阿氏圆问题归纳

1、n n阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问 题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点 p 到两定点 a、b 的距离 m m之比等于定比 (1)，则 p 点的轨迹，是以定比 内分和外分定线段 ab 的两个分点的连 线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的pa+kpb，(k1)p 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.pa+kpb,(k1)p 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏

2、圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系 xoy 中，在 x 轴、y 轴分别有点 c(m，0)，d(0，n).点 p 是平面 内一动点，且 op=r，求 pc+kpd 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点 o 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省 略这一步)第二步：连接动点至圆心 o(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接 op、od； 第三步：计算出所连接的这两条线段 op、od 长度；第四步：计算这两条线段长度的比 k；第五步：在 od 上取点 m，使得 om:op=op:od=k；第六步：连接 cm，与圆 o 交点即为

3、点 p此时 cm 即所求的最小值.【补充：若能直接构造似计算的，直接计算，不能直接构 相似计算的，先把 k 提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造相似进行计算】1习题【旋转隐圆】如图，在 abc 中，acb=90，d 为 ac 的中点，m 为 bd 的中点，将线段 ad 绕 a 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 m 为 bd 的中点），若ac=4，bc=3，那么在旋转 过程中，线段 cm 长度的取值范围是_.1.rtabc 中，acb=90，ac=4，bc=3，点 d 为abc 内一动点，满足 cd=2，则 ad+23bd的最小值为_.2.如图，菱形 abcd 的边长为 2，锐角大

4、小为 60，a 与 bc 相切于点 e，在a 上任取一点 p，则 pb+32pd 的最小值为_.3.如图，已知菱形 abcd 的边长为 4，b=60，圆 b 的半径为 2，p 为圆 b 上一动点，则 pd+12pc 的最小值为_.4.如图，点 a，b 在o 上，oa=ob=12,oaob，点 c 是 oa 的中点，点 d 在 ob 上，od=10.动点 p 在o 上，则 pc+12pd 的最小值为_.5.如图，等边abc 的边长为 6，内切圆记为o，p 是圆上动点，求 2pb+pc 的最小值.6.如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为o，p 是圆上的动点，求2pa+pb 的最小值.7.如图，边

5、长为 4 的正方形，点 p 是正方形内部任意一点，且 bp=2，则 pd+12pc 的最小值为_；2pd+4pc 的最小值为_.8.在平面直角坐标系 xoy 中，a(2，0)，b(0,2)，c(4，0)，d(3，2)，p 是aob 外部的第一 象限内一动点，且bpa=135，则 2pd+pc 的最小值是_.29.在abc 中，ab=9，bc=8，abc=60，a 的半径为 6，p 是a 上的动点，连接 pb、pc， 则 3pc+2pb 的最小值为_.10.如图，在 abc 中，a=30，ac=8，以 c 为圆心，4 为半径作c (1)试判断c 与 ab 的位置关系，并说明理由；(2)点 f 是

6、c 上一动点，点 d 在 ac 上且 cd=2，试说明 fcdacf；(3)点 e 是 ab 上任意一点，在(2)的情况下，试求出 ef+12fa 的最小值.11.(1)如图 1，已知正方形 abcd 的边长为 4，圆 b 的半径为 2，点 p 是圆 b 上的一个动点，求 pd+1 1pc 的最小值和 pd- pc 的最大值； 2 2(2)如图 2，已知正方形 abcd 的边长为 9，圆 b 的半径为 6，点 p 是圆 b 上的一个动点，那么 pd+2 2pc 的最小值为_，pd- pc 的最大值为_ 3 3(3)如图 3，已知菱形 abcd 的边长为 4，b=60，圆 b 的半径为 2，点

7、p 是圆 b 上的一个动点，那么 pd+1 1pc 的最小值为_，pd- pc 的最大值为_. 2 2312.问题提出：如图 1，在 abc 中，acb=90，cb=4，ca=6，c 半径为 2，p 为圆上一动点，连结 ap、bp，求 ap+12bp 的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接 cp，在 cb 上取点d，使 cd=1，则有cd cp 1 pd 1 = = ，又pcd=bcp，pcd bcp = ，cp cb 2 bp 21 1pd= bp，ap+ bp=ap+pd2 2请你完成余下的思考，并直接写出答案：ap+12bp 的最小值为_1(2)自主

8、探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， ap+bp 的最小值为_3(3)拓展延伸：已知扇形 cod 中，cod=90，oc=6，oa=3，ob=5，点 p 是弧 cd 上一点，求 2pa+pb 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图 1，抛物线 y=ax+(a+3)x+3（a0）与 x 轴交于点 a（4，0），与 y 轴交于点 b，在 x 轴上有一动点 e（m，0）（0m4），过点 e 作 x 轴的垂线交直线 ab 于点 n，交抛物线 于点 p，过点 p 作 pmab 于点 m(1)求 a 的值和直线 ab 的函数表达式；(2)设pmn 的周长为 c1，aen 的周长为 c2，若c

9、61 =c 52，求 m 的值；(3)如图 2，在（2）条件下，将线段 oe 绕点 o 逆时针旋转得到 oe，旋转角为（090），连接 ea、eb，求 ea+23eb 的最小值4问题背景：如图 1，在abc 中，bc=4，ab=2ac问题初探：请写出任意一对满足条件的 ab 与 ac 的值：ab=_，ac=_ 问题再探：如图 2，在 ac 右侧作cad=b，交 bc 的延长线于点 d，求 cd 的长 问题解决：求abc 的面积的最大值51.小明的数学探究小组进行了系列探究活动类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形 探索理解：(1)如图 1，已知 a、b、c

10、 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法 画出格点 d，连接 da、dc，使四边形 abcd 为邻等四边形；尝试体验：(2)如图 2，邻等四边形 abcd 中，ad=cd，abc=120，adc=60，ab=2，bc=1，求四边 形 abcd 的面积解决应用：(3)如图 3，邻等四边形 abcd 中，ad=cd，abc=75，adc=60，bd=4小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3 条件的邻等四边形，要求尽可能节约你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求 出此时四边形 abcd 面积的最小值；如果不能，请说明理由2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)如图 1，在四边形 abcd 中，添加一个条件使得四边形 abcd