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文档简介
1、主要内容4. 1 Bang-Bang 控制4.2线性时不变系统的时间最优控制问题4.3时间最优控制系统的综合4.4燃料最优控制问题4.5时间燃料最优控制问题4.1Bang-Bang 控制问题4.1(时间最优控制问题)已知系统的状态方程I%(/) =+ BX(ttU(t) (4)审Mx(o,F是对X(0和F连续可微的77维向最函数;X(F), t 是对X(r)和F连续可微的维的矩阵两数.要求确定满足下列 不等式|wy(/)| 1 丿=1,2,,加(4.1.2)约束的加维容许控制向量,使系统(4.1.1)从给定的初态X(G = X(j(4.1.3)到达满足约束条件(I)X(r/),r/ = 0(4
2、.1.4)的某一终态X0),其中滤可变的,是对X(r)和连续可微的厂 维向量函数。并使性能指标达到最小值。(4.1.5)J = J f dt = tf -t0J /fl解:(1)应用最小值原理来求解。写出该问题的哈密顿函数= 1 + 才/认(4+ /凤 x (/)(/)-(2)规范方程及边界条件分别为X(t)=翌=/%(/),r +CAdXdX(t)办=_cH_= dflXjqt dBX(ttU(t)r ax(/)X Go) = X。0X(rz),rz = O小知寥 I =0di(r),/(;*(/)佩馭+ )小如+心加如)日亠.着重分析下式:min AT(t)BXt)jU(t)丿= 1.2,
3、加 |山归(4.6)为i寸论方便起见,定义加维行向量q(t) = AT(r)BX(tt其分量qJ(t) = AT(t)h)X(t)9t, j = 12 ,m其中0X(/), /是矩阵/的第/个列向量,即则m%”(/)=久a)xa),/R/a)=q(t)u(t)=工幻(。(“ J=1于是2r(r)BX*(r),d*(0= min A1J = 1,2,,加祐(呻|可转化为如下条件min y/U(t)= mn Y ()竹()不定,若幻JJ亠*o“:a)= sgn%a) = sgn (r)巧X(JJ = 1,2,” f wgffl由上式可知, %(何,则吋有定义。 g“) = o,咲河取满足约束条件/
4、.(r)jl的任何值,“/)不定。定义4.1 若在区间心巾内,存在一时间可躺TS,切,,仏 w%心,P = 1,2,;) = 1,2,,加 使得对所有的/=1, 2,,加,有,0,当且仅当心如非零,当“则称该时间量优问题電正郴O在正常的时间最优问题中,函数幻只是在有限个孤 立的时刻取零值、相应的最优控制分量矿仅在这些时刻发生 跳变。I是具有第一类间断点的 分U 胡山函数。8Uj(t) = -sgn(z(/)图41定义4.2若在区间心 巾内,至少存在一个区间M,r2l Gr(), 使得对所肴的/丘八,4】有qJ(t) = A, (r)巧X(f),f =(), j = 1,2,m则称该时/礙优问碑
5、站的而区间儿,t?称为奇亓区间。町 厂上| q j命异区间心?11J_只要有一个函数j= ,2, . /?)在某一段(或几段)时 ft:间IGer0,引上取零值,则称该时间最优问题是奇异的,在区间儿,r2h,切等于零。此时,由关系式幻()=一 sgnq/(F), J = 1,2.m无法确定最优控制各分量约P)之值。2.奇异情况的出现,既不意味着时间最优控制不存在,也不意 味着时间最优控制无法定义,它仅仅表明,由控制方程不能 推岀最优控制fT(r)与片、兄和了的确切关系.定理4.1 Bang-Bang控制原理(正常的时间最优控制问题) 设是问题4的时间最优控制,X0)和2是相应的状 脊和协态。若
6、问题是正常的,则时间最优控制旷的各个 旱吋(戶1,2,,川)可以按照下列关系确定(0 = -sgn (/) = -sgn (r)/?y | X (r), f 1丿=1,2,,加 则时间最优控制的并个分量矿都是时间的分段常值函数, 并在开关时间伽上发生吋(/)由一个恒值到另一个恒值的跳变。*上式还可以写成向量的形式= -sgnr(r) = -sgn 2r(r)BX(0,zr = -sgn ”X(/),/(/) 就剑:定理4.1表明,一个正常的时间最优控制问题,其最优 控制的每个分量竹p)均在自己的两个边界值之间來冋转换, 满足幻=0的诸点恰好是转换点。这是一种继电型控制, 通常称为Bang-Ba
7、ngjS制或开关控制。12控制向量受限时,非线性系统的时间最优控制问题控制向量受限时,非线性系统的综合最优控制问题线性时不变系统的时间最优控制问题问题42(时间最优控制问题)已知线性时不变系纟允的状态方程X(t) =+(4.2)式屮X(f)是”维状态向显,U是力维控制向呈,A是心维 矩阵,是朋加维常数矩阵。设系统(4.2.1)是】1、* 的。要求确定满足下列不等式nz(r)| 0时,u*=.l1kfX x, 、“.、一 _T T = x(t) = (xQ + k)e T -kx(0) = x0当=Tln(l+半)时,入)=0,即状态垃)能冋到状态空间 原点(2)当初始状态x(0)=x00,c2
8、=0fiT*1 I33Cl=0心,C20双积分系统几种可能的最短时间控制曲线该问题的时间最优控制存在且唯一,最优控制只可能取并且最多切换一次。 豈时,状态方程为= dx = xdx.1 、n = X, + c1 2 2相轨迹为一簇抛物线。其箭头代表状态运动的方向。在这簇抛物线中,只有也线q = (X|,X2) : xl = x2 x2 0)能到达坐标原点。将匚和厂合并为一条曲线,记为C该曲线方程为 r=/;Uc = (x,x2):x, =-x2x2 且垓曲线是系统由任一初态x(0)转移到原点的必 以o若令 F(x2) = -|x2|x2和 Mx1.x2) = xi-(-|x2|x2) = x1
9、-F(x2) hxv x2)称为开关函数。 乙又可表示为切换曲线方程:r = /;Ur_ =(X|,X2):X| =x2x2r:/j(xl,x2) = x1 - F(x2) = 0R切换曲线/将状态平面心一心划为四部分:/*+;J切换曲线厂以上的平面,记为 切换曲线厂以下半平面,记为/?+;R =(XI,X2):/7(XI,X2)OR/?+ =(x,x2):/?(x1,x2)0-sgnx2(r)9 A(xpx2) = O+ 1,/2(XpJf2)0I-sgnx2(/)J,/z(%px2) =0H克,所综合的时间最优控制系统的方框图如下图所示。 圍中虚线部分为所设计的时间最优控制器。厂求解也即J
10、:在最短时间控制函数涉作用下系统的性能指标4=(取最小,这时的最小转移时间与X2O) 1在相平面的位置有关。(1)(x10, x20)处于 上时,u=+l,则状态方程的解为兀2(1) = / + %20t = t且兀2(,/)=。解得丄(2)(x10, x20)处于上时,十则状态方程的解为x2(r) = -r + x20令 t t f-且 x2 (tf ) = 0吃0 解得u=-l(3)(x10,x20)处于 R_ 上时,u*= -1, 1, E为切换点,将其分为两段:u=-l,状态方程的解伏Z1 =2O +U = l,状态方程的解为/; =/1+r2=x20 + 2(4)(Xo,x20)处于
11、 R+上时,u*= 0)的情况$(s + a)G($)=U(s) ssa)y + ay = ux y ? x2= y佔=兀2x2 ax2 + u47求解思路(同上例) 1、获取吋间最优控制的相关信息-判断时间最优控制是否存在-判断时间最优控制问题是否正常-判断吋间最优控制是否唯一-判断切换次数 2、写出可能的最优控制律 3、具体分析求解思路(同上例) 3、具体分析*1)当“1吋,写出状态方程,画出相平血轨线 (可得到一簇轨线,为什么?),从中找到使得 x(tf)=O的轨线仃;(2) 当时,写出状态方程,画出相平面轨线, 从中找到使得x(tf)=O的轨线匚;(3) 合并,得r = r Ur ,写出开关函数h(x),切 换曲线厂将状态平面x,-x2划为四部分:厂+: r_; 切换曲线厂以上的平面h(x) X),记为切换曲线 r以下半平面h(x) ):
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