1.6三角函数模型的简单应用(1)

1、 备注：备注： 三角函数模型三角函数模型三角函数关系三角函数关系 简单应用简单应用学以致用，解决生活中的实际问题学以致用，解决生活中的实际问题 函数模型的应用示例 2、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动 智力变化状况智力变化状况 血压变化状况血压变化状况 3、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律 月圆与月缺月圆与月缺 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮 车轮转动车轮转动 sin() cos() tan() (0,0) yAx yAx yAx A 正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx 余弦函数余弦函数y=cosxy=cosx 正切函数正切函数y=t

2、anxy=tanx 1 1、物理情景、物理情景 简单和谐运动简单和谐运动 星体的环绕运动星体的环绕运动 如图，某地一天从如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似时的温度变化曲线近似 满足函数满足函数 （）求这一天（）求这一天614时的最大温差；时的最大温差； （）写出这段曲线的函数解析式；（）写出这段曲线的函数解析式； （3）求出）求出8时的近似温度。时的近似温度。 bxAysin 注意注意一般的，所求一般的，所求 出的函数模型只能出的函数模型只能近似地近似地 刻画这天刻画这天某个时段某个时段的温度的温度 变化情况，因此要特别注变化情况，因此要特别注 意自变量的变化范围。意自变量的变化范围。

3、 例题例题1 o108612 14 10 20 30 t/h T/oC 例题例题2 分析：分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为 南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由 画图易知画图易知 A B C h0 如果在宁波地区（纬度数约是北纬如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为）的一幢高为ho 的楼房的楼房北面北面盖一新楼，要使新楼一层盖一新楼，要使新楼一层正午正午的太阳的太阳全年全年不不 被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ P P 解：解：图中、分别为

4、太阳直射北回归线、赤道、南回图中、分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况 来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于。 根据太阳高度角的定义有根据太阳高度角的定义有 所以所以 即在盖楼时，即在盖楼时， 为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。倍的间距。 90|3023 26 )| 36 34C （ 00 0 1.

5、35 tantan36 34 hh PCh c A B C h0 P P 将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚: 理解题意理解题意 建立三角建立三角 函数模型函数模型 求解求解 还原解答还原解答 一半径为一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面距离水面2m， 已知水轮每分钟转动已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点圈，如果当水轮上点P从水中浮现时从水中浮现时 开始计算时间。开始计算时间。 （1）将点）将点P距离水面的高度距离水面的高度z(m)表示为时间表示为时间t(s)的函数；的函数； （2）点）点P第一次到达最高点大约要多

6、长时间？第一次到达最高点大约要多长时间？ 例题例题3 x y 解解(1)(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。 设角设角 。 由由OPOP在在t(s)t(s)内所转过的角为内所转过的角为 ， 可知以可知以OxOx为始边，为始边，OPOP为终边的角为为终边的角为 ， 故点故点P P的纵坐标为的纵坐标为 ，则，则 (0) 2 P Ox 4 22 () 6015 tt 2 15 t 2 3sin() 15 t 2 3sin()2 15 zt 当当t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 . . 2 sin 3 因为 ,所以 . 0 2

7、0.73 故所求函数关系式为故所求函数关系式为 . . 2 3sin(0.73)2 15 zt (2)(2)令令 , ,得得 . . 2 3sin(0.73)25 15 zt 2 sin(0.73)1 15 t 取取 , ,解得解得 . . 2 0.73 152 t 5.5t 即点即点P P第一次到达最高点大约要第一次到达最高点大约要5.5S.5.5S. x y 解解(1)(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。 设角设角 是以是以OxOx为始边，为始边，OPOP 为终边的角。 为终边的角。 由由OPOP在在t(s)t(s)内所转过

8、的角为内所转过的角为 ， 可知以可知以OxOx为始边，为始边，OPOP为终边的角为为终边的角为 ， 故点的纵坐标为故点的纵坐标为 ，则，则 (0) 2 4 22 () 6015 tt 2 15 t 2 3sin() 15 t 2 3sin()2 15 zt 当当t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 . . 2 sin 3 因为 ,所以 . 0 2 0.73 故所求函数关系式为故所求函数关系式为 . . 2 3sin(0.73)2 15 zt (2)(2)令令 , ,得得 . . 2 3sin(0.73)25 15 zt 2 sin(0.73)1 15 t 取取 , ,解得解得 . . 2

9、0.73 152 t 5.5t 即点即点P P第一次到达最高点大约要第一次到达最高点大约要5.5S.5.5S. y 小结: 1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型模型,可以用来研究很多问题可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函我们可以通过建立三角函 数模型来解决实际问题数模型来解决实际问题,如天气预报如天气预报,地震预测地震预测,等等等等. 2.建立三角函数模型的一般步聚建立三角函数模型的一般步聚: 现实问题现实问题 现实模型现实模型 改改 造造 三角函数模型三角函数模型 抽象抽象 概括概括 解析式解析式 图图 形形 三角函数模

10、型的解三角函数模型的解 数学数学 方法方法 还原还原 说明说明 现实模型的解现实模型的解 是否符合实际是否符合实际 修改修改 体验探究体验探究 1 1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？、你能一刀削出一条正弦曲线吗？ 提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上 几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开， 你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。 你知道吗？你知道吗？ 这条曲线就是这条曲线就是正弦曲线正弦曲线！ 2 2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象 编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？ 返回返回 太阳高度角的定义 如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地 纬度值为纬度值为 ， 正午太阳高度角为正午太阳高度角为 ， 此时太阳直