2020-2021中考数学平行四边形综合题含答案解析

1、2020-2021 中考数学平行四边形综合题含答案解析一、平行四边形1四边形 abcd 是正方形，ac 与 bd，相交于点 o，点 e、f 是直线 ad 上两动点，且 ae=df，cf 所在直线与对角线 bd 所在直线交于点 g，连接 ag，直线 ag 交 be 于点 h （1）如图 1，当点 e、f 在线段 ad 上时，求证： dag= dcg；猜想 ag 与 be 的位 置关系，并加以证明；（2） 如图 2，在（1）条件下，连接 ho，试说明 ho 平分 bhg；（3） 当点 e、f 运动到如图 3 所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接 写出 bho 的度数【答案】（1）证

2、明见解析；agbe理由见解析；（2）证明见解析；（3） bho=45【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得 da=dc， adb= cdb=45，则可根据“sas”证明 adg cdg，所以 dag= dcg；根据正方形的性质得 ab=dc， bad= cda=90，根据“sas”证 abe dcf，则 abe= dcf，由于 dag= dcg， 所以 dag= abe，然后利用 dag+ bag=90得到 abe+ bag=90，于是可判断 agbe；（2） 如答图 1 所示，过点 o 作 ombe 于点 m，onag 于点 n，证 aon bom， 可得四边形 omhn 为正方形，因此

3、 ho 平分 bhg 结论成立；（3） 如答图 2 所示，与（1）同理，可以证明 agbe；过点 o 作 ombe 于点 m， onag 于点 n，构造全等三角 aon bom，从而证明 omhn 为正方形，所以 ho 平分 bhg，即 bho=45试题解析：（1） 四边形 abcd 为正方形， da=dc， adb= cdb=45，adg cdg 中， adg cdg（sas）， dag= dcg；agbe理由如下： 四边形 abcd 为正方形， ab=dc， bad= cda=90，abe 和 dcf 中， abe dcf（sas）， abe= dcf， dag= dcg， dag= ab

4、e， dag+ bag=90， abe+ bag=90， ahb=90， agbe；（2）由（1）可知 agbe如答图 1 所示，过点 o 作 ombe 于点 m，onag 于点 n，则四边形 omhn 为矩形 mon=90，又 oaob， aon= bom aon+ oan=90， bom+ obm=90， oan= obmaon 与 bom 中， aon bom（aas） om=on， 矩形 omhn 为正方形， ho 平分 bhg（3）将图形补充完整，如答图 2 示， bho=45与（1）同理，可以证明 agbe过点 o 作 ombe 于点 m，onag 于点 n，与（2）同理，可以证

5、aon bom，可得 omhn 为正方形，所以 ho 平分 bhg， bho=45考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2如图，平面直角坐标系中，四边形 oabc 为矩形，点 a，b 的坐标分别为（4，0）， （4，3），动点 m，n 分别从 o，b 同时出发以每秒 1 个单位的速度运动其中，点 m 沿 oa 向终点 a 运动，点 n 沿 bc 向终点 c 运动过点 m 作 mpoa，交 ac 于 p，连接 np，已知动点运动了 x 秒（1） p 点的坐标为多少（用含 x 的代数式表示）；（2） 试 npc 面积 s 的表达式，并求出面积 s 的最大值及相应的 x

6、 值；（3） 当 x 为何值时 npc 是一个等腰三角形？简要说明理由【答案】（1）p 点坐标为（x，3x）（2）s 的最大值为，此时 x=2（3）x=，或 x=，或 x=【解析】试题分析：（1）求 p 点的坐标，也就是求 om 和 pm 的长，已知了 om 的长为 x，关键是 求出 pm 的长，方法不唯一，可通过 pm oc 得出的对应成比例线段来求；也可延长 mp 交 bc 于 q，先在直角三角形 cpq 中根据 cq 的长和 acb 的正切值求出pq 的长，然后根据 pm=abpq 来求出 pm 的长得出 om 和 pm 的长，即可求出 p 点的 坐标（2） 可按（1）中的方法经求出 p

7、q 的长，而 cn 的长可根据 cn=bcbn 来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出 s，x 的函数关系式（3） 本题要分类讨论：1 当 cp=cn 时，可在直角三角形 cpq 中，用 cq 的长即 x 和 abc 的余弦值求出 cp 的表 达式，然后联立 cn 的表达式即可求出 x 的值；2 当 cp=pn 时，那么 cq=qn，先在直角三角形 cpq 中求出 cq 的长，然后根据 qn=cn cq 求出 qn 的表达式，根据题设的等量条件即可得出 x 的值3 当 cn=pn 时，先求出 qp 和 qn 的长，然后在直角三角形 pnq 中，用勾股定理求出 pn 的长，联立 cn 的

8、表达式即可求出 x 的值试题解析：（1）过点 p 作 pqbc 于点 q，有题意可得：pq ab， cqp cba，解得：qp= pm=3x，x，由题意可知，c（0，3），m（x，0），n（4x，3），p 点坐标为（x，3x）（2） npc 的面积为 s，在 npc 中，nc=4x，nc 边上的高为，其中，0x4 s=（4x）（x2）2+x=（x2+4x） s 的最大值为，此时 x=2（3）延长 mp 交 cb 于 q，则有 pqbc 若 np=cp， pqbc， nq=cq=x 3x=4， x=若 cp=cn，则 cn=4x，pq=x，cp=x，4x= x， x=；若 cn=np，则 cn=

9、4x pq= x，nq=42x， 在 pnq 中，pn2=nq2+pq2， （4x）2=（42x）2+（x）2， x=综上所述，x=，或 x=，或 x=考点：二次函数综合题3如图，四边形 abcd 中，对角线 ac、bd 相交于点 o，ao=co，bo=do，且 abc+ adc=180（1） 求证：四边形 abcd 是矩形（2） 若 adf： fdc=3：2，dfac，求 bdf 的度数【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1） 根据平行四边形的判定得出四边形 abcd 是平行四边形，求出 abc=90，根据矩形 的判定得出即可；（2） 求出 fdc 的度数，根据三角形内角和定

10、理求出 dco，根据矩形的性质得出od=oc，求出 cdo，即可求出答案【详解】（1）证明： ao=co，bo=do 四边形 abcd 是平行四边形， abc= adc， abc+ adc=180， abc= adc=90， 四边形 abcd 是矩形；（2）解： adc=90， adf： fdc=3：2， fdc=36， dfac， dco=9036=54， 四边形 abcd 是矩形， oc=od， odc=54 bdf= odc fdc=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四

11、边形是矩形4如图，正方形 abcd 的边长为 8，e 为 bc 上一定点，be6，f 为 ab 上一动点，把 bef 沿 ef 折叠，点 b 落在点 b处， afb恰好为直角三角形时，bd 的长为？【答案】4565或 2 2【解析】【分析】分两种情况分析：如图 1，当 abf=90时，此时 a、b、e 三点共线，过点 b作bmab，bnad，由三角形的面积法则可求得 bm=2.4，再由勾股定理可求得 bn=3.2， 在 cbn 中，由勾股定理得，bd= b n2 +dn 2 = 3.2 2 +5.6 2 ；如图 2，当 afb=90 时，由题意可知此时四边形 ebfb是正方形，af=2，过点

12、b作 bnad，则四边形 afbn 为矩形，在 cbn 中，由勾股定理得，bd=b n2+dn2= 22+22 ；【详解】如图 1，当 abf=90时，此时 a、b、e 三点共线， b=90， ae=ab2+be2= 82+62 =10，1 1 1 11 11 be=be=6， ab=4， bf=bf，af+bf=ab=8，在 abf 中， abf=90，由勾股定理得，af2=fb2+ab2， af=5，bf=3，过点 b作 bmab，bnad，由三角形的面积法则可求得 bm=2.4，再由勾股定理可求得 bn=3.2， an=bm=2.4， dn=ad-an=8-2.4=5.6，在 cbn 中

13、，由勾股定理得，bd=b n2+dn2= 3.22+5.62 =4565；如图 2，当 afb=90时，由题意可知此时四边形 ebfb是正方形， af=2，过点 b作 bnad，则四边形 afbn 为矩形， an=bf=6，bn=af=2， dn=ad-an=2， 在 cbn 中，由勾股定理得，bd= b n2 +dn 2 = 22 +2 2 = 2 2 ；综上，可得 bd 的长为4565或 2 2 .【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确 地画出图形并能分类讨论是解题的关键.5如图，在平面直角坐标系中，直线 de 交 x 轴于点 e（30，0）

14、，交 y 轴于点 d（0，40），直线 ab：y13x+5 交 x 轴于点 a，交 y 轴于点 b，交直线 de 于点 p，过点 e 作efx 轴交直线 ab 于点 f，以 ef 为一边向右作正方形 efgh（1） 求边 ef 的长；（2） 将正方形 efgh 沿射线 fb 的方向以每秒 10 个单位的速度匀速平移，得到正方形 e f g h ，在平移过程中边 f g 始终与 y 轴垂直，设平移的时间为 t 秒（t0）当点 f 移动到点 b 时，求 t 的值；1 11 1 1 11当 g ，h 两点中有一点移动到直线 de 上时，请直接写出此时正方形 e f g h 与 ape 重叠部分的面积

15、【答案】（1）ef15；（2）10；120；【解析】【分析】（1）根据已知点 e（30，0），点 d（0，40），求出直线 de 的直线解析式 y=-43x+40，可求出 p 点坐标，进而求出 f 点坐标即可；（2）易求 b（0，5），当点 f 移动到点 b 时，t=10 10 10 =10；f 点移动到 f的距离是 10 t，f 垂直 x 轴方向移动的距离是 t，当点 h 运动到直线 de上时，在 fnf 中，nf 1 mh 4 = ，em=ng=15-fn=15-3t ，在 dmh中， =nf 3 em 3，t=4，s=1 45 1023(12+ )11= ；当点 g 运动到直线 de 上

16、时，在 fpk 中， 2 4 8pk 1= ，f k 3pk=t-3，fk=3t-9，在 pkg中，pk t -3 4 ，t=7，s=15（15-7）=120. kg 15 -3t +9 3【详解】（1）设直线 de 的直线解析式 ykx+b， 将点 e（30，0），点 d（0，40），30 k +b =0 b =40，k =-43，b =40 y43x+40，直线 ab 与直线 de 的交点 p（21，12）， 由题意知 f（30，15）， ef15；（2）易求 b（0，5）， bf10 当点 f110 ，移动到点 b 时，t10 10 10 10；当点 h 运动到直线 de 上时，f 点移

17、动到 f的距离是 10 t，在 fnf 中，nf 1= ，nf 3 fnt，fn3t， mhfnt，emng15fn153t， 在 dmh中，mh 4=em 3，t 4= 15 -3t 3， t4， em3，mh4， s1 45 1023 (12 + ) 11 =2 4 8；当点 g 运动到直线 de 上时，f 点移动到 f的距离是 10 t， pf3 10 ， pf 10t3 10 ，在 fpk 中，pk 1=f k 3， pkt3，fk3t9，在 pkg中，pk t -3 4 ，kg 15 -3t +9 3 t7， s15（157）120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；

18、掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键6如图，在正方形 abcd 中，e 是边 ab 上的一动点，点 f 在边 bc 的延长线上，且cf =ae ，连接 de，df，ef. fh 平分 efb 交 bd 于点 h.（1） 求证： de df ；（2） 求证： dh =df ：（3） 过点 h 作 hm ef 于点 m，用等式表示线段 ab，hm 与 ef 之间的数量关系，并 证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） ef =2 ab -2 hm ，证明详见解析. 【解析】【分析】（

19、1）根据正方形性质， cf =ae 得到 de df .（2）由 aed cfd ，得 de =df .由abc =90， bd 平分 abc ，得dbf =45.因为 fh 平分 efb ，所以 efh =bfh .由于dhf =dbf +bfh =45+bfh,dfh =dfe +efh =45+efh,所以 dh =df .（3）过点 h 作 hn bc 于点 n ，由正方形 abcd 性质，得bd =ab2+ad2= 2 ab.由 fh 平分efb ， hm ef , hn bc，得hm =hn.因为hbn =45 ，hnb =90 ，所以bh =hnsin 45= 2 hn = 2h

20、m.由ef =dfcos 45 = 2df = 2dh，得 ef =2 ab -2 hm .【详解】（1）证明： 四边形abcd是正方形，ad =cd，ead =bcd =adc =90.ead =fcd =90. cf =ae 。aed cfd.ade =cdf.edf =edc +cdf =edc +ade =adc =90. de df.（2）证明： de =df.aed cfd，edf =90，def =dfe =45.abc =90， bd 平分 abc ，dbf =45. fh 平分 efb ， efh =bfh .dhf =dbf +bfh =45+bfh,dfh =dfe +e

21、fh =45+efh, dhf =dfh . dh =df .（3） ef =2 ab -2 hm .证明：过点 h 作 hn bc 于点 n ，如图，2 22 2 正方形 abcd 中， ab =ad ， bad =90，bd =ab 2 +ad 2 = 2 ab. fh 平分efb ， hm ef ,hn bc，hm =hn.hbn =45 ，hnb =90 ，bh =hnsin 45 = hn = hm.dh =bd -bh =2 ab - 2hm .ef =dfcos 45 = df = dh， ef =2 ab -2 hm.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角

22、函数，题目难度较大，解题的 关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.7已知aob =90，点c是 aob的角平分线op上的任意一点，现有一个直角mcn 绕点c旋转，两直角边cm， cn分别与直线oa，ob相交于点 d ，点 e .（1）如图 1，若 cd oa ，猜想线段 od ， oe ， oc 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图 2，若点 d 在射线 oa 上，且 cd 与 oa 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍 成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段od ， oe ， oc 之间的数量关系， 并加以证明.（3）如图 3，若点 d 在射线oa的反向延

23、长线上，且od =2，oe =8，请直接写出线段ce的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 34 【解析】【分析】（1）先证四边形odce为矩形，再证矩形odce为正方形，由正方形性质可得；（2）过点c作cg oa于点g，ch ob于点 h ，证四边形ogch为正方形，再证dcgd dche ( asa)，可得；（3）根据dcgd dche ( asa)，可得oe -od =oh +og = 2oc . 【详解】解：（1）aob =90，mcn =90，cd oa， 四边形odce为矩形. op 是 aob的角平分线，doc =eoc =45， od =cd ， 矩形 odce

24、 为正方形，oc =2od ， oc = 2oe .od +oe =2oc .（2）如图，过点c作cg oa于点g，ch ob于点 h ，op平分aob，aob =90， 四边形ogch为正方形，由（1）得： og +oh =2oc ，在 dcgd 和dche中，cgd =che =90 cg =chdcg =ech ，dcgd dche ( asa )， gd =he ，od +oe =2oc .（3） og +oh =2oc ，dcgd dche ( asa) gd =he .，od =gd -og ， oe =oh +eh，oe -od =oh +og = oc =3 2 ，2oc ，c

25、e =34 ，ce的长度为 34 .【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.8正方形 abcd，点 e 在边 bc 上，点 f 在对角线 ac 上，连 ae(1) 如图 1，连 ef，若 efac，4af3ac，ab4， aef 的周长；(2) 如图 2，若 afab，过点 f 作 fgac 交 cd 于 g，点 h 在线段 fg 上(不与端点重合)， 连 ah若 eah45，求证：echg+ 2 fc【答案】（1） 2 5 +4 2 ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出 abbccdad4， b d90， acb acd bac

26、 acd45，得出 ac2ab42 ，求出 af32 ，cfacaf 2 ，求 cef是等腰直角三角形，得出 efcf 2 ，ce 2 cf2，在 aef 中，由勾股定理求出 ae，即可得 aef 的周长；（2）延长 gf 交 bc 于 m，连接 ag， cgm cfg 是等腰直角三角形，得出 cm cg，cg 2 cf，证出 bmdg，证明 afg adg 得出 fgdg，bmfg，再证abe afh，得出 befh，即可得出结论【详解】（1） 四边形 abcd 是正方形， abbccdad4， b d90， acb acd bac acd45， ac2 ab42 ， 4af3ac122 ，

27、 af32 ， cfacaf2 ， efac， cef 是等腰直角三角形， efcf2 ，ce 2 cf2，在 aef 中，由勾股定理得：aeaf2+ef2=2 5， aef 的周长ae+ef+af 2 5 + 2 +3 2 =2 5 +4 2 ； （2）证明：延长 gf 交 bc 于 m，连接 ag，如图 2 所示：cgm cfg 是等腰直角三角形， cmcg，cg2 cf， bmdg， afab， afad，在 afg 和 adg 中，ag =agaf =ad， afg adg（hl）， fgdg， bmfg， bac eah45， bae fah， fgac， afh90，abe 和 a

28、fh 中，b=afh =90 ab =afbae =fah ， abe afh（asa）， befh， bmbe+em，fgfh+hg， emhg， ecem+cm，cmcg2cf， echg+2fc【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾 股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键9如图 1，在正方形 abcd 中，ad=6，点 p 是对角线 bd 上任意一点，连接 pa，pc 过点 p 作 pepc 交直线 ab 于 e（1） 求证：pc=pe;（2） 延长 ap 交直线 cd 于点 f.如图 2，若点 f 是

29、 cd 的中点， ape 的面积；若 ape 的面积是21625，则 df 的长为（3） 如图 3，点 e 在边 ab 上，连接 ec 交 bd 于点 m,作点 e 关于 bd 的对称点 q，连接pq，mq，过点 p 作 pn cd 交 ec 于点 n，连接 qn，若 pq=5，mn= 面积是7 23，则 mnq 的【答案】（1）略；（2）8，4 或 9；（3）56【解析】【分析】（1） 利用正方形每个角都是 90，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的 两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2） 作 adp dfp 的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得 pae 的底和高，

30、并求出面积.第 2 小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3） 根据已经条件证 mnq 是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积. 【详解】(1) 证明： 点 p 在对角线 bd 上， adp cdp, ap=cp, dap = dcp, pepc， epc= epb+ bpc=90, pea= ebp+ epb=45+90- bpc=135- bpc, pae=90- dap90- dcp, dcp= bpc- pdc= bpc-45, pae=90-( bpc-45)= 135- bpc, pea= pae, pc=pe;（2）如图 2，过点 p 分别作 phad,pgcd,垂足

31、分别为 h、g.延长 gp 交 ab 于点m. 四边形 abcd 是正方形，p 在对角线上， 四边形 hpgd 是正方形，( ) ph=pg,pmab,设 ph=pg=a, f 是 cd 中点，ad6，则 fd=3, sn adf=9, sn adf=sn adp+sn dfp=1 1ad ph + df pg 2 2,1 1a 6 + a 3 =9 2 2,解得 a=2, am=hp=2,mp=mg-pg=6-2=4,又 pa=pe, am=em,ae=4, sn ape=1 1ea mp = 4 4 =8 2 2,设 hpb,由可得 ae=2b,mp=6-b, sn ape=1 216 2

32、b 6 -b =2 25,解得 b=2.4 或3.6 , s = s +s n adf n adp n dfp=1 1ad ph + df pg 2 2,1 1 16 b + df b = df 6 2 2 2, 当 b=2.4 时，df=4；当 b3.6 时，df9, 即 df 的长为 4 或 9;（3）如图， e、q 关于 bp 对称，pn cd, 1 2， 2+ 3 bdc=45, 1+ 4=45, 3= 4,易 pem pqm, pnq pnc, 5= 6, 7= 8 ,em=qm,nq=nc, 6+ 7=90, mnq 是直角三角形,22 2a +b = 3设 em=a,nc=b 列

33、方程组 7 2 a +b =5 2 -37 2 ,可得1 5ab= ,2 6svmnq=56,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角 形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角 形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.10问题探究（1）如图，已知正方形 abcd 的边长为 4点 m 和 n 分别是边 bc、cd 上两点，且 bm cn，连接 am 和 bn，交于点 p猜想 am 与 bn 的位置关系，并证明你的结论 （2）如图，已知正方形 abcd 的边长为 4点 m 和 n 分别从点 b、c 同时出发

34、，以相同 的速度沿 bc、cd 方向向终点 c 和 d 运动连接 am 和 bn，交于点 p， apb 周长的最 大值；问题解决（3）如图，ac 为边长为 2 3 的菱形 abcd 的对角线， abc60点 m 和 n 分别从 点 b、c 同时出发，以相同的速度沿 bc、ca 向终点 c 和 a 运动连接 am 和 bn，交于点 p apb 周长的最大值【答案】（1）ambn，证明见解析；（2） apb 周长的最大值 4+4 2 ；（3 pab 的 周长最大值=2 3 +4【解析】试题分析：根据全等三角形的判定 sas 证 abm bcn，即可证得 ambn； （2）如图，以 ab 为斜边向外

35、作等腰直 aeb， aeb=90，作 efpa 于 e，作 egpb 于 g，连接 ep，证明 pa+pb=2ef，求出 ef 的最大值即可；（3）如图，延长 da 到 k，使得 ak=ab， abk 是等边三角形，连接 pk，取 ph=pb， 证明 pa+pb=pk，求出 pk 的最大值即可.试题解析：（1）结论：ambn理由：如图中， 四边形 abcd 是正方形， ab=bc， abm= bcn=90， bm=cn， abm bcn， bam= cbn， cbn+ abn=90， abn+ bam=90， apb=90， ambn（2）如图中，以 ab 为斜边向外作等腰直角三角 aeb，

36、aeb=90，作 efpa 于 e，作 egpb 于 g，连接 ep efp= fpg= g=90， 四边形 efpg 是矩形， feg= aeb=90， aef= beg， ea=eb， efa= g=90， aef beg， ef=eg，af=bg， 四边形 efpg 是正方形， pa+pb=pf+af+pgbg=2pf=2ef， efae， ef 的最大值=ae=2， apb 周长的最大值=4+4（3）如图中，延长 da 到 k，使得 ak=ab， abk 是等边三角形，连接 pk，取 ph=pb ab=bc， abm= bcn，bm=cn， abm bcn， bam= cbn， a p

37、n= bam+ abp= cbn+ abn=60， apb=120， akb=60， akb+ apb=180， a、k、b、p 四点共圆， bph= kab=60， ph=pb， pbh 是等边三角形， kba= hbp，bh=bp， kbh= abp， bk=ba， kbh abp， hk=ap， pa+pb=kh+ph=pk， pk 的值最大时 apb 的周长最大， 当 pk abk 外接圆的直径时，pk 的值最大，最大值为 4， pab 的周长最大值=2 +411（1）问题发现：如图，在等边三角形 abc 中，点 m 为 bc 边上异于 b、c 的一点，以 am 为边作等边三 角形 a

38、mn，连接 cn，nc 与 ab 的位置关系为 ；（2）深入探究：如图，在等腰三角形 abc 中，ba=bc，点 m 为 bc 边上异于 b、c 的一点，以 am 为边 作等腰三角形 amn，使 abc= amn，am=mn，连接 cn，试探究 abc 与 acn 的数量 关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形 adbc 中，ad=ac，点 m 为 bc 边上异于 b、c 的一点，以 am 为边作正 方形 amef，点 n 为正方形 amef 的中点，连接 cn，若 bc=10，cn= 2 ，试求 ef 的长【答案】（1）nc ab；理由见解析；（2） abc= acn；理由见解析；

39、（3） 2 41 ； 【解析】分析：（1）根 abc amn 为等边三角形，得到 ab=ac，am=an 且 bac= man=60从而得到 bac- cam= man- cam，即 bam= can，证明 bam can，即可得到 bm=cn（2）根 abc， amn 为等腰三角形，得到 ab：bc=1：1 且 abc= amn，根据相似三角形的性质得到ab acam an，利用等腰三角形的性质得到 bac= man，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）如图 3，连接 ab，an，根据正方形的性质得到 abc= bac=45， man=45，根据相似三角形的性质得出bm abcn ac，

40、得到 bm=2，cm=8，再根据勾股定理即可得到答案详解：（1）nc ab，理由如下： abc 与 mn 是等边三角形， ab=ac，am=an， bac= man =60， bam= can，abm 与 acn 中，ab =acbam =can，am =an abm acn（sas）， b= acn=60， anc+ acn+ can= anc+60+ can=180， anc+ man+ bam= anc+60+ can= ban+ anc=180， cn ab；（2） abc= acn，理由如下：ab am=bc mn=1 且 abc= amn， abc amnab acam an， a

41、b=bc， bac=12（180 abc）， am=mn man=12（180 amn）， abc= amn， bac= man， bam= can， abm acn， abc= acn；（3）如图 3，连接 ab，an， 四边形 adbc，amef 为正方形， abc= bac=45， man=45， bac mac= man mac 即 bam= can，ab am= =bc anab ac，am an2， abm acnbm abcn accn ac=bm ab，2=cos45= ，22 2= ，bm 2 bm=2， cm=bcbm=8， 在 amc，am=ac2+mc2= 102+82

42、=2 41， ef=am=241 点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的 性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本 题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键12如图，点 e 是正方形 abcd 的边 ab 上一点，连结 ce，过顶点 c 作 cfce，交 ad 延 长线于 f求证：be=df.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出 bc=cd， b= cdf， bcd=90，再由垂直的性质得到 bce= dcf，然后根据“asa”证 bce bce 即可得到 be=df详解

43、：证明： cfce， ecf=90，又 bcg=90， bce+ ecd = dcf+ ecd bce= dcf，bce 与 dcf 中， bce= dcf，bc=cd， cdf= ebc， bce bce（asa）， be=df.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答 此题的关键13已知点 o abc 内任意一点，连接 oa 并延长到 e，使得 ae=oa，以 ob，oc 为邻边 作 obfc，连接 of 与 bc 交于点 h，再连接 ef（1） 如图 1， abc 为等边三角形，求证：efbc；ef= bc；（2） 如图 2， abc 为等腰直角三角形（bc 为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成 立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3） 如图 3， abc 是等腰三角形，且 ab=ac=kbc，请你直接写出 ef 与 bc 之间的数量 关系【答案】（1）见解析；（2）efbc 仍然成立；（3）ef=bc【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等边三角形的性质得到 ab=bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah= b