谈谈平面几何中的辅助线

1、谈谈平面几何中的辅助线解证几何问题，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为辅助 线在图中一般画为虚线常见的辅助线不外直线、线段、射线、圆或 圆弧等等.（一）为什么要添线？解几何题是从题设条件出发，运用正确的逻辑推理，得到题断的结 果.我们碰到的几何题有的并非一定要添线， 有些则需要添线.为什么 有的几何题一定要添线呢？我们还是从具体例题分析谈起.例 1 ABC 中，AC AB，在 AC上取一点 D，使CD = AB，E为AD中点，F为BC中点.连FE交BA延长线于G.求证AE=AG .分析 要证AE=AC .只须证/仁/ 2,问题的关键在于如何由AB =CD等题设来证得/ 1 = / 2.由于

2、AB、CD位置分散，它们与/ 1、/ 2的联系不易直接观察到.因此，必须设法添线使它们由分散状态相对 集中，使它们之间的联系由隐蔽变为明显.为此，连结 BD，取BD中点 0.联OE、OF.这样就将/ 1 “搬”到了/ 3、/2 “搬”到了/ 4. AB、CD各以其一半的面目“搬”到了 OE和OF.于是就把已知、求证中有关的元素相对地集中在一个 OEF中了.谷易见到，只要证得/ 3= / 4,问题即可迎刃而解.证明（略）.例2 在厶ABC中，/ B=2/ C， + ac分析 要证b2=c2+ ac，只须证b2= c（a+ c）只须证 b : c= （a+c） : b即只须证b、c、（a+c）、b

3、分别为一对相似三角形的对应边.这对三 角形要满足以b为公共边，其中有一个三角形要有一边为a+c.为此 延长AB至D，使BD=BC，这时AD=a+c .结DC.要证b : c= （a+ c） : b只须证 ABC ADC，由于/A为这两个三角形的公用角，只须条件/ ACB= / D .即 Zacb = |zabc 即可.也即只须2/ ACB = /ABC .这正是题设所给出的我们通过添线沟 通了题设与题断之间的逻辑通路.大家不难写出本题的证明.（略）上述诸例表明，解证几何问题，就是由已知出发，用形式逻辑的推 理与量的计算，来探求新的、未知的结果一句话，就是要创造条件实 现从已知向结论的转化.实现

4、这一转化，要求我们依据具体问题具体分 析，而添设辅助线，正是我们创造的转化条件的一部分， 是为了联系几 何元素之间的关系而架设的桥梁.添设辅助线的总目的在于沟通解题思路. 创设由已知条件向所求结 论过渡的条件其作用（1）使复杂的问题化为我们所熟悉或早已掌握、 解决的问题，应有如梯形中位线定理证明中通过添线把问题转化为三角 形中位线定理；使图形中隐蔽的关系显现出来，（如例2,例3）（3）使不 直接联系的元素发生联系.（如例1）添设辅助线既不是随心所欲的胡添乱画，也不可生硬地机械照 搬.而是随着解题思路的展开，当碰到某些条件不能直接与结论发生联 系时，为发掘、创设这些条件联系的途径， 来设想和决定

5、在图中添什么 线与怎样去添线这正是理解添设辅助线方法的精髓.练习一对下述各题分析解题思路，决定添线方法，从中体会添线的目的与 作用.ABC 中，AB为高，D为垂足，/ B=2/C,求证 AB+BD=DC .2. AABC中，/ A=60。，/ B的平分线BD与/C的平分线CE相交 于0，求证OD=OE .3. 四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，/ ACB=50 ，求/ BDC 的度 数.4. A ABC 中，AC=BC，/ C=20。，作/ ABD=70 ，且 BD交AC 于D .求证CD=AB .（二）添线的原则原则一化繁为简添设辅助线有助于把复杂的图形分解成简单的图形；把复杂问题分割

6、为若干个简单问题；把不规则图形转化为规则图形.无论添线怎样复杂，仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”， 从而以“简”来驾驭“繁”.例4女口图4,已知凸六边形ABCDEF，对角线BF、AC、BD、CE、 DF、EA的中点分别是 Ai, Bi, Ci, Di，E，图4.若A1B1C1D1E1F1也是一个凸六边形，求证A1B1C1D1E1 Fi 面积恰为 ABCDEF面积的二分析 容易发现，小六边形的对角线，平行且等于大六边形相应的 对角线的一半。如直rjJed,这样连ad把大大边形分为两个四边形，连AiDi把小六边形也分为两个四边形.四边形 AiDiEiFi面积=AiEi X DiFisi

7、n a i四边形卫ECD面积=|BDXACsina .由于两对边对应平行的角a = a i,易知四边形ARE再面积=扌锂BUD面积同法可证AiBiGD面积=AL)EF面积.这样，立即可得出结论.本题连AD，AiDi把六边形面积计算转化为两个四边形面积计算问 题，这样达到化繁为简的目的.例5 在厶ABC中，E是 AC中点，D是BC边一点.若BC=i ,/ABC =60,/ BAC = i00，Z CED=80.求厶ABC的面积与二倍的厶CDE面积之和.分析 设K=SaABC +2SACDE .由于/ BCA=20 ，/ EDC = 80, CE=CD.圈5直接计算两个三角形的面积很困难，要碰到求

8、特殊角的三角函数 值.但如果注意到/ ABC=60 这个条件，把 ABC复原为一个边长为 i的正三角形.为此，延长BA到G，使BG=BC=i .连CG，在AG上取F 点，使BA=GF .连CF，则易知 ABC FGC，且AC=CF，/ ACF=20.于是 ACF CDE，但CA=2CE，- SACF 4Sa CDE，s +2c- 4 乙占血UDESa bcg=2A ABC 面积 +4A CDE 面积,=2 * Tcbc) =T但实质上则使不规则图形此题添线后从表面看使图形变得复杂了， 转化为规则的正三角形，达到化繁为简的目的.同时也使我们捕捉到了 解答本题的途径.原则二相对集中添设辅助线常常要

9、将已知和未知中的有关元素集中在同一个三角 形中或集中到两个相关的(全等、两对边对应相等、相似)的三角形中.只有元素相对集中，才便于联系与比较，才能充分应用有关的几何定理 例6在厶ABC中，经过BC中点M，有垂直相交于M的两条直线， 它们与AB、AC分别交于D、E.求证BD + CE DE.分析 要证BD + CE DE.需要设法把这三条 线段集中到同一个三角形中，为此，由M是BC中点， DM丄EM，使我们联想到不妨用轴对称“翻折”的 方法.在DM的延长线上取D，使MD=MD，连ED， CD.易证 ED=DE， CD=BD .最终把 BD、DE、 CE三条线段以CD、ED、CE的“身份”集中到了

10、 ECD中，而使问题获证.原则三作图构造已知条件、求证结论中出现线段、角的和差倍分，可在图形中把它 们的关系具体构造出来.只要构造得当，往往有利于对问题的探索.例7 ABC中，AD为/ A的平分线.若AB+BD=m，AC-CD=n.求 AD= ?分析 条件中出现AB + BD、AC-CD，不妨在图中具体作图构造 出来.为此，延长AB至E，使BE= BD .则AE=AB + BD=m，在AC上取 点F，使CF=CD，贝UAF=AC-CD=n.连ED、DF，由/ 1 = Z2,容易设想， 可否通过厶AED与厶ADF相似来计算AD .为此尚字，故只须证=需寻求另一对对应角相等.比如，我们不妨寻求 /

11、 E与/ ADF的关系.事实上ZADF= ZCFDIJ2 2180 - Zc- Za Ze1财-ZC ZA由以上分折，易由 AED ADF，得出AD2=nm.AD =拓品c團9原则四显现特殊性通过联结辅助线，在图形中常常可造出特殊角、 特殊线、特殊点或图形的某种特殊性质.例9过正方形ABCD的顶点A作直线1对角线 BD，以B为中心BD为半径画弧交I于E（如图9），连 BE交AD于F.求证DE=DF.分析 要证DE=DF .只须证/仁/2.但试图证明/仁/2往往会周旋不止而达不到目的.愿因在于隐藏在题中的条件还未仔细挖掘.其实，连AC交ED于O, A0二fED这个条件隐藏未用，只要过E作BH丄W

12、于且，aDBH = AO = |ED = |BE-Lil所以马上得出/ HEB=30,/ EBD=30,此时,/ 2=Z EBD+ / ADB=30 + 45= 75所以/仁/2,问题迎刃而解.练习二通过以下各题体会各种添线原则.1. 四边形ABCD的面积为1, M为AD的中点，N为BC的中点， P点在DC上，DP = DC, Q点在QE = |aB.求四边形MPNQ 的面积.2. P为正方形 ABCD 内一点，且 PA= 1, PB=5, PC=7.求证 A、P、 C三点共线.3. A ABC 中，/ C= 2/ B,求证 AB v2AC .4. ABC中，/ C=n/B .（其中n为大于2

13、的自然数）求证AB v nAC .5. 不等边 ABC中，最长的高线AD等于中线BE,求证/ B v60.6. 矩阵ABCD中，AB=2AD .以A为中心AB为半径画弧交DC于E, 连EB .求/ EBC的度数.7. 直角梯形ABCD中，P为垂直于底的腰BC上一点.AP = PD，/APB=75。，/ DPC=45，求证 BC=AB .（三）添线的手段通过什么手段来实现上述原则？添设辅助线，从 整体看，可以理解把图形的一部分变换到另外的位 置，以此来实现条件和结论的联系.这些变换很多， 常用的是平行、对称、旋转，线段等比及等积等等.中，平移、对称、旋转是合同变换，它不改变线段的长度与角的大小;

14、而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变；等积变形，只是图形在保持面积不变情况下的形变. 此外圆中弦的一侧所 张的圆周角均相等，可以看成一个角顶点沿圆弧滑动，角的两边通过弦 的两个端点的运动，这些都是很有用的变化手段.下面举例说明这些变换在添线中的应用1.平移 常常通过特殊点添平行线，或利用三角形中位线性质，造 成平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置.例10 在四边形ABCD中，AB=DC，又E、F各是BC、AD的中点，延长BA、EF、CD，如图10（甲）交成/ 1，Z 2 .求证/仁/2.图10（甲）中,利用平移使AB ,CD，/ 1, Z2集中在一个

15、三角形中.图 10（乙）中，利用中位线，使/ 1，Z 2集中，AB、CD以半长集中.（解略）例 11 六边形ABCDEF中, AB/ED，BC/FE，CD/AF，对边之差 BC-FE= ED-AB = AF-CD 0.求证该六边形的各角均相等.提示 过A作AQ/BC,过C作CR/DE，过E作EP/FA交成图中的 PQR.PQ=BC-EF, QR= DE-AB .PR=AF-CD .故 PQ= QR = PR. PQR为正三角形.以下容易推证六边形各内角均为120.本题是通过平移将元素相对集中.的112.对称 对称分轴对称与中心对称.等腰三角形的底边上的高线是对称轴.一个角的平分线是这个角的 对

16、称轴.而一条线段关于中点为中心对称.平行四边形为中心对称图 形.一般地，一个图形要关于一条直线“翻折”过去，采用轴对称，一 个图形绕一定点旋转180,采用中心对称.例13 ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分.BM是AC上的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分（x y z）,求x : y： z.图13解 本题解法很多，我们利用中心对称求解.如图13，以M为中心 作厶ABC的中心对称图形，贝U EC/AE，FC/AF .于是可得-K1=x = y +2y + Sz 2x + y 2= x + y = 4z.2r 1由，得x-y=z,+,x： yi得N = x = z,2y = 3z=

17、 y = |z53Z = -Zs 2 23.旋转在具有等边或特殊角的图形中，将图形一部分绕定点旋 转一特殊角，往往使分散的条件相对集中，显示出若干新的联系.例14 ABC中,AB=AC,D是形内一点，若/ ADB / ADC .求证/ DBC Z DCB .AS 14分析 将厶ABC以A为中心逆时针旋转一角度/ BAC，到 ACE的 位置.连DE，由/ ADB Z ADC，得 / AEC Z ADC .又 / ADE= / AED，相减，得 / DECZ EDC . CD CE.即 CD BD，从而/ DBCZ DCB .例15设M是等腰直角三角形ABC的腰AC的中点，AD丄BM .交 斜边B

18、C于D .求证/ AMB= / DMC .分析 要证/仁/2,由于/ 3与/ 1互余，/ 4与/ 1互余，又AB=AC ,设想把 ABM平移加旋转到 ACN . （/4与/ 3重合，M N, AC）问题变为要证/ 2=7 5 .这时，只要设法证MDC NDC即可.例16PC=1: 2:若P为正方形ABCD内一点，PA:3.试证/ APB=135.利用正方形的特点设法经过旋转使分析PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1,PB=2, PC=3.绕B点顺时针旋转90使ZLCBP到4ABE的位置* 这时BEP AE = 3, ZPBE = 90& =2 遐.ZBPE=47 ,只 PFP扌二+（2

19、72）2=32=,7 APE=90.于是 7APB=135.4.线段的等比移动.如图17 （甲）,二直线被一组平行线所截，则巳aPB:如图1?（乙），二平行线被一线東所截j则这种L讥b b b-b打但保持 H 的移动，我们称为线段等比移动.这种移励常把b b在一直线上二线段比的关系转移到另外直线上的二经段之比.例17等腰梯形ABCD中，底角为67. 5,以它的一腰BC为直径 作圆，交底AB于E,且恰与另一腰AD相切于M，求BE: AE的值.分析 由OE=OB，得7 OEB = 7 OBE= 7 A，因此OE/AD .设想把 AE : EB等比移动.方法有二.方法1 延长AD、BC相交于P,如图18（甲），7 P=45,BE； AE = OB： OP,不难求得，OB： 0P = 例18 0为厶AB