圆与相似证明课案

1、1如图，AB是圆0的直径，点 C D在圆O上，且AD平分/ CAB过点D作AC的垂线，与 AC的延长线相 交于E,与AB的延长线相交于点 F.(1)求证：EF与圆O相切；(2)若AB=6, AD=472,求EF的长。角平分线、平行线、弧中点、等腰三角形、垂径定理，角平分线性质；(旋转相似， AD0A ABD或者通过DGL AB求出DE,法一、平行线型相似， ODFA AEF,法二、外部母子型， BD3A DAF,法三、 平移缩放相似， 0D与BC交于点G, BD=CD OGA AEF)2、如图，AB是OO的直径，点 C在O O上,/ CAB的平分线交O O于点D,过点D作AC的垂线交AC的延

2、长线于点E,连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与OO的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB=6,AD=5,求 AF的长.E(法一，内部母子型；法二连接OD得到矩形， OBD中面积法求解 CE)3、如图，AB为O O的直径，点 C是O O上一点，AD平分/ CAB交O O于点D,过点D作DEI AC于点E. (1求证：(1) DE是OO的切线；(2 )若AC=3 DE=2求AD的长.)( DC0A AED 求出 CE, / CDA=/ CBA / EDC2 EAD4、如图，AB是O O的直径，C为O O上一点，ADL CD,(点D在O O外)AC平分/ BAD求BE的长.(1)求证：CD是O

3、 O的切线；(2 )若DC AB的延长线相交于点 E,且DE=12 AD=9(3)若O O的半径为4,/ E=30 求 AC长EC3A EDA第三问计算可得/E=/ EAC=30 , AC=CE5、如图，已知AB是O O的直径，直线I与O O相切于点C,过点A作直线I的垂线，垂足为点D,连接 AC. (1)AB的长.、旋转相似 AD3A ACB 法二，计算得/ DAC/ CAB=30 , RTA ACB求出 AB)6、如图，AB是O O的直径，AC是弦，/ BAC的平分线 AD交O O于点D, DE是O O的切线,交AC的延长线于点E.求证： (1) DEI AC;(2)若AE=4, ED=2

4、求O O的半径BABD法二，作 OF丄CA垂径定理。)7、如图，AB是OO的直径，点 C是O O上一点，/ BAC的平分线 AD交O O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点 E.(1)求证：DE是O O的切线；(2)如果 AD=5 AE=4,求AC长.BC=2DE旋转相似求出 AB得出AG简单方法，作 OF1 CA垂径定理。8、如图，AB为O O的直径，AC为O O的弦，AD平分/ BAC,交O O于点D, DEI CA交AC的延长线于点 E. (1) 求证：直线 DE是O O的切线；(1)若AE=8,O O的半径为5，求DE的长.19(法一、作 OF丄CA垂径定理。法二、连接 B

5、G OD法三旋转相似，求 AD)9、如图，AB是O O的直径，点 C为OO上一点，OF丄BC于点F,交O O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且/ ODBM AEC(1)求证：BD是O O的切线；(2)求证：CE2=EH?EA(3)若O O的半径为5, sinA= 3/5，求BH的长.(垂径定理，母子型相似，连接BE,A BEHTA AEB第46题简单很多)(旋转相似，8字形，AECA ABMA BED10、如图， ABC内接于O O, I为厶ABC的内心，延长 Al分别交O O BC于D E两点。若01丄AD, AD=8 AC=7,求线段 AB的长。11、如图，AB是OO

6、的直径，BC是O O的切线，连接 AC交OO于点D, E为弧AD 上一点，连结 AE, BE,BE交 AC于点 F,且 AE2 =EF?EB(1)求证：CB=CF ( 2)若点E到弦AD的距离为1, cos / C=3/5求O O的半径.（ AEFA BEA / EFA=Z EAB=/ FBG 易证 E 为弧中点，连接 OE交 AC于 G, cos / C=sin / CAB ）12、如图，已知 ABC以边BC为直径的O O与边AB交于点D,点E为BD的中点，AFABC的角平分线，且 AF丄EC. ( 1)求证：AC与OO相切；(2)若AC=6 BC=8求EC的长.C(三线合一，第一问方法比较

7、多，比如/EBH=Z ECB或者/ ECB=/ ECD或者/ ECB=/ OEC第二问法一，内部母子型， EHBA EBC法二，笨方法，连接 CD面积法求出 CD射影定理图形求出 AD DH CHBH再求EH13、如图，已知 BC是以AB为直径的O的切线，且 BC=AB连接0C交O 0于点D,延长AD交BC于点E, F为BE上一点，且DF=FB(1)求证：DF是O 0的切线；(2)若BE=2,求O 0的半径.相似， CDFA CBO14、如图：AB是O 0的直径，BC是O 0的切线，0C与O 0相交于点D,连接AD并延长，与BC相交于点E. (1) 若BC= 3 , CD=1,求O0的半径；(

8、2)取BE的中点F,连接DF,求证：DF是O0的切线.(3)过D点作DGL BC于G DG与0E相交于点 M,求证：DM=GM(勾股定理。连接 BD DF斜边中线。平行线型相似，DM A0=GM B015、如图，AB是OO的直径，点 C为OO上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为 E, AE交OO于点D,直线EC交AB的延长线于点 P, 连接AC, BC PB： PC= 1 : 2.(1)求证：AC平分/ BAD(2)探究线段PB AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD= 3，求 ABC的面积.(外部母子型， AB=3PB AC=2BC 0HLAD, PEA 求出半径。)16、如图，

9、AB是半圆0的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆0相切于点D,连接AD, BD(1)求证：/ BAD=/ BDC (2 )若 sin / BDC* 5 15, BC=2,求O 0 的半径.(外部母子型相似)17、如图，AB是O 0的直径，AC是弦，/ BAC的平分线 AD交O 0于点D, DEL AC,交AC的延长线于点 E. 0E 交AD于点F.(I)求证： DE是O 0的切线； (H)若 AE: AB = 4 :5 ，求AF:DF的值.18、如图，已 AB为O 0直径，AC是O 0的弦，/ BAC的平分线 AD交O 0于D,过点D作DEI AC交AC的延(2)若AF=8,求DF的长.长

10、线于点 E, 0E交AD于点F, cos / BAC=3/5(1)求证：DE是O 0的切线;19、如图，已知AB是O O的直径，C是O O上一点，/ BAC的平分线交O O于点D,交O 0的切线BE于点E, 过点D作DF丄AC,交AC的延长线于点 F.(1)求证：DF是O 0的切线； (2)若DF=3, DE=2. 求BE: AD值； 求/ FAB的度数.(射影定理相似和旋转相似， BDE ABE , ADFAEB，根据比例，算岀 BE、AD即可)20、如图，AB为O O的直径，C为圆上一点，AD平分/ BAC交O 0于点D, DEI AC交AC的延长线于点 E, 过B作FBI AB交AD的延

11、长线于点 F.(1)求证：DE是O O的切线；(2)若DE=4, O O的半径为5，求AC和BF的长.(法一、连接BC OD垂径定理 BC=2DE求AC CE=法二，作OH丄AC垂径定理。法三，作DPI AB, DP=DE求出AP,平行线型相似求 BF)21、如图，AB为O O的直径，CE是O O的切线，且 AE丄CE,垂足为E，BC的延长线交 AE的延长线于点 D.(1)求证：/ DAC2 BAC(2)若 CE=2DE AD=1Q AC=4 V5 ，求 DE的长22、如图，AB为OO的直径，C为O O上一点，连 AC BC, E为OO上一点，且 BE=CE点F在BE上,CF丄 AB于 Db

12、(1)求证：CB=CF (2)若 CF=2 EF=3,求 BD 的长。面积法，做CGL FB)BE: CF=BC BF，求出 BF;求 BD法 1,勾股定理法，BC2-CD2=BF2-DF2 法 2,23、如图，AB是O O的直径，BC丄AB,连结OC弦AD/ OC直线CD交BA的延长线于点 E.(1) 求证：直线CD是O O的切线；(2) 若 DE=2BC 求 AD OC的值.(3)若 DE=2BC EA=4,求O O 的半径.( CODA COB BC=CD平行线型相似。)24、如图，AB是OO的直径，点 D是任上的一点，且/BDE=Z CBE BD与 AE交于点 F.(1)求证：BC是O

13、 O的切线；(2)若BD平分/ ABE求证:DE2= DF- DB;DE= 2,求PD的长和O O的半径.在的条件下，延长 ED BA交于点P,若PA= AO,(弦切角定理，角平分线=平行线型相似、外部母子型、燕尾型相似PDO PEB PDB PAE或者 PDA POD从割线出发的母子型是到圆心构成三角形)25、如图，在 ABC中，BC=AC以BC为直径的O O与边AB相交于点 D, DE丄AC,垂足为点 E.(1 )判断DE与O O的位置关系，并证明你的结论；(2)若DE的长为2V2 , cosB= 1/3 ，求O O的半径.(CD三线合一，角平分线有平行，求出AD,三角函数求AC即可，或者

14、 ACD射影定理相似)26、如图，Rt ABC中，/ A=90,以 AB为直径的O O交BC于点D,点E在O O上, CE=CAAB, CE的延长线交于点 F.(1)求证：CE与O O相切；若O O的半径为3, EF=4,求BD的长.(倒A型相似， OEFCAF ABC等腰三角形，AD三线合一)27、如图，AB是O O的直径，CD是O O的切线，切点为C.延长AB交CD于点E 连接AQ作/ DAC2 ACD 作AF丄ED于点F,交O O于点G(1)求证：AD是O O的切线；（平移缩放相似，Rt CEO勾股定理 AESA OEC Rt ABGs Rt AEF）28、如图所示，已知 P为O O外一

15、点，PA为O 0的切线，A为切点，B为O 0上一点，且 PA=PB连接OR AB相交于点D,过点0作OCL 0P交O0于 C,连接BC交0P于E.(1)求证：RB为O 0的切线；(2)连接AC,若tan / ACB= 3/4 , O 0的半径为5，求CE的长.（X 型相似， BD0A C0E29、如图，已知O 0是厶ABC的外接圆，AB是O 0的直径,D是AB延长线上一点， AE DC交DC的延长线于点E,且AC平分/ EABBD=BC=(1)求证：DE是O 0 的切线；(2)若 AB=6, AE=24/5，则or旋转相似，或者求 AC勾股定理)30、如图，O 0是厶ABC的外接圆，AD是O

16、0的直径，AD与 BC相交于点 M 且BM=M(过点D作BC的平行 线，分别与AB AC的延长线相交于点 E、F. (1)求证：EF与O 0相切； 若 BC=2/15 .MD= V5 求 CE的长.EDF（垂径定理求半径， ABCAEF. / CAM=30 作CN丄EF，垂足为 N.CN=MD .）31、如图， ABC内接于直径为 BC的圆0,过点A作圆0的切线交CB的延长线于点P,/ BAC的平分线分别交BC和圆0于点 D E,若PA=2PB=10 ( 1)求证：AC=2AB(2)求AD?DE的值.(外部母子型相似，角平分线性质，AC: AB=CD DB (通过角平分线分两三角形面积计算得到

17、)32、如图，AB是O 0的直径，CD与O 0相切于点C, DAI AB D0及 DO的延长线与O 0分别相交于点 E、F,EB与CF相交于点 G (1)求证：DA=DC (2 )0 0的半径为3, DC=4,求CG的长.D(法一、AC与DF交于 M面积法求 AC BC RT AEM求出AE=CE=BF求出BE=CF X型相似 BCG FEG或者或用厶 ABCD0A求出 AC 法二、连接 G0三线合一，0GL EF, tan / F=tan / ABE 作 ENL AB)33、如图，点 E是厶ABC的内心，AE的延长线和 ABC的外接圆O 0相交于点 D, BC是O 0的直径，O 0的切线FD

18、与AB的延长线交于点 F.(1)求证：DF/ BC (2)若 AC=6 DE=52，求 BF 的长C(第10题类似，DE=DC书上例4 一样的题目，简单方法做 BG垂直FD, ODGB正方形， FBGBCA容易理解的方法，母子相似和旋转相似，FDB FADDAC, DAC两边知道， FDB知道一边)34、如图，已知 AB是OO的直径，点C在O O上，D是AB的中点，过点 C作CD的垂线，与DB的延长线相交于点E,若AC=3 BC=4贝U DE=( CBECAD可求出BD, BE复杂的方法,CD AB交于G,做GF丄CB CGF为等腰直角厶， ACBGFB求出CG GF BG ,进而求出DG 得

19、到 CD ACB DCED是OO上的一个动点，且C, D两点位于直径 AB的两侧.连35、如图,AB是O O的直径，点 C在O O上,( ACBDCE , CD CE=AC AB, CD越大, CE越大,进而E.若AC=2 BC=4,则线段DE长的最大值是DE越大，所以CD是直径时DE最大。)AB为O O的直径，点C, D在O O上,AC/ OD过点D的切线与AB的延长线交于点E, CB与 OD36、如图,DE (2 )求BE的长法二，内部母子型，连接AD交 BC于 F,A ABDODE20BFD再用平行线分线段成比例；法三，作DGL AB, ADB面积法，BC交OD于F,BF=DG=1/2B

20、C ACB37、如图，AD是O O的切线，切点为 A, AB是O O的弦.过点 B作BC/ AD交O O于点C,连接AC,过点C作CD/ AB交AD于点D.连接AO并延长交BC于点 M 交过点 C的直线于点 P,且/ BCPN ACD(1)判断直线PC与O O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9, BC=6.求PC的长.28(弦切角，平行所以 AML CB法一，/ BCPN ACD=/ BACP=/ POC法二，连接 CO并延长至 N,连接BN,第二问，法一垂径定理基本图形求出半径，OPA OCM法二8字形相似厶ABM CPM简单)AQQB38、如图，A、P、B C是O O上的四点，/ A

21、PC =Z BPC = 60，AB与PC交于Q点.(1)判断 ABC的形状，并证明你的结论；(2)求证：jAPPB(3)若/ ABP= 15， ABC的面积为 4V3,求 PC的长.，第二问法一，做BD/AP，相似，BP=BD 法二， APQ CBQ BPQ CAQ AC=BC 找需要的那一组边 AP、AQ BP、BQ 第二问作 BNL PC)39、如图，AB是OO的直径，C是OO上一点，ODL BC于点D,过点C作O O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE(1)求证：BE与O O相切；(2)连结AD并延长交BE于点F,若OB=9求-BF的长(垂径定理，作 DGL AB于G, RTA OBD

22、射影定理， AD&A ABF)40、如图所示， ABC是直角三角形，/ ABC=90 ,以AB为直径的圆 O交AC于点E,点D是BC边的中点, 连结DE (1)求证：DE与圆O相切；(2)若圆O的半径为3, DE=3求A吕(直角三角形斜边中线，面积法or射影定理)41、如图所示，AB是O O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过 C作CDAB于点D, 过C作CG/ AE交BA的延长线于点 G.CD交AE于点F,AF=CF (3)若/ EAB=30 , CF=2 求 GA的长.42、如图，O O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上一点，/ EAB=Z ADB.(1)求证：EA是O

23、O的切线;(2)已知点B是EF的中点，求证：以A B、C为顶点的三角形与 AEF相似;(3)已知AF=4, CF=2在(2)的条件下，求 AE的长.43、如图，已知 AB是O O的直径，BC是O O的切线，B为切点，OC平行于弦 AD,连接CD过点D作DELAB于E,交AC于点P,求证：点P平分线段DEC（14题类似，连 OD证全等，作切线 AF, FA/ DE/ CB对应成比例，切线长定理）44、如图，在 ABC中，AB=AC以AC为直径作O O交BC于点D,过点D作O O的切线EF,交AB和AC的延长线于E、F.（1）求证：FEL AB; (2 )当 AE=6, sin / CFD=3/5 时，求 EB 的长.（连接OD平行线型相似，勾股定理）45、如图.已知 AB是O O的直径.C是O O上一点，直线 CE与AB的延长线相交于点 E, ADL CE于点D,AD交O O于点F. AC平分/ DAE（1）求证：CE是O O的切线.（2）若DC+DF=6 O O的直径为10,求AF的长.（过O作OGL AD,勾股定理）46、如图，AB是O O的直径，BD是OO的切线，点 C为O O上一点，0D丄BC于点F交O 0于点E,连接AE、CE (I )求证：/ O