高考理科数学二轮周测卷(4)立体几何(含答案)

1、22abcdhb.c.ppsa=2vvv v v v衡水万卷周测（四）理科数学立体几何考试时间： 120 分钟姓名：_班级：_考号： _相交所得到的两段弧长之和等于（ ）题号得分一二三总分a5 p6b2 p3cpd7p6一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的）8.在右图四面体 abcd 中，ab =1, ad =2 3, bc =3, cd =2, abc =dcb =p2,则二面角 a -bc -d1.（2015 浙江高考真题）如图，已知dabc ， d 是 ab 的中点，沿直线cd 将 dacd 折成 dac

2、d ，所成二面角 a-cd-b 的平面角为 a ，则（ ）的大小为（ ） p pa. b.6 3a.adb ab.adb ac.acb ad.acb ac.2 p3d.5 p62.如图正方体 abcd -a b c d 的棱长为 1，线段1 1 1 1e . f ，且 ef = ,则下列结论中错误的是( ).b d1 1上有两个动点9.已知菱形 的边长是 1，的距离是（ ）dab =60，将这个菱形沿 ac 折成 120 的二面角，则 bd 两点间a. ac beb. ef 平面 abcda. 三棱锥 a -bef 的体积为定值a.12b.32c.3 32 d. 4d.异面直线ae , bf所

3、成的角为一定值10.若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )3.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1：2：3，对角线长为2 14，则这个长方体的体积为（ ）a.26b.3 c.23d.23a.6b.12c.24d.484.已知球的直径 sc =4 ，a,b 是该球面上的两点， ab =2 ,asc =bsc =45，则棱锥 s -abc 的体积为( )11.如图，已知正方体abcd -a bc d1 1 1 1棱长为4，点 在棱aa1 上，且ha =11在侧面bcc b1 1内作边长为1 的正a.3 2 3 4 3 3 3 3d.5 33方形efgc1 ，

4、 是侧面bcc b1 1 内一动点，且点pcddc 到平面 1 1距离等于线段pf5.已知三棱锥 s-abc 的底面 abc 为正三角形，点 a 在侧面 sbc 上的射影 h 是三角形 sbc 的垂心，二面角 h-ab-c 为的长.则当点 运动时，hp2最小值是（ ）30，且 ，则此三棱锥的体积为（ ）(a)12(b)32(c)34(d)3425232221（a）（b）（c）（d）12.如图，体积为 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4 个小球的球心6.向高为h水瓶中注水，注满为止.如果注水体积v与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的( )是

5、以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点. 1 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，v2为大球内.小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）7.如图，正方体abcd -a b c d1 1 1 1的棱长为3，以顶点 a 为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面v vv = v =a. 1 2 b. 2 2 c. 1 2 d. 1 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.表面积为 60p 的球面上有四点 s、a、b、c，且dabc是等边三角形，球心 o 到平面 abc 的距离为 3 ，若平面sab 平面abc,则棱锥s -abc体积的最大值

6、为.14.已知矩形 abcd 的顶点都在半径为 4 的球 o 的球面上，且ab =6, bc =23 ,则棱锥 o -abcd 的体积为abcd4 3 p15.已知菱形 的边长为 2 ，bad =60. 将三角形 abd 沿对角线 bd 折到 abd ，使得二面角a-bd-c的大小为20.在四棱锥 p -abcd 中，平面 pad 平面 abcd ， ab / cd ，在锐角 dpad 中 pa =pd ，并且 bd =2 ad =8，60，则 ad与平面 bcd 所成角的正弦值是 _ ；四面体 abdc 的体积为 _ .ab =2 dc =4 5（1）点 m 是 pc 上的一点，证明：平面

7、mbd 平面 pad ；16.正四面体 abcd 的外接球的体积为 ，则正四面体 abcd 的体积是_. 三、解答题（本大题共 6 小题，第 1 题 10 分，后 5 题 12 分，共 70 分）（2）若 pa 与平面 pbd 成角 60，当面 mbd 平面 abcd 时，求点 m 到平面 abcd 的距离17.四棱锥 p -abcd 中，pa 底面abcd ， ab / cd ， ad =cd =1 bad =120 ，pa = 3，acb =90.，（）求证：bc 平面pac；（）求二面角d -pc -a的平面角的余弦值；21.如图在三棱锥 a -boc 中， ao 平面 cob ，oab

8、 =oac =p6, ab =ac =2, bc = 2, d .e 分别为 ab .ob 的中点.18.如图，在四棱锥 p -abcd 中，底面 abcd 为平行四边形， adc =45， ad =ac =1 ,o 为 ac 的中点， po 平面(1) 求证： co 平面 aob ；(2)在线段 cb 上是否存在一点 f ,使得平面 def 平面 aoc ，若存在，试确定 f 的位 置；若不存在。请说明理由.abcd ， po =2 ， m 为 pd 的中点(1) 证明 ： pb 平面 acm ；(2) 证明： ad 平面 pac ；(3) 求直线 am 与平面 abcd 所成角的正切值.2

9、2.如图，平面abde 平面abc ，dabc 是等腰直角三角形，ac =bc =4 ，四边形 abde 是直角梯形，bd / ae ，19.（2015 新课标 1 高考真题）如图， 四边形 abcd 为菱形，abc=120，e，f 是平面 abcd 同一侧的两点，be1bd ba ， bd = ae =2 ，2（1）求证： od /平面 abco, m；分别为ce , ab的中点。平面 abcd，df平面 abcd，be=2df，aeec。（2）求直线cd和平面odm所成角的正弦值；（1）证明：平面 aec平面 afc（3）能否在em上找一点n，使得on 平面abde？ 若能，请指出点 n

10、的位（2）求直线 ae 与直线 cf 所成角的余弦值置，并加以证明； 若不能，请说明理由。0.rt hkp，要想minfrt hkp，要想pp fp衡水万卷周测（四）答案解析一、选择题 1.b.【解析】试题分析：根据折叠过程可知a cb与a的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得adb a，当且仅当ac =bc时，等号成立，故选 b考点：立体几何中的动态问题在 中，| hk |2+| pk |2=| hp |2，而| hk |=4 | hp |2最小，只要| p k |最小即可，由题意易求得2.d【解析】选项 a，动直线 be 在底面内的射影即为 bd ，显然 ac . bd 垂直；选项

11、b，直线 ef 和直线 b d 重合，显1 1然直线 b d 平行于下底面；选项 c，显然 v =v =v ,若保证 ef 的长度为定值,则 v 为定值.所以 1 1 e -abb f -abb a -bef a -bef1 1答案为 d.3.d| p k |2 =6 | hp |2，所以 最小值为 22，故选 b. 【思路点拨】注意到点 p 到点 f 的距离等于点 p 到直线cc1 的距离，即点pcc的轨迹是以 为焦点，以 1 为准线4.c【解析】由题可知 ab 一定在直径 sc 垂直的小圆面上，作过ab 的小圆交直径 sc 于 d ，如图所示，设 sd =x ，则 dc =4 -x，此时所

12、求的棱锥即分割成两个棱锥 s -abd 和的抛物线，在 中，| hk |2+| pk |2=|hp |2，而| hk |=4 | hp |2最小，只要| p k|最小即可.c -abd ,在 dsad 和 dsbd 中，由已知条件可得 ad =bd =x，又因为 sc 为直径，所以 sbc =sac =90所以12.ddbc =dac =45,所以在 dbdc 中 bd =4 -x，所以 x=4-x,解得 x =2 ，所以 ad =bd =2 ,所以 dabd 为正三角形，所以 v =13sdabd4 =433.二、填空题13.【答案】27 解析：由题意画出几何体的图形如图：5. b6. b【

13、解析】本题考查对几何体的体积公式的理解.如果水瓶形状的圆柱，v =pr2h，当底面半径 r 不变时，v 是 h 的正比因为球的表面积为60p，所以球半径为 15 ，由于面 sab面 abc，所以点 s 在平面 abc 上的射影 d 落在 ab例函数，其图像应该是过原点的直线，与已知图像不符.由图知函数图像的切线斜率大于 0，且随着高度 h 的增加， 切线斜率逐渐变小，可以看出，随着高度h 的增加 v 也增加，但随着 h 的变大，体积 v 在单位高度的增加是变小， 图像上升趋势变缓，所以瓶子平行于底的截面的半径由底到顶逐渐变小.上，由于 oo平面 abc，sd平面 abc，即有 oosd， 当

14、d 为 ab 的中点时，sd 最大，棱锥 s-abc 的体积最大7.a由于oc = 15, oo =3, 则 co =2 3, do = 3，则abc 是边长为 6 的正三角形，8.b9. c10. c则abc的面积为：s =3462=9 3.11.b 解析：点 到平面cddc1 1 距离就是点pcc cc到直线 1 的距离，所以点 到点 的距离等于点 到直线 1 的距离，在直角梯形 sdoo 中，作oe sd于点 e，oe =do =3,de =oo = 3,因此点 p 的轨迹是以 f 为焦点，以cc1 为准线的抛物线，在面a abb1 1 中作hk bb1 于k ，连接 kp ，sd =d

15、e +se = 3 + 15 -3 =3 3,即有三棱锥 s-abc 体积1 1v = sh = 9 3 3 3 =27 3 3,故答案为 27.【思路点拨】由于面 sab面 abc，所以点 s 在平面 abc 上的射影 d 落在 ab 上，d 为 ab 中点时，sd 最大， 棱锥 s-abc 的体积最大运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得cd，ab，及 sd，由三棱锥的体积公式122abcd 所成的角.在 rt ddao 中，所以.从而，即直线 am 与平面 abcd 所成角的正切值为 .3boh ,所以答案为222即可得到最大值14. 8 3 【解析】设矩形对角线 ac ， bd 交

16、与点 o 则11 1因此 v = sh = 6 2 3 2 =8 33 3bo=2 3，因此 oo =1ob - o b =142-(2 3)2=21 5 1 5ad =1, ao = do = an = do =2 2 2 4mn 1 4 5 4 5tan man = = =an 5 5 52.在 rt danm 中，15.【答案】：3 3,4 219.【答案】（）见解析（）33816.【答案】 解析：设正四面体的棱长为 x，则底面三角形的高为32x，即有bh =2 3 3 x = x3 2 3，棱锥的高为解：（1）证明：连接 bd，设 bd ac =g 在菱形 abcd 中，不妨设 gb=

17、1.,连接eg , fg , ef ,6ah = x3， 由 于 外 接 球 的 体 积 为44 3p pr 3 =4 3pr = 3 3， 在 直 角 三 角 形 得由abc =120,可得ag =gc =3,由be 平面 abcd,ab=bc,可知 ae=ec.bo2=bh2+oh2 x =2 63r =2 2，则正四面体的体积为13ah sbcd=8 83 3又 ae ec ,所以 eg =3 ,且 eg ac .【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积. 三、解答题在rt debg中，可得be =2,故df =22.17. （）证明： pa 底面 abcd ， ac pa= a，所以

18、 bc 平面pacbc ；底面abcd， pa bc，又 acb=90 所以bc ac，而在rtdfdg 中，可得 fg =62.（） bad =120,ab / cd ，adc =60，又ad =cd =1 ，dadc 为正三角形以 a 为原点， cd 边的中线所在直线为 x 轴，直线 ab 为 y 轴，ap 为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则在直角梯形 bdfe 中，由 bd=2，be =2, df =22,可得ef =3 22.a(0,0,0), p (0,0, 3), d(3 1 3 1, - ,0), c ( , ,0), b (0, 2,0) 2 2 2 2，由（1）取面 p

19、ac 的法向量 eg +fg =ef ，egfg，acfg=g，eg平面 afc，3 3 bc =( , - ,0)2 2，由于 ab / cd ，知 ab / 面 pcd ，故可设面 pcd 的法向量n =( x,0,1)，eg 面 aec，平面 afc平面 aec.6 分（）如图，以 g 为坐标原点，分别以gb , gc的方向为x轴，y 轴正方向，| gb|为单位长度，建立空间直角坐则n dp =( x ,0,1) (-3 1 3, , 3) =- x + 3 =0 2 2 2， x =2，即n =(2,0,1)标系 g-xyz，由（）可得a（0， 3 ，0），e(1,0,2)，f（1,0

20、，22），c（0， 3 ，0）， ae =（1， 3 ， cos =n bc | n | |bc |=5 3 5=3 9 5+4 4，所以，二面角d -pc -a的平面角的余弦值为55.18.解：（1）连接 bd, mo ，在平行四边形 abcd 中，因为 o 为 ac的中点，所以 o 为 bd 的中点，又 m 为 pd 的中点，所以pb mo .因为 pb 平面 acm ， mo 平面 acm ，所以 pb 平面 acm .（2）因为 adc =45，且 ad =ac =1 ，所以 dac =90，即 ad ac .又 po 平面 abcd ，2），cf=（-1，-3，22）.10 分adc

21、 平面abcd所以 po ad .而 ac po =o ，所以 ad 平面 pac .（3）取 do 的中点 n，连接 mn，an.因为 m 为 pd 的故cos =ae cf | ae | cf |=-33.中点所以 mn po .且1mn = po =12. 由 po 平面 abcd ，得 mn 平面 abcd ，所以 man 是直线 am 与平面p2 22所以直线 ae 与 cf 所成的角的余弦值为33.12 分所以 co 平面 aob（2）在线段 cb 上存在一点 f ，使得平面 def 平面 aoc ， 此时 f 为线段 cb 的中点，考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；

22、空间想象能力，推理论证能力连接 df , ef 因为 d . e 分别为 ab . ob 的中点，所以 de oa ,又 de 平面 aoc20.解法一（1）因为 bd =2 ad =8，ab =4 5，由勾股定理得 bd ad ，因为平面 pad 平面 abcd ，平面 pad 所以 de平面 aoc 因为 e . f 分别为 ob . 所以 ef oc .又 ef 平面 aoc ，所以bc 的中点，平面 abcd = ad ， bd 面 abcd ，所以 bd 平面 padbd 面 mbd ，所以平面 mbd 平面 pad 6 分（2）如图，因为 bd 平面 pad ，所以平面 pbd 平

23、面 pad ，所以 apd =60，做pf ad 于 f ，所以 pf 面 abcd ，pf =2 3 ，设面 pfc 面 mbd = mn ，面 mbd 平面 abcd 所以面 pf / 面 mbd ，所以 pf / mn ，22.ef 平面 aoc ，又ef de =e , ef 平面 def , de 平面 def 所以平面 def 平面 aoc .（i）证明：取 ac 中点 f，连结 of、fb1 1q f是ac中点, o为ce中点, of / ea且of = ea, 又bd / ae且bd = ae2 2取 db 中点 q ，得 cdfq为平行四边形，由平面 abcd 边长得 n 为

24、 fc 中点，所以 mn =12pf = 312of/db，of=db四边形 bdof 是平行四边od/fb 又q fb 平面 abc ，od 平面 abcod/平面 abc。分（ii）db面 abc，又q 平面abde 平面abc，平面abde i 平面abc =abdb 面 abde， db 面 abc，bd/ae，ea面 abc如图，以 c 为原点，分别以 ca、cb 为 x、y 轴，以过点 c 且与平面 abc 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标 系ac=bc=4，c（0，0，0），a（4，0，0），b（0，4，0），d（0，4，2），e（4，0，4）由 o(2,0,2), m (

25、2,2,0), cd =(0,4,2), od =( -2,4,0), md =( -2,2,2) r uuurn md ， n od ，可得，设面 odm 的法向量n =( x, y, z)，则解法二（1）同一（2）在平面 pad 过 d 做 ad 垂线为 z轴，由（1），以d 为原点，da, db 为 x , y 轴建立空间直角坐标系,设平面 pbd-2 x +4 y =0 -2 x +2 y +2 z =0令 x=2，法 向 量 为 u =( x, y , z )， 设 p (2,0, a )， 锐 角 dpad 所 以 a 2 ， 由 u dp =0, u db =0， 解 得 u =

26、( -a,0,2)，得：y =1, z =1, n =(2,1,1)，设直线 cd 和平面 odm 所成角为q。4 a 3pa =(2,0, -a) ， | cos |= = ，解得 a =2 3a 2 +4 2设 pm =lpc ，解得 m (2 -4 l,4 l,2 3 -2 3l)2 3或 a = 2 （舍） 3n cd (2,1,1) (0,4,2)则： sin q =| |=| |=| n | cd | | (2,1,1) | |(0,4,2) |30直线 cd 和平面 odm 所成角正弦值为 .1066 2 530= .10因为面 mbd 平面 abcd， ad bd ，所以面 mbd 法向量为 da =(0,0,4)，所以 da dm =0，解得 l