高中物理竞赛基础：质点的圆周运动

1、rdl1222.4 质点的圆周运动刚体平面平行运动与定轴转动241、质点的圆周运动(1)匀速圆周运动如图 2-4-1 所示，质点 p 在半径为 r 的圆周上运动时，它的位置可用角度 表示（习惯上以逆时针转角正，顺 时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：dqw = limdt 0 dtyovdq2v1px质点 p 的速度方向在圆的切线方向，大小为图 2-4-1v =limdt 0dldtr q=lim 0 =wr dt 0 dt （或 v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度， 其加速度沿半径指向圆心，称为

2、向心加速度（法向加速度）。w =vn2/ r =w2r =wv向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(2)变速圆周运动 （或 v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度dwb = limdt 0 dt质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速rv2rdvrdv/rvrv1rv1r r r r r度增量 dv 分解为与 v 平行的分量 dv 和 v 垂直的分量 dv ，如图/r r r2-4-2。 v1 相当于匀速圆周运动个的 dv , dv11 的大小为dqdqrpdv =v -v =wr -wr 12 2 1 2 1=rdw图 2-4-

3、2质点 p 的加速度为rr dva = lim = lim dt 0 dt dt 0rdvdt/+ limdt 0rdvdtr r=a +atn其中r ra , ar nr就是切向加速度和法向加速度。 a =btra =vn2/ r =w2r为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有w =w +bt0q=w t + 012bt2v =w r0 0v =wr =v +brt =v +a t0 0 r(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图 2-4-3 一个质点 a 在 t=0 时刻从 x 正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在 x 方向 上x =

4、r coswtyvvyv =-vsin wt =-wrsin wt xa =-acos wt =-w2rcos wt xovxwtravx在 y 方向上：p)y =r sin wt =r cos(wt -2p)v =v coswt =-wrsin(wt -y2a =-asin wt =-w2r cos(wt - yp2)图 2-4-3从 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度时间 t 表达的参数方程可以看出：匀速圆vap周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差 2242、刚体的平面平行运动刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚

5、动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平 面的截面作为研究对象。刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心 s（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样， 刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。确 定 瞬 心 的 方 法 有 两 种 ： 如 图s2-4-4(a) 所示，若已知截面上两点的速ava度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图 2-4-4(b)所示，已知vaabvbsv / wa（a）（b）截面转动的角速度及截面上某一点a图 2-4-4的速度 ，则

6、在与速度垂直的直线上，与 a 点距离为v /aw的点即为瞬心。注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。243、刚体的定轴转动刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的jxy垂直距离不同而不同。244、一些求曲率半径的特殊方法x 2 y 2+ =1先看椭圆曲线 a 2 b 2 ，要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方 法：(1)将椭圆看成是半径 r=a（设 ab

7、）的圆在 d 平面上的投影，圆平面yqpx如图 2-4-5和 d 平面的夹角 满足关系式（如图 2-4-5）b bcosj =r a设一个质点以速率 v 在圆上做匀速圆周运动，则向心加速度a =v 2a，从上图中可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x 轴）上的 p 点时，其速率和加速度 分别为：bv =v c o sj = v x a，a =xv 2a当质点的投影在椭圆的短轴（y 轴）上的 q 点时，其速率和加速度分别为：v =vya =a c o fs=b yv 2a 2。因此椭圆曲线在 p、 q 的曲率半径分别为：rrpqv 2 b 2= =a axv 2 a 2= =a byxyy0和x

8、 o x (2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把y椭圆的参数方程（设 ab）（如图 2-4-6）qx =a cos q y =b sin q可改写为ba pxx =a c o wstpy =b c o swt( - )2即可进一步写出 x， y 二个方程的速度 v 和加速度 a：图 2-4-6v =-awsin wt a =-aw2 cos wt xpv = -b w sin( wt - )2pa = -b w 2 cos( wt - )2那么在长轴端点 p 处（wt =00）的曲率半径：r =pva2pp=( bw) 2 b 2 =aw2 a在短轴端点 q 处（wt =p2）的曲率半径r =qv 2qaq=( aw)bw22=a 2b再把抛物线 y=ax 2 ，要求其任意一点的曲率半径（如图 2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程yanqaatvyvvxx =v t 1y = at 22图 2-4-7x其中a2 vo=a，这样就可以导出v =v a =0 v =at a =ay y对任意一个 t 值： v=v2x+v2y= v20+（at）2a n =acosq=avxv=v20av0+（at）2所以这一点的