1.4.1角平分线的性质与判定

1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 1.4 1.4 角平分线角平分线 第第1 1课时课时 角平分线的性角平分线的性 质与判定质与判定 1 课堂讲解课堂讲解角平分线的性质角平分线的性质 角平分线的判定角平分线的判定 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 角平分线的定义是什么？它有哪些性质？角平分线的定义是什么？它有哪些性质？ 复复习习回回顾顾 1知识点知识点角平分线的性质角平分线的性质 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得 到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流到的？请你尝试证明这性质，并与同

2、伴交流. 知知1 1导导 归归 纳纳 知知1 1导导 （来自（来自点拨点拨） 定理定理角平分线上的点到这个角的两边的距角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等离相等. 知知1 1讲讲 已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上， PD丄丄OA, PE丄丄OB,垂足分别为垂足分别为D，E. 求证：求证：PDPE. （来自（来自教材教材） 例例1 知知1 1讲讲 （来自（来自教材教材） PD丄丄OA，PE丄丄OB,垂足分别为垂足分别为D，E， PDOPEO90. 12, OPOP PDO PEO ( AAS ). PDPE (全等三角形的对应边相等全等三角形的对

3、应边相等). 证明：证明： 知知1 1讲讲 （来自（来自教材教材） 1性质定理：性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 要点精析：要点精析：(1)点一定要在角平分线上；点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； (3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等角平分线的性质可用来证明两条线段相等 2书写格式：书写格式：如图，如图， OP平分平分AOB，PDOA于点于点D， PEOB于点于点E, PDPE. 3易错警示：易错警示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两易找错距离

4、，误以为角平分线上的点到角的两 边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离 知知1 1讲讲 例例2 （来自（来自教材教材） 如图如图,在在ABC中，中，BAC60，点，点D在在BC上，上， AD10，DE丄丄AB， DF丄丄AC ，垂足分别为，垂足分别为E， F，DEDF，求，求DE的长的长. 知知1 1讲讲 解：解：DE丄丄AB, DF丄丄AC，垂足分分别为，垂足分分别为E，F, 且且DEDF， AD平分平分BAC (在一个角的内部，到角的两在一个角的内部，到角的两 边边 距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上

5、）. 又又BAC60， BAD30. 在在 RtADE中，中，AED90，AD10， DEAD 105 (在直角三角形中，如在直角三角形中，如 果果 一个锐角等于一个锐角等于30. 那么它所对的直角边等于那么它所对的直角边等于 斜斜 边的一半边的一半). 1 2 1 2 知知1 1讲讲 如图，在如图，在ABC中，中，C90，AD平分平分CAB， DEAB于于E，F在在AC上，上，BEFC， 求证：求证：BDDF. （来自（来自点拨点拨） 例例3 导引：导引： 要证要证BDDF，可考虑证两，可考虑证两 线段所在的线段所在的BDE和和 FDC全等，两个三角形全等，两个三角形 中已有一角和一边相等，

6、中已有一角和一边相等， 只要再证只要再证DECD即可，这即可，这 可由可由AD平分平分CAB及垂直及垂直 条件证得条件证得 知知1 1讲讲 （来自（来自教材教材） AD平分平分CAB，DEAB于于E，C90， DEDC. 在在BDE和和FDC中，中， BDE FDC. BDDF. 证明：证明： EDCD DEBC BEFC ， ， ， 总总 结结 （来自（来自点拨点拨） 由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段 相等，这是证线段相等的一个简捷方法相等，这是证线段相等的一个简捷方法 知知1 1讲讲 (2016莆田莆田)如图，如图，OP是是AOB的平分线，点

7、的平分线，点C，D 分别在角的两边分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能上，添加下列条件，不能 判定判定POC POD的选项是的选项是() APCOA，PDOB BOCOD COPCOPD DPCPD 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） 如图，如图，OP平分平分AOB，PAOA，PBOB，垂，垂 足分别为足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是下列结论中不一定成立的是() APAPB BPO平分平分APB COAOB DAB垂直平分垂直平分OP 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） 3如图，在如图，在ABC中，中，C90，ACB

8、C，AD平平 分分CAB交交BC于于D，DEAB于于E，若，若AB6 cm， 则则DBE的周长是的周长是() A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） 4(2016湖州湖州)如图，如图，ABCD，BP和和CP分别平分分别平分 ABC和和DCB，AD过点过点P，且与，且与AB垂直若垂直若AD 8，则点，则点P到到BC的距离是的距离是() A8 B6 C4 D2 2知识点知识点角平分线的判定角平分线的判定 知知2 2导导 想一想想一想 你能写出角平分线定理的逆命题吗？它是真命题吗？你能写出角平分线定理的逆命题吗？它是真命题吗？ （来自（来自教材教材

9、） 归归 纳纳 知知2 2导导 （来自（来自点拨点拨） 定理定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点、 在这个角的平分线上在这个角的平分线上. 知知2 2导导 证明过程：证明过程： 已知：如图已知：如图,点点P为为AOB内一点，内一点，PD丄丄OA, PE丄丄OB, 垂足分别为垂足分别为D，E，且，且PDPE 求证：求证：OP平分平分AOB. （来自（来自教材教材） PD丄丄OA, PE丄丄OB,垂足分别为垂足分别为D，E， ODPOEP90， PDPE，OPOP， RtDOP RtEOP ( HL ). 12 (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对

10、应角相等）. OP平分平分AOB. （来自（来自点拨点拨） 证明：证明： 知知2 2导导 知知2 2讲讲 1判定定理：判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相在一个角的内部，到角的两边的距离相 等的点在这个角的平分线上等的点在这个角的平分线上 (1)书写格式：书写格式：如图，如图， PDOA，PEOB，PDPE, 点点P在在AOB的平分线上的平分线上 (或或AOCBOC) (2)作用：作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相等运用角平分线的判定，可以证明两个角相等 或一条射线是角的平分线或一条射线是角的平分线 （来自（来自点拨点拨） 2角平分线的判定定理与性质定理的关系：角平分线的判定定

11、理与性质定理的关系： (1)如图，都与距离有关：即条件如图，都与距离有关：即条件PDOA，PEOB都都 具备；具备； (2)点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等 （来自（来自点拨点拨） 性性质质 判判定定 知知2 2讲讲 知知2 2讲讲 如图，已知如图，已知BECF，DFAC于点于点F，DEAB于于 点点E，BF和和CE相交于点相交于点D. 求证：求证：AD平分平分BAC. （来自（来自点拨点拨） 例例4 导引：导引： 要证要证AD平分平分BAC，已知条件，已知条件 中有两个垂直，即有点到角的中有两个垂直，即有点到角的 两边的距离，再证这两个距离两边的距离，再

12、证这两个距离 相等即可证明结论，证这两条相等即可证明结论，证这两条 垂线段相等，可通过证明垂线段相等，可通过证明 BDE和和CDF全等来完成全等来完成 知知2 2讲讲 DFAC于点于点F，DEAB于点于点E， DEBDFC90. 在在BDE和和CDF中，中， BDE CDF(AAS) DEDF. 又又DFAC于点于点F，DEAB于点于点E， AD平分平分BAC. （来自（来自点拨点拨） 证明：证明： BDECDF DEBDFC BECF ， ， ， 总总 结结 知知2 2讲讲 （来自（来自点拨点拨） 判定角平分线有两步：判定角平分线有两步：(1)找出与角的两边都垂找出与角的两边都垂 直的垂线段

13、；直的垂线段；(2)证明两条垂线段相等证明两条垂线段相等, 知知2 2讲讲 如图，在如图，在ABC中，中，ABC100，ACB20， 点点E在在ACB的平分线上，的平分线上，D是是AC上一点，若上一点，若 CBD20，求，求ADE的度数的度数 （来自（来自点拨点拨） 例例5 知知2 2讲讲 如图，作如图，作ENCA于点于点N，EMBD于点于点M，EPCB交交CB 的延长线于点的延长线于点P， 因为因为ABDABCCBD1002080， PBA18010080， 所以所以PBAABD. 因为因为EMBD于点于点M， EPCB于点于点P，所以，所以 EPEM. 又因为点又因为点E在在ACB的平分线

14、上，的平分线上，ENCA，EPCB， 所以所以ENEP.所以所以ENEM.所以所以DE平分平分ADB. 解：解： 知知2 2讲讲 因为因为ADBACBCBD40， 所以所以ADE ADB 4020. （来自（来自点拨点拨） 1 2 1 2 总总 结结 知知2 2讲讲 （来自（来自点拨点拨） 通过证明角平分线，再利用角的和差关系求角通过证明角平分线，再利用角的和差关系求角 是一种求角度问题的常用方法；而是一种求角度问题的常用方法；而“到角的两边到角的两边 距距 离相等的点在角的平分线上离相等的点在角的平分线上”又是证明角的平分又是证明角的平分 线线 的一种重要方法；因此在涉及角平分线问题时，的一

15、种重要方法；因此在涉及角平分线问题时， 常常 常过角平分线上一点作角的两边的垂线常过角平分线上一点作角的两边的垂线 如图，在如图，在CD上求一点上求一点P，使它到边，使它到边OA，OB的距的距 离相等，则点离相等，则点P是是() A线段线段CD的中点的中点 BCD与过点与过点O作作CD的垂线的垂线 的交点的交点 CCD与与AOB的平分线的的平分线的 交点交点 D以上均不对以上均不对 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 2如图，如图，ADOB，BCOA，垂足分别为，垂足分别为D，C， AD与与BC相交于点相交于点P，若，若PAPB，则，则1与与

16、2的的 大小关系是大小关系是() A12 B12 C12 D无法确定无法确定 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 3如图，在如图，在ABC中，分别与中，分别与ABC，ACB相邻的相邻的 外角的平分线相交于点外角的平分线相交于点F，连接，连接AF，则下列结论正，则下列结论正 确的是确的是() AAF平分平分BC BAF平分平分BAC CAFBC D以上结论都正确以上结论都正确 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 4(2015永州永州)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCD， BA和和CD的延长线交于点的延长线交于点E，若点，若点P使得使得S PAB S PCD，则满足此条件的点 ，则满足此条件的点P() A有且只有有且只有1个个 B有且只有有且只有2个个 C组成组成E的平分线的平分线 D组成组成E的平分线所在的的平分线所在的 直线直线(E点除外点除外) 角的平分线的性质与判定定理的关系：角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备都与距离有关，即垂直的条件都应具备 (2