2用“不等价转化”解题

1、用“不等价转化”解题等价转化思想是一种重要的数学思想，在解题中的作用往往体现在化复杂为 简单、化陌生为熟悉，并且通过等价转化的结果是不需要检验的.但在数学解题中，有很多悄形不易、不宜、甚至是不可能进行等价转化（比 如，解超越方程、解超越不等式、由递推式求数列通项公式等等），这时只有“退 而求其次”，可以考虑用“不等价转化”的方法来解题：常见的方法有“先必要后 充分”和“先充分后必要”.下面通过例题的解答来阐述这两种解题方法.1 “先必要后充分”例1 若函数/（X）= 丄（口2x-a 2为正常数）是奇函数，则a的取值范圉是.解1若用等价转化来求解，就要对/（一 x） = fM进行一系列的等价变形

2、，再山得到的恒等式求出正常数a的取值范圉其中的运算 量较大且复杂.但我们可以运用“先必要后充分”的方法来求解：函数/（兀）的定义域是（-oojog2a）u（log2a5+oo）,而奇函数的定义域关于原点对称，所以log2a = 0,a = l接下来，还可验证当 = 1时，函数/（兀）是奇函数：1 1 12/ +=+-1=!+八21272X-11-2所以所求a的取值范围是1例2（2013年高考江苏卷第14题）在正项等比数列伽中，由=丄2,a6+a7 = 3,则满足al + a2 + + anala2*+anala2*222接下来，若再进行等价转化求出其解集，必将不易.但我们可以运用“先必要后充分

3、”的方法来求解:由,可得N*）N*）n2 也即211 1）,所以满足题设的最大正整数n的值为12.例3（2012年高考浙江卷理科第17题）设R，若x 0 时均有（Q - 1）X - 1（X2 _ 仮 _ 1） 0 ，贝IJ解可得当（。_1）兀_1x2 -ax-1时，与 的值互为相反数，所以令后，可得还可检验3 a = 2 满足题意，所以3 a = 2例4(2013年高考全国大纲卷文科第21题)已知函数f(x) =x3 + 3ax2 + 3x+1.当a=-时，讨论f(x)的单调性;(2)若xW2, +8)时，f(x)$0,求a的取值范围.解略.(2)由fM0,得心一5-4 5-4,xe (2,

4、+8)时:F (x)=3(x2 + 2ax+l)3GT(x-2)0所以f（x）在（2, +8）上是增函数. 于是当 xW2, +8）时,f（x）Mf MO.综上所述，可得3的取值范围是+5-4*例5（2012年高考新课标全国卷文科第21题）设函数f（x） = cx-ax-2求的单调区间；若为整数，且当时，,求的最大值.解（1）减区间是,增区间是/(兀)a = l.kx0(x-A)/V) + x+l0k(-oojnci)(In a0(x0)恒成立.接下来，若再进行等价转化（比如，分离常数后求相应函数的最值），可能不 易解决（因为求最值时需要求导函数的零点，很可能求不出来）.但我们可以运用“先必要

5、后充分”的方法来求解:由时成立，得,所以整数.还可证时成立：设，得因为,所以所以所求的最大值是2.x = 1M2g(x) = xex-2ex+3(x0)gXx) = (x-lK(x0)g(Qmin 二g(l)= 3-C0例6 已知函数设阴凹1（2 0）时,x0h(x) k(x eZ)恒成立，求k的最大值.解可得O e2.5 V6,e5 e4 36 27,5 31n3,l + ln3 3,所以由3A(2) = -(l + ln3) k(x 0)恒成立，得4 A(2) k(k gZ),所以k 3(x 0)恒成立(过程略).所以所求k的最大值是3.例7 设f(x) = a2nx-x7 十ar(d0)

6、(1)求函数,/X)的单调区间;(2)求使e-l 0）X当X变化时，的变化情况如下表所示：X(0,G)a（G,+X）)+0广（兀）/极大值所以函数/（兀） 的单调增区间是（0山） ，减区间是（匕+x）（2）若对题设“e-le-l,dfc再lll(l)的答案知，函数/(兀) 在册 上单调递增，所以使e-l W f (x) e3 对恒成立/(l) = -le-l f (e) = tz2-e2+ae-2时，/W W kg(x)恒成立”进行等价转化， 值，过程会较复杂.则需分离常数并分类讨论，求相应函数的最大值或最小但我们可以运用“先必要后充分”的方法来求解:由x = 2时fMkg(x)成立，得k -

7、2时h(x) = 2kcx(x +1) -宀 4x - 2 2 0(1 S 比 J)得畑= 2(x+2XQ-1),令hf(x) = 0,得x = -lnR(l“ 2)进而还可得：函数h(x)(x -2)的最小值In ) = (2-In 約 InA 0,所以所求k的取值范围是be2例9 （南京市、盐城市2012届高三年级第三次模拟考试数学试题第14题）若不等式ax -lnx| 1对任意兀 w (0,1都成立，则实数a的取值范用是解由x = l时成立，得d 5 1或a这就是所求的一个必要条件再山此进行分类讨论，即可获得答案./(x) = dx-lnx(O xl)rw=ii(oxi)X当时，可得是减

8、函数，所以,得的值域是又,所以,得此时不满足题意.a-rO(Oxl),/(x)/(xU =/(D =.Ax)匕+8)a0)例10已知椭圆G：73的离心率为,短半轴长为1.(1) 求椭圆G的方程；(2) 设椭圆G的短轴端点分别为，点P是椭圆G上异于点A.B的一动点，直线P4PB分别与直线x = 4 于两点，以线段MN为直径作圆当点轴左侧时，求圆 半径的最小值；是否存在一个圆心在X轴上的定圆与圆C相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理山.解(1)椭圆G的方程为4丿(2)设心”儿)(xoe-2?O)u(O,2J),得所以直线PA的方程为y 1-坯一令x = 4,得%宀+1同理可得Q|A/A

9、T|=|2- |所以圆c半径4 z厂=111 (一2 x0 0)得当且仅当% = 2 时，圆C的半径最小且最小值为3.当点P 在左端点时，可得M(4,3),N(4 厂 3),所以此时圆 C的方程为(x- 4)2+/=9当占I八P 在右端点时，可得M(4 厂 1)(4,1),所以此时圆 的方程为(X- 4)?+ /= 1所以所求的定圆若存在，则只可能是（4 2）2 + /= 1 或（X_6）2=1可证这两个圆均满足题意下面只对前者给予证明.山知圆C的半径41厂 2 0旺41,0 5 2因为9C（4,纽）,圆的圆心坐标为,所以圆心距d = （4 - 2）2 + （学）;41勺14TV% 兀04,0

10、 v5 2当时，此时定圆与圆内切；当时，此时定圆与圆外切；-2? x0 044d= r- R= 0)- 1=00./ 妙ag(x) = /(x)-ar = ( + l)ln(x + l)-ar(x 0)g(x)g(0)(x0)g(XKx n o)gG)nogo)g(x) = ln(j+1)+1-a(x 0)g)(沦 0)g(o)=ma 1心)时，0,即在(0,e7)上是减函数，得g(x)g(0) = 0(0x0,都有./ 近,求实数a的取值范围.解设g(x) = /(x)-or = ，-尸-axx 0),得题设即g g(0)(x 0)恒成立.所以当g(xgO)是增函数即 gx)0(x0) 恒成

11、立时满足题设.得推)=“+宀心2 0)由均值不等式，可得ggn亠畑) ，所以当aQ(xQ)恒成立即g(XXx、0) 是增函数，得此时满足题设.当a2时：可得当I a-l a 2 -4xe 0,! 2XZ时，/0,即心)在n a-ya-4-上是减函数，得g(x)g(0) = 0 o(),都有f(x)W ax,求实数a的取值范围.解设gd) 一 fM 血一 c么(兀 )/ 4- cos r,得得题设即厶 1 KJ VJOg Sg(O)gO)恒成立.所以当gOXx 0)是减函数即gf(x)0)恒成立时满足题设.廿、 2cosx + la(x 0)可求得恒成立即是减函数，得此时满足题设.时：可得当(其

12、中)时,上是增函数，得,即此时不满足题意.所以所求的取值范围是X-Omax=|-(xo)gx)0)g(X(x 0)1a0(0“)g(x)g(0) = 0(0xa)例14(2015年高考北京卷理科第18 (3)题)设实数使得(0,1)1 +兀. k 1 一兀(0xg(O)(O2时，可得gz (x) =(盯2) r7?所以当0x时，gf (x)0,因此g(x)在区间上单调递减.时,g(x)0时，都有/0,求a 的取值范围.解题意即“若-1 - ar 0(x 0)恒成立，求a的取值范围”，也即“若ex -l-arO(xO)恒成立，求a 的取值范围”.设g(x) = ex-l - ax(x 2 0),

13、得题设即g g(0)(x 0)恒成立.所以当g(x)(x 0)是增函数即恒成立时满足题设.gr(x)0(x0)得,且是增函数，所以当即时满足题设.gz(x) = ex -tz(x0)gF(0) = l-a0a1心)Inax w (OJna)axo(0, Im)g(x) g(0) = 0(0x 0时， o,求a的取值范用.解题设即/(x)/(OXx0)恒成立.所以当/(x)(x0)是增函数即/V)0(x0)恒成立时满足题设.可得fx)-cx-l-2ax因为.m=o,所以rwr（o）（xo）时满足题设.所以当f(go)是增函数即/v）o（o）恒成立时满足题设.可得,且是增函数，所以当即时满足题设.

14、当时，得函数的零点为,且当时，,即在上是减函数，得,所以,即此时不满足题意.所以所求的取值范围是/(x) = c - 2a(x 2 0)rw(xo)/70) = l-2a01a 2PMn(2a)xg (0,ln(2a)ruxo(0,ln(2a)/V)A0) = 0(0xln(2a)例17 设函数f(x) f(O) = 0(0x 0 时，fM o 恒成立，求a 的取值范围.解法1 题设即 /(x)/(0)(x0) 恒成立.所以当/(QgO) 是增函数即7V)0(x0) 恒成立时满足题设.可得f(x = ex + cos x - 2 - 2ax因为 r(o)=o ,所以/3)(0)g0) 时满足题设.所以当广 3go) 是增函数即ro(xo) 恒成立时满足题设.可得/r(x) = ex-sinx-2a可求得/m(x) =ex-cosx 0(x 2 0),所以ruo)是增函数，得r(A-)roin=i-2(xo),所以当ao(o)恒成立即八兀）（沦0）是增函数，得此时满足题设.时，由/*(0) =l-2ae2a-l-2a0（因为用导数可证ez-Z-l0(/eR）,所以存在旺0使得r（）=o,且/u）r（o）=o（oxx0）,即f(x)(Oxxo)是减函数，再得f(x)/(0)