实数知识点归纳及典型例题

1、第十三章实数 -知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，a 叫做规定：0 的算术平方根是 0.也就是，在等式 x 2 =a(x0)中，规定x =a。理解： x 2 =a(x0)x =aa 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x2. a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；当 a 不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。3. 当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4. 夹值法及估计一个（无

2、理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的即：如果，那么 x 叫做 a 的 理解： x 2 =a x = aa 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的平方根 a 的平方根是 x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义。3.平方与开平方：3 的平方等于 9，9 的平方根是34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数 a 的正的平方根可用a表示，a也是 a 的算术平方根；正数 a 的负的平方根可用- a 表示6.平方根和算术平方根两

3、者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 三、立方根1.立方根的定义：如果的等于 a ，这个数叫做 a 的（也叫做），即如果，那么 x 叫做 a 的立方根。2.一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中 a 叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。理解： x3=a x =3 aa 是 x 的立方 x 的立方是 ax 是 a 的立方根 a 的立方根是 x3.一个正数有一个正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方

4、根。4.利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3-a =-3a (a0)。四、实数1.有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数3.实数的定义：有理数和无理数统称为实数4.像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33， p 是正无理数，-2，-3 3，-p是负无理数。由于非 0 有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：5.实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有

5、些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都是表示一个实数。与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 226. 数 a 的相反数是 -a ，这里 a 表示任意一个实数。7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。8.无限小数是有理数（）无限小数是无理数（）有理数是无限小数（）无理数是无限小数（）数轴上的点都可以用有理数表示（）有理数都可以由数轴上的点表示（）数轴上的点都可以用无理数表示（）无理数都可以由数轴上的点表示（）数轴上的

6、点都可以用实数表示（）实数都可以由数轴上的点表示（） 五、考点分析类型一、有关概念的识别例 1下面几个数：0.1237,1.010010001l ，-30.064，3p， ，5 ，其中，无理数的个数有7a、1 b、2 c、3 d、4【变式 1】下列说法中正确的是（）a、 81 的平方根是3 b、1 的立方根是1 c、 1 =1d、 - 5 是 5 的平方根的 相反数【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 a，则点 a 表示的数是（）a、 b、 c、类型二、计算类型题例 2设 26 =a ，则下列结论正确的是（）2d、

7、 3，a.举一反三：. d.【变式 1 】1 ）的算术平方根是 _ ；平方根是） -27 立方根是）_， _， _.【变式 2】求下列各式中的（1） x2=25（2） (x-1)2=9（3） x3=-64类型三、数形结合例 3.点 a 在数轴上表示的数为 3 5 ，点 b 在数轴上表示的数为 2，则 a，b 两点的距 离为_举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示 1，为 c，则点 c 表示的数是（）2的对应点分别为 a，b，点 b 关于点 a 的对称点a 2 -1b1 - 2 c 2 - 2 d 2 -2 类型四、实数非负性的应用例 4已知 (x-6)2+ 2 x -6 y + y +2 z

8、=0求 (x-y)3-z3 的值。， 【变式 1】已知 a -2 +(b+5)2+c+1=0 求 a +b -c的值。类型五、易错题例 5判断下列说法是否正确（1） (-3)2的算术平方根是-3（） （2）225的平方根是15（）（3）当 x=0 或 2 时， x x -2 =0（） （4）32是分数（）类型六、实数应用题例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个 面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。类型七、引申提高例 7.把下列无限循环小数化成分数： 0.6 0.23 0.107一、填空题1、（）2的平方根是2、若 a 2=25

9、, b =3,则 a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a2 和 a4，则 a 的值是4、 3 -p+4 -p_5、若 m、n 互为相反数，则 m - 5 +n_6、大于-，小于的整数有 _个。2777、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=，x=。二、选择题1、以下语句及写成式子正确的是（）a、7 是 49 的算术平方根，即49 =7b、7是( -7)的平方根，即( -7)2=7c、 是 49 的平方根，即49 =7d、 是 49 的平方根，即49 =72、下列语句中正确的是（）a、 -9 的平方根是 -3 b、 9 的平方根是 3c、 9的算术平方根是 3d、 9的算术平方根是 33、下列语句中正确的是（）a、任意算术平方根是正数 b、