迹为（不能确定3、已知椭圆的标准方程2y 彳x1,10(0,.)则椭圆的焦点坐标为（A.（阿0） B.2 24、已知椭圆y59321表示焦点在a）B. 2, 1C. (0, 3) D.(3,0)A.5、如果A.2、52x -2 a(2,1上一

2、点P到椭圆的一焦点的距离为B.2C.3D.6x轴上的椭圆，则实数则P到另一焦点的距离是（的取值范围为（6、关于曲线的对称性的论述正确的是A.方程2 xxyB.方程3x3yC.方程2 xxyD.方程3 x3y22方程y2ka2kb7、A.有相同的离心率x2已知椭圆C : 2aA、B两点若(A) 12,C.,1) (2,)D.任意实数R）2y 0的曲线关于X轴对称0的曲线关于Y轴对称2y 10的曲线关于原点对称8的曲线关于原点对称(a b 0,k 0且k工1)与方程2y1 （ab0）表示的椭圆（bB.有共同的焦点2xaC.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.2yuEuAF1(ab0)的离心率为UL

3、U3FB，则 k ()(B)2丄3，过右焦点F且斜率为k（k 0）的直线与C相交于2（C）3(D) 2A.-5B.35C.2D.51510、若点0和点F分别为椭圆2 xy21的中心和左焦点，占八、P为椭圆上的任意点，则43值为（）A. 2B.3C.6D.89、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）uuu uuuOPgFP的最大2 2x y11、椭圆- r 1 a b 0的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为 A 在椭圆上存在点 P满足线段a bAP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（）2ii（A） （0,（B） （0, -（C 1 , 1）（D , 1

4、）22212 若直线y x b与曲线y 3 4x x2有公共点，则b的取值范围是（）A. 1 2、, 2,1 2、-2B. 1、2,3C.-1, 1 2、2D. 1 厶 2 ,3二、填空题：（本大题共5小题，共20分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2 2x y14椭圆 L 1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝U Rt PFF2的面积为492415 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF 2FD，贝U C的离心率为.x216 已知椭圆c:2值范围为21的两焦点为F1,F2，点P（Xo,y

5、。）满足0 虫 y2 1 ,则IPF1I+PF2I的取2三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2x17. （10分）已知点 M在椭圆 2521上, MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为9P,并且M为线段P P的中点，求P点的轨迹方程2 218.(12 分)椭圆L 1(045 mm 45）的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率 e过中心0作直线与椭圆交于 A, B两点，O为原点，若VABF2的面积是20,求：（1） m的值（2）直线AB的方程32 2X y19 (12分)设Fi, F2分别为椭圆2 1 (a b 0)的左、右焦点，过 F2的直线l与椭圆C

6、相交 a b于A, B两点，直线I的倾斜角为60, F1到直线l的距离为2、3.(I)求椭圆C的焦距；ujununn2 220 (12分)设椭圆C:笃卑a2 b2(n)如果 AF2 2F2B,求椭圆C的方程.1(a b 0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆 C相交于A, B两点,umruuu直线I的倾斜角为60, AF 2FB .(I) 求椭圆C的离心率；15(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.41的斜率之积等于 .3(I )求动点P的轨迹方程;(n)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由

7、。2 2xy22 （12分）已知椭圆2a b1 (ab0)的离心率e=3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的2面积为4.(I)求椭圆的方程；(n)设直线I与椭圆相交于不同的两点 A B,已知点A的坐标为(-a, 0)(i )若| AB|= *，求直线I的倾斜角；5(ii )若点Q( 0, yj在线段AB的垂直平分线上，且 QA?QB 4 求y0的值.椭圆参考答案1.选择题:题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义【解析】设直线I为椭圆的有准线，e为离心率，过 A, B分别作AA, BB垂直于I , A , B为垂足，过B作BE垂

8、直于AA与E，由第二定义得，亡己，由，得 亡9籬：设*:轴为加，瘪轴为2务 儼审为玄丫则曲+14 = 29即 a + c = 4(aT .亡)整理得：fc1 + lac - 3a= = 05p5c:+lc-3=0o= -或匚二-1 磐儿 选 B10【解析】由题意，F（-1， 0），设点P（x0, y0），则有2Xo42Yq3,解得 y。23(1?2uunuuuuuu因为FP(Xq 1,y。），OP（by。），所以OPuuu uur=OP FPXq(Xq1)3(12 2X。、Xq)-Xo3 ,uuuFPXo(Xo 1)2y。此二次函数对应的抛物线的对称轴为Xo2，因为Xo2，所以当Xouuu2

9、时，OPuuuFP取得最大值二 2 36，选Co422【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值 等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F ,即F点到P点与A点的距离相等2 a 而 1 FA =cb2 cc| PF| a c, a+ ch厶于是 一 a c, a+ c c222即 ac c w b w ac+ c2 2 2ac ca c2 2 2a cac c又 e (0,1)故 e l,i2答案：D12 （2010湖北文数）9.若直线yx b与曲

10、线y 3 4x x2有公共点，则b的取值范围是A. 12、2,12 , 2B. 12 ,3C.-1, 1 2 2D. 1 2 2 ,3【解析】曲统方樫可化閒対2）00-幼%!分開表示團小为0 3）半径垢:的半國依据数形结合，当直绽厂“仃与此半伯切时须満足翳3）到直线t=a-3距篱等干，解得L+2羽应1-加5,因対是F半XI十2迈（舍）当直线过（U，舗时解得 y故1-2忑勺三3,所UAD正确存、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2 2X y14椭圆 1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝URt PFF2

11、的面积为492415 （2010全国卷1文数）（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交Cuiruur于点D ,且BF 2FD，则C的离心率为【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如图，|BF| 作DD1uury轴于点D,则由BFuir2FD，得|OF |DDi |罰 3, 所以1 DD13| 2|OF|3-c,23c即Xd,由椭圆的第二定义得2|FD|孚）3c2aa又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a

12、3c22X【解析2】设椭圆方程为第一标准形式飞a2 y_ b2X2,y2,F分BD所成的比为2 ,Xc0 2x2X2332xc 2c； ycb 2y2y23yc b23 0b294 a24 b216 （2010湖北文数）15.已知椭圆2Xc: 一21的两焦点为F1,F2，点P（xo,y。）满足02X02y。I PF1|+PF21的取值范围为【答案】2,2 2 ,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得，当P在原点处时（| PF1 | PF2 |)max当P在椭圆顶点处时，取到（|PF1| PF2 |) max 为(2 1)(.21） =2，故范围为2,2 2 .因为(X0,

13、y0)在椭圆21的内部，则直线X X02 yy。 1上的点（X, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为二.填空题:1331452415,0三.解答题:x xoy 2 yo17.解：设p点的坐标为p(x,y), m点的坐标为(x0,y0)，由题意可知Xo x2 2y y 因为点m在椭圆-y 1上，所以有yo 22592 2xo yo 1259把代入得2x25236 1，所以P点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为2 21的椭圆2536，a .453 乜，得 c 5，3c18.解：(1)由已知e -a所以 m b2 a2 c245 2520(2)根据题意 S/abif S/f)f2b

14、20 设 B(x, y)，则 SvF1F2b fgFly，丨 F1F2 2c 1O，所2 2以y 4，把y 4代入椭圆的方程45盘1，得x 3，所以B点的坐标为(3 4)，所以直线44AB的方程为y x或y x3319( 2O1O辽宁文数)(2O)(本小题满分12分)2 2设F1，F2分别为椭圆C :仔 1 (a b O)的左、右焦点，过F2的直线I与椭圆C相交于A, Ba b两点，直线I的倾斜角为6Oo，F1到直线I的距离为2.3.(I)求椭圆C的焦距；ujununn(n)如果 af2 2F2B,求椭圆C的方程.解：(I)设焦距为2c,由已知可得F1到直线I的距离.3c 2=3,故c 2.所

15、以椭圆C的焦距为4.(n)设 A(X1,yJ B(X2,y2),由题意知 O, y? O,直线 I 的方程为 y -,3(x 2).y 爲x 2), 联立 x2 y2得(3a2 b2)y2 4、-3b2y 3b4 O. 1a b解得y1、3b2(2 2a)T-2 2，y23a b,3b2(22a)223a buiuur因为AF2uur2F2B,所以 y12y2.即 32(2c 2. 23a2a) b,3b2(2 2a)2 _3a2b22得 a 3.而 ab24,所以 b 、5.故椭圆C的方程为2y- 1.520 (2010辽宁理数)(20)(本小题满分12 分)设椭圆C:2y21(a b 0)

16、的左焦点为F,过点F的直线与椭圆 C相交于A, B两点，直线Ib的倾斜角为60,uuurAFuuu2FB .(III)(IV)求椭圆C的离心率；15如果|AB|=，求椭圆C的方程.解:设 A(x1,y1), B(x2,y2)，由题意知 yi 0.(1)直线I的方程为 y.3(x c)，其中 ca2b2.联立y2x2a.3( x c),y2 得(3a21b21b2)y22.3b2cy 3b4解得y13b2(c 2a)3a2b2,y2.3b2(c 2a)3a2b2因为uuurAFuuu2FB ,所以y12 y2 .即-3b2(c 2a)2, 23a b2?，3b2(c 2a)2, 23a b得离心

17、率e -a23.(n)因为 ABy %，所以2 3ab23 3a2 b2154由c22得ba5.所以-a15，得 a=3, b6a334422椭圆C的方程为Xy 1.12分9521 (2o1o北京理数)(19)(本小题共14分)0对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之积在平面直角坐标糸 x(Oy中，点B与点A (-1,1 )关于原点1等于丄3(I )求动点P的轨迹方程；(II )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。(I )解：因为点B与A( 1,1)关于原点0对称，所以点B得坐标为(1

18、, 1).设点P的坐标为(x, y)由题意得山x 1 x 1化简得x2 3y2 4( x1).故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)(II )解法一：设点P的坐标为(xo, yo)，点M , N得坐标分别为(3, yM), (3, yN).则直线AP的方程为yoXo11(x 1)，直线BP的方程为y1(x 1)1Xo令x 3得yM 如一XoXoyN2yo xo 3xo 1于是VPMN得面积S/PMN| yM1(3Xo)2|x。y|(3 Xo)|Xo21|又直线AB的方程为x|AB|2.2，点P到直线AB的距离| Xoyo|于是VPAB的面积Svpab 1|AB |gd |X0y。I当 SVP

19、ABSVPMN 时,得 I x。yo |2| xy0 | (3 怡)|x02 1|4.5又 I x。yo | 0 ,所以（32 2x0) =|X1|，解得|X。因为X23y024,所以yo.339故存在点5P使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点 P的坐标为（，3解法二：若存在点 P使得VPAB与VPMN的面积相等，设点 P的坐标为（x0,y0）则 1|PA|g|PB|sin APB 二 |PM|gPN|sin MPN .因为2sin APB sin MPN ,所以|PA|PM |PN |PB|所以|x 1| |3 x|3 x|x 1|2即(3 x)2| X1|，解得Xo2因为x0 3y20

20、4，所以y莎v).5故存在点PS使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点 P的坐标为（二322（ 2010天津文数）（21）（本小题满分14 分）223已知椭圆 务 笃 1 （ ab0）的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为a2b22（I）求椭圆的方程；（H）设直线I与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点A的坐标为（-a, 0）.4暑（i ）若| AB|=，求直线l的倾斜角;uuur uuu（ii ）若点（0, y）在线段AB的垂直平分线上，且 QAgQB=4 .求y的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与 运算能力满分14分.（I）解：由