最新有限元试题总结

1、精品文档、 简答题 ( 40 分，每小题 5 分)1、分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度及其相对应的节点力列阵？(1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度， 即每个结点有三个位移分量：挠度 w, 绕 x、y轴转角挠度 w绕 x 轴转角 x ，即结点 i 的位移 绕 y 轴转角 yM yi竖向力 绕 x 轴力偶(上节中的 绕 y 轴力偶(上节中的同理 , 相应的结点力(2)平面应力膜单元每个节点两自由度， ui,vi T ,对应节点力 fxi , fyib2、欲求解在 ay by cx R 约束下的泛函 I F(x; y, y)dx 极值，新泛函应 a如何构造？b答： I*

2、 F(x;y,y ) (ay by cx R)dxab3、欲求解在 R P x,y dx Q x,y dy 约束下的泛函 I F(x; y,y )dx 极 a值，新泛函应如何构造？b答： I* F(x;y,y ) P x,y Q x,y y Rdxab4、满足 f g gf ds L条件下的泛函 I F(x; y, y ) dx极值求解应如何构a造新泛函？b答： I* F(x;y,y) ( f g g f) 1 (y)2dxa5、写出直梁弯曲问题的势能原理表达式，并说明真解的充分必要条件？ 答： 一变剖面梁，一端 x 0 固支，另一端 x l 简支。承受轴向拉力 N，分布横向 精品文档精品文档

3、q(x)载荷 q x 以及端点弯矩 M l 的作用。 (3) 系统总势能 ：充要条件：在所有变形可能的挠度中使系统的总势能取最小值的扰度为真解。6、写出用一维 Hermit 型基函数(形状函数) 构造未知位移场函数的表达式， 并说明用其分段插值的场函数连续性性质？答： w wiH 10iH11wj H02j H12NTUeH 01( )1 3 2 2 3 ，H11()22 3H 02( )3 2 2 3 ，H12()23在单元内的场函数连续性要高(单元内二阶导连续) ，而在单元间的节点上，要低一阶(一阶导连续，二阶导存在) 。P397、Hermit 型分段插值基函数(形状函数)的基本性质有哪些

4、？并说明用该 基函数插值获得的场函数连续性性质如何？答：四个形状函数为三次函数；其中， H01( )， H02( ) 一节导函数值在两端点 都为 0；H 01( )函数值在左节点为 1，右节点为 0； H02( )相反；所以这两个形 状函数对 w 的节点值有影响，而不影响 w 一阶导在端点的值；H11( ) ，H12( )在两节点的值均为 0；H11( )一阶导函数值在左节点为 1，在右 节点为 0， H12( ) 相反；说明这两个形状函数对 w 的节点导数值有影响，而 不影响 w 在端点的值。在单元内的场函数连续性要高 (单元内二阶导连续) ，而在单元间的节点上， 要低一 阶(一阶导连续，二

5、阶导存在) 。8、叙述一个平衡弹性结构体的势(位)能驻值原理？最小势能原理与驻值 原理有什么关系？答：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为 驻值(可能极大、 极小或者始终保持不变) 。由此得到的驻值条件等价于平衡 条件。但是，其平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种，要判别平衡 状态究竟属于哪一种，还必须进一步考察总势能的二阶变分情况。最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。精品文档精品文档9、通过势能泛函近似得到的有限元数值解是什么性质？常规协调单元的收 敛性规律如何（可用曲线描述）？答：按照最小势能原理求解时，必须首先假定单元位移函数，这些位移函数

6、是连续的，但却是近似的。 从物体中取出一个单元， 作为连续介质的一部分， 本来具有无限个自由度，在采用位移函数之后，只有以节点位移表示的有限 个自由度， 这相当于位移函数对单元变形能力有所限制， 使得单元刚度增加， 物体的整体刚度也增加了，因而计算的位移近似解小于精确解。当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸 固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。10、由最小位能原理获得的有限元解收敛性具有什么特征 （可用曲线说明）？ 答： 当网格逐渐加密时， 有限元解答的序列收敛到精确解； 或者当单元尺寸 固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于

7、精确解。以一 平板任意方向变形为例，如图所示：位移精确解可能是一复杂的非显式曲线，有限元离散后，单元内的变形是节 点位移的线性插值函数，这样得到的计算解曲线以折线逼近精确解。如果采 用二次曲线逼近，则计算精度与计算效率可大大提高，二次曲线即有限元中 的高次单元。同样，当有限元网格无限密化时，计算解将无限逼近精确解。 考虑计算过程中的数值计算误差 （例如： 截断误差），限制了有限元网格的过 分密化。11、写出一般线弹性体的基本控制方程？边值条件有哪些？ 答：平衡方程： ij, j fi 0 （在弹性体 内）几何方程： ij 1（ui,j uj,i ）2精品文档精品文档物理方程： ij Dijkl

8、 kl （在弹性体 内）边界条件： a.位移边界条件 ui ui （在位移边界 u 上）；b.应力边界条件 ij nj Ti 0 （在应力边界 上）；c.混合边界条件12、等参元的数值积分最高精度 2n-1，指的是什么？若积分点偏少可能发生什么情况？答：指的是 n 个积分点的高斯积分可达 2n-1 阶的精度； 高斯积分计算刚度矩 g阵时： K ehi B T D B Ji1当高斯积分阶数等于被积函数所有项次精确积分所需要的阶次时，称为完全 积分；低于时，称为减缩积分。对等参元的数值积分，积分点减少可能对积 分的精度和结构总体刚度矩阵的奇异性造成影响。（ 1）在最小位能原理基础上建立的位移有限元

9、， 其整体刚度偏大， 选取积分 点偏少的减缩积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低，因此可能有助 于提高计算精度。（2）求解系统方程 Ka = P 时，要求引入强迫边界条件后 K 必须非奇异。但 当采用较少的积分点数目，可能造成 K 最大志小于独立自由度数，也即刚度 矩阵 K 奇异，则平衡方程组无唯一解。13、有限元结构总刚矩阵有哪些性质？采用一维变带宽存贮方法的方程组求 解方案的可行性原因何在？答：总纲特征：对称性；稀疏性；带状性；奇异性（置入边界条件后是正定 的）有限元总体刚度矩阵是稀疏矩阵，绝大多数矩阵值都为0，如果在内存与外存中按照矩阵格式保存，则会浪费大量资源。一维变带宽存储是建立

10、一 个一维数组，把总刚矩阵中每行第一个非零元素以及后面直到对角线元素按 行顺序存放， 同时建立另外一个一维数组 （称为定位数组），记录总刚矩阵每 行对角线元素在一维刚度数组中的位置，这样，通过两个较小的一维数组就 精品文档精品文档实现了较大规模的总体刚度矩阵的存储、定位与获取14、任意四边形平面应力单元的某一节点自由度需用与结构总体坐标系不同 的局部坐标系表达，写出该单元刚度刚阵的符号表达式？答： K e 1 1 B T , D B , J d d15、写出受压杆稳定性问题的泛函表达式，解释临界失稳载荷的力学含义？当 PPcr 时，系统是不定的； P =Pcr 点， 系统从正定到不定的过渡状态

11、，即系统处在随遇平衡状态。16、对仅受分布横向载荷 q(x) 的悬臂梁，写出具体势能泛函表达式？变分的 结果有哪些，什么性质？答： l 1EJ d 2w2 qw dxEJw(4) q wdx EJw (w)|l0 EJw(3) |l0 ，可得：对于微分方程 EJw(4) q 0 基本边界条件： x=0 ， w=0,dw/dx=0;自然边界条件： x=l ，w =0,w =0;17、你所理解的有限元素法基本概念有哪些 ?答：依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：位移法：以位移为 基本未知量；力法：应力为基本未知量；混合法：部分以位移；部分以应力 为基本未知量。将连续的求解域离散为一组单元

12、的组合体，用在每个单元内假设的近似 函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数 及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由 精品文档精品文档 度问题变成离散的有限自由度问题。 它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的 （较简单的 ）近似解 ,然后推导求解这个域总的满足条件 （如结构的 平衡条件 ）,从而得到问题的解。这个解不是准确解 ,而是近似解，因为实际问 题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元 不仅计算精度高 ,而且能适应各种复杂形状 ,因而成为行之有效的工程分析手 段。有限元方

13、法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅 限于相对小的子域中。有限元法是 Rayleigh-Ritz 法的一种局部化情况。不同 于求解 （往往是困难的 ）满足整个定义域边界条件的允许函数的 Rayleigh-Ritz 法 ,有限元法将函数定义在简单几何形状 （如二维问题中的三角形或任意四边 形 ）的单元域上 （分片函数 ）,且不考虑整个定义域的复杂边界条件 ,这是有限元 法优于其他近似方法的原因之一。18、经典 Ritz 方法与现代有限元方法有何异同 ？ 答：有限元法 =Rayleigh Ritz 法分片函数”，即有限元法是 Rayleigh Ritz 法 的一种局部化情况。两种

14、方法都需要寻找坐标基函数；但两者差别在于 Ritz 法需要满足全域的连续函数作为坐标函数，这将引起解的代数方 程组可能满阵，造成较大计算工作量；有限元方法是寻找分片连续函数来逼近， 基函数是在单元中选取的 由于各个单元具有 规则的几何形状， 而且可以不必考虑边界条件的影响， 因此在单元中选取基函数可遵循 一定的法则。使解得计算量减小和有效性增大。二、分析题 （30 分）1、（10 分）已知一等截面悬臂杆（截面积为 A，弹性模量为 E）承受沿轴向 均匀分布载荷 q 及端部轴向应力 （如下图），写出势能泛函 （ 用轴向位移表 达）？L精品文档精品文档解： 势能泛函包括三个部分， 一个部分是由于杆的

15、变形杆中存储的势能 1 ，第 部分是分布力的势能 2 ，第三部分是端部轴向应力的势能 31 1 dV1 2 VEAL20 2dxEA0L du dx0 dx2 0 qudx3 Au L2、（8 分）构造下图一维杆单元三个节点的 Lagrange 标准插值基函数？(x L/4)(x L)= 42 x L x L(0 L /4)(0 L) L24(x x2)(x x3) (x1 x2)(x1 x3)162 x x l3L21、（8 分）已知一悬臂梁（如下图，等截面）承受轴向均匀分布载荷 q, 用有 限元方法求解端点 A 的位移？Aq解：精品文档精品文档d2u微分方程描述EA 2 q 0 dx u

16、0 0仅求解 A 点位移，可将整根梁看做一个单元： 则 A 点的线性位形函数可写为：A 1L x则 u ua A梁的能量泛函为： EA du qu dx 0 2 dx2则EA ua2 qL ua 由此可得 ua qL2L 2 a 2EA或者法二：分布轴力 q 的等效：EA 1 1 0R1解得： ua qL2L 1 1 ua qL /2 a 2EA2、（8分）构造下图 8节点单元中角节点 1的 Lagrange标准二次插值基函数？4+173-18+1-161 5 2精品文档精品文档i1i 5 5 i 2 1i 1 1 2i 6 6 ii 12 1 12 1 2 1N5N6N7N8i 7 7ii1

17、i 7 7ii1212 1 2 112 1 2 121 1 12 1 2 11 再改造原四节点情况下的角节点基函数，Ni 1(1 i )(1 i ),i 1,2,3,44对角点 1分析：选 N1 1(1 )(1 ) 时，在节点 5、 8处不为零而为 1 ，故处理为：1111N1(1 )(1 ) N5N8(1 )(1 )( 1)42241Ni 1 (1 i )(1 i )( i i 1),i 5,6,7,842、(8 分)构造下图正方形上关于原点的Lagrange标准双二次插值基函数？487o6125-1 ， 13解：X n span1, , span ,i 1,2,3 k 1 i k ki3Y

18、n span1, , 2 span k ,i 1,2,3 k 1 i k ki将11,00,11代入上述基得到：Xn span 1 ( 1), ( 1)( 1),1 ( 1)2211Yn span ( 1), ( 1)( 1), ( 1)22精品文档精品文档 因此对于中点的基函数为3、No ( 1)( 1)( 1)( 1)12 分)已知一矩形等截面弹性体扭转问题的泛函表达式为：abI -a b x4 dxdy式中， 为应力函数，且在边界上x,y 0求 1 ：与问题等价的控制微分方程 求 2：取 的近似解形式为：Euler 方程 )。x2 a2 y2 b2 ， 为未知参数，求使泛函 I 取极值

19、的具体近似解。解：1)令： Fx y则微分方程为： F x Fx y Fy 022即： 2 2 2= 0 xyab2)将x2 a22 2y2 b2 代入 I00 x24 dxdy 中：得到：abI 4 2abx2 y2 b2 y2 x2 a2 dxdyab4y2 b2 x2 a2 dxdyabI 4A 2 4B3 3 2 2 32a3b3(a2 b2) A45 B 16a3b3精品文档精品文档可得当224(a2 b2)时I（ ） 取极小值因此近似解为5224(a2 b2)x22 2 2 a2 y2 b24、12 分）已知一矩形等截面弹性体扭转问题的泛函表达式为：I xy4 dxdy0 0 xy

20、ayb式中， 为应力函数，且在边界上 x,y 0 求 1：与问题等价的控制微分方程 （ Euler 方程 ）。求 2：取 的近似解形式为： sin xsin y ， 为未知参数，求使泛函 abI 取极值 的具体近似解。 解：I 2 x x( ) 2 y y( )0 0x xyya b222 2 20 0xy微分方程：2 2 20 ，代近似解到泛函，得xya 2 x a 2 x a0 cos ( )dx 0 sin ( )dxa a 222住：2)将x2 a2得到：精品文档4 dxdy2 C ( )cos ( )cos ds 4 dxdy C x y 0 02xaby2 b2 代入 I24 dx

21、dy 中：00精品文档I2002 xy2 cos sina 2a b2b2cosb2 yx sin adxdyabdxdyyx4 sin sin0 0 b a计算得到：I A 2 4B2 2 22 (a2 b2)4ab4ab可得当432a2b2 2 2(2aa2 bb2) 时I( ) 取极小值 因此近似解为sin22xy sin ab5、( 12 分)已知一物理问题的泛函为：1p y 2 +2xy dx0其中，未知函数 y( x)的边界条件为： y(0) = 0, y(1) = 1求 1 ：与泛函等价的控制微分方程( Euler 方程)。求 2：取 y 的解形式为 y x a1x3 a2 x2

22、 a3x a4 ，其中多项式系数为未知 参数，求使泛函取极值 y 的具体解。1解： p 2y-2x ydx 2y y |100微分方程： y-x 0，解为 y 1x3 Bx C ，代入边界条件，得 y 1x3 (a b )x6 6 6 近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的极值必然等于真解。精品文档精品文档6、( 12 分)已知一物理问题的泛函为：式中， u(x), 0 x 1，为未知函数，且 u 0 u 1 0求 1 ：与泛函等价的控制微分方程( Euler 方程)。求 2：取 u 的近似解形式为 x a1x a2 x 2 ，a1、a2 为未知参数，求使泛函取极值 u 的具体解。 解：0

23、 ddxu2 u x udx ddxu u|10由边界条件，得 a1+a2=0,所以将 x a1x(1 x) 代入泛函，求极值，得 a1=5/187、( 12 分)已知一物理问题的泛函为：式中， 为未知函数，且 0 0求 1 ：与问题等价的控制微分方程( Euler 方程)。求使泛函取求 2：取 的近似解形式为 x a1x a2x2 ，a1、a2为未知参数， 极值 的具体解。求 3 ：解释你的直接泛函驻值解说明了什么问题？ 解：对泛函作变分：p ( 50) dx |L0边界值中， (L) 任意，所以必须有 (L) 0所以 a1 2a2L ， x a2(x2 2Lx) 代入泛函，求极值得 a2

24、25 该驻值解等于精确解。精品文档精品文档三、计算题 （30 分）1、 （15 分）一四节点平面等参元的形状函数如下式所示，已知该单元的节 点位移关系为： u1= -u2 = u3 = -u4，v1=v2=v3=v4=0（图中的虚线状态）。试 给出该单元剪切应变能表达式；当 Gauss积分点仅取坐标原点时，该剪 切应变能等于多少？1已知： Ni 1 1 i 1 i , 1, 1 ， i, i 为节点坐标。4xE1v0xv10y2y1v1v00xy2xy解： 雅克比矩阵为雅克比矩阵中每项的值如下4xyi1xiNi4i1iyiyi41 Ni yi假设母单元长宽分别为 L 和H 则计算得 精品文档精

25、品文档LJ= 20面写出应变矩阵的表达式NiNix1JNiNiyx0Bi0NiyNiNiyx因为仅计算剪切应变能，因此仅取Bi 的最后一行计算：B= Ny1Nx1Ny4yxy21H11 21L 12H 112L而刚度 D 转化为数值应变能计算如下：E2(1 v)U 1 T B T D B Jd d2 1 1根据条件式中：u1 0 u10 u1 0 u1 0代 、 B 、 D 、 J 到 U中，得U 1 1 1 8u1 2 E LH d d 1 1 4ELu12 2 d d1 1 2 H 2(1 ) 4 1 1 (1 )H对上式采用高斯积分，取取积分点 1 1 0 ，则相应权系数为 H1 2 得

26、11nn4 ELu1d d H(1 )HiHj 4ELu12( i)2 2 2 4ELu12( 1)2 0 i 1j 1 (1 )H (1 )H最后计算得到 U 0 。精品文档精品文档2、（15分）已知一对称等截面杆件结构， 截面面积 A=10mm2,作用载荷 p=103 4N。如图所示，杆弹性模量 E=104kg/mm2,用有限元方法计算结构各点位移。要求作出求解过程的简化图解：（ 1） 节点编号和单元编号如下：单元节点号单元长度方向112L/202232L /2135334L/20424L/2902） 各单元在总体系下的刚度矩阵：各杆在总体坐标系下的刚度矩阵计算公式：代入各杆对应数值：10

27、10K (1) 2EA0000KL10100000111 1K( 2 )EA11112L1111111 11010K (3) 2EA0000KL101000000000K( 4) 2EA0101KL00000101精品文档101000101a2EAK00aL00a00a00000000000000aaa01 a a a 0 a 1 a a 1 aaa001011000其中122节点力： P Rx1 Ry1 0 Ry2 Rx3 P/ 2 0 0T（4） 边界条件的处理及刚度方程求解 边界条件为： u1 v1 v2 u3 01aau202EAaav3P/2L1u401v40解得：u2PL / 4E

28、Av3PL(a 1)/ 4EAau40v402、 （15分）已知一四边固支的各向同性弹性正方形薄板（边长为 4, 如下图 示），有一 P 载荷作用于中心点处，产生的位移挠度等于 1，应用四节点 12参数板弯单元计算所需载荷 P的大小？（已知弹性模量为 E，板厚为 t ， 泊桑比 =0.3 ，边长为 2 的方板元素刚阵为：精品文档精品文档k12k13k11a31 a32 a33 ijk14解：局部坐标系）xiyiby如图， 把薄板划分为四个单元， 结点编号和单元编号如图所示， 由薄板固支的边界条件， 可以得到板边界结点的结点位移和转角都为零。 4 节点 12 参数的位形函数如下：w( ,)a1a

29、2a3a42 a5a62a73a8 2a9 2 a10 3 a11 3a12 3由于完全对称，计算( 1)单元为例： 将 1,2,3,4 节点的位移和转角条件w( , ) N = N1 N2 N3 N4Ni1(1 i )( 1 i )( 2 i i 22)81N i 1b i(1i )( 1 i )( 12)(i1，2，3，4， i，i取 1,1)8N i 1a i(1i )( 1 i )( 1 2)8B 矩阵计算如下： 精品文档精品文档NiBi 3 3t Ni (i1,2,3,4)2NiBi 3 3t4ab3b i (1i )a3a i (1i )bi i(3 2 3 2 4)b i (1 3 i )( 1 i )a i(1i )( 1 3 i )b i(3 2 2 i 1)0a i(3 2 2 i 1)B B1 B2 B3 B4k11B T D Bd d将每个单元的刚度矩阵组装成整体刚度矩阵Ke由边界条件 :w1 1 wi 0i 2,3 9wi0i1,2, 9wi0i1,2, 9即 1 0 0因此对于 1 节点处的节点力与位移关系为P Ke11