模糊控制理论基础(第二章)

主讲人：段金英第二章模糊控制论10/30/2023

§2.1引言1.模糊控制的发展以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。10/30/2023模糊控制的发展概况时间事件备注20世纪60年代1965年美国加利福尼亚大学L.A.zadeh

教授在他《fuzzyset》中首先提出了模糊数学的概念。随之，模糊控制理论及其应用也迅速发展起来。标志着模糊控制论的诞生20世纪70年代1974年，E.H.mamdani

首先用模糊控制语句组成模糊控制器，对一个试验性的蒸汽机使用了24条”ifathenbthenc”形式的语言规则实现了控制。1975-1976年，荷兰、丹麦等国家在工业过程中应用了模糊控制，取得了满意的成果。表明模糊控制领域的潜力20世纪80年代日本的工程师用模糊控制技术首先控制一家富士电子水净化工厂，又开发了仙台地铁模糊系统，创造了了当时世界上最先进的地铁系统。引起了模糊控制领域的一场巨变20世纪90年代除了以往的的工业控制过程外，各种商业民用场合也大量采用模糊控制技术，如模糊洗衣机，模糊微波炉，模糊空调等。模糊控制的领域的更加广泛10/30/20232.模糊控制的特点模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。10/30/2023

模糊控制理论具有一些明显的特点：（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。（2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。10/30/2023（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和”，易于被一般人所接受。（4）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。（5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。10/30/20233.模糊控制器构造技术

(1)硬件：采用传统的单片机软件：实现模糊推理和控制

(2)模糊单片机或集成电路芯片

(3)可编程门阵列10/30/2023模糊现象

“下雨”是个自然现象，从程度上度量它的时候会出现模糊性，从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”.

人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中形成的概念往往是模糊概念，即这些概念的类属边界是不清晰的.由此形成的划分、判断与推理也都具有模糊性.

描述雨下的程度：“小雨”、“中雨”、“大雨”.人们会根据雨下的程度推测今年的收成是“好”、“一般”，还是“坏”。人脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。人们为了表达和传递知识而使用的自然语言巧妙地渗透着模糊性，能用最少的词汇表达尽可能多的信息。10/30/202310/30/2023模糊未必不精确当我们判断走过来的是谁时，只要把来人的高矮、胖瘦、走路姿势等，与储存在大脑中的样本进行比较，就不难得出可靠的结论。这件事如果让电子计算机来做，那就得测量来人的身高、体重、手臂摆动的角度、频率、鞋底与地面间的摩擦力、正压力、速度、加速度等一系列数据，而且非要精确到小数点后几十位才肯罢休，计算机的过分精确会在这种场合闹出“翻脸不认人”的笑话。10/30/2023模糊概念在自然界和人类社会中是普遍存在的

空间：巨大，很大，大，中，小，微小，时间：长短，很久，最近，…天气：阴晴，气温高低，风力大小，人：性别，年龄，文化，…(清晰)

健康，性格，外表，…(模糊)音乐：优美，舒缓，激昂，雄壮，…模糊概念集中于：生物，生命，人文，社会，艺术，文学，经济，政治，法律，军事，…10/30/2023精确性与模糊性关系模糊性是绝对的，广泛存在的精确性是相对的，有条件的10/30/2023模糊集理论的提出模糊量的数学表示？描述模糊性的自然语言如何量化？10/30/2023§2.2模糊集合论基础1.经典集合的定义与运算集合表示方法：(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。10/30/2023例1设集合U由1到5的五个自然数组成，用上述前三种方法写出该集合的表达式。解(1)列举法U={1,2,3,4,5}(2)定义法U={u|u为自然数且1

u

5}(3)归纳法U={ui+1=ui+1,i=1,2,3,4,u1=1}特征函数表示法：集合U通过特征函数来TU(u)表示10/30/2023经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。10/30/20232.模糊集合

模糊集合是模糊控制的数学基础。1．特征函数和隶属函数例如：集合A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。A={x1,x2,x3,x4}例如：集合A由0到1之间的连续实数值组成。10/30/2023以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素x，只有两种可能：属于A，不属于A。这种特性可以用特征函数来描述：10/30/2023例2：人对温度的感觉(0C~40C的感觉)：经典集合：14.99C属于“冷”；15.01C属于舒适。与人的感觉一致吗？10/30/2023为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数的概念：其中A称为模糊集合，由0,1及构成，表示元素x属于模糊集合A的程度，取值范围为[0,1]，称为x属于模糊集合A的隶属度。10/30/2023在模糊集合的表达中，符号“/”、“+”和“∫”不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念是模糊集合理论的基石。10/30/2023例3设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都学习好，但又有差异。

若采用普通集合的观点，选取特征函数10/30/2023此时特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1，(王五)=1。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取[0，1]区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的差异。采用隶属函数，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“学习好”这一模糊子集A可表示为：10/30/2023其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。例4

以年龄为论域，取。Zadeh给出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为通过Matlab仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线如图所示。

10/30/2023图“年轻”的隶属函数曲线10/30/2023模糊集合的表示方法1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）(1)扎德表示法F=例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U={0,1,2,3,4,5}）10/30/2023(2)序偶表示法F={(u1,(u1)),(u2,

(u2)),…,(un,

(un))}例F={(0,1.0),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)}(3)向量表示法F={(u1),

(u2),…,

(un)}（元素u按次序排列）例：F={1.0,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1}10/30/20233.模糊集合的运算（

1）模糊集合的基本运算由于模糊集是用隶属函数来表征的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。1）空集模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即10/30/20232）全集模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即3）等集两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即10/30/20234）补集若为A的补集，则例如，设A为“成绩好”的模糊集，某学生属于“成绩好”的隶属度为：则属于“成绩差”的隶属度为：10/30/20235）子集若B为A的子集，则6）并集若C为A和B的并集，则C=A∪B一般地，10/30/20237）交集若C为A和B的交集，则C=A∩B一般地，8）模糊运算的基本性质 模糊集合除具有上述基本运算性质外，还具有下表所示的运算性质。10/30/2023运算法则1）幂等律A∪A=A，A∩A=A2）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3）结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)10/30/20234）吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5）分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6）复原律10/30/20237）对偶律8）两极律A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф10/30/2023例6设求A∪B，A∩B则10/30/2023例7试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即，证：设，则10/30/20234模糊算子模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算过程。采用隶属函数的取大（MAX）-取小（MIN）进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。但还有其它公式，这些公式统称为“模糊算子”。设有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下：10/30/2023（1）交运算算子设C=A∩B，有三种模糊算子：①

模糊交算子②

代数积算子③有界积算子10/30/2023（2）并运算算子设C=A∪B，有三种模糊算子：①

模糊并算子②

概率或算子③有界和算子10/30/2023（3）平衡算子当隶属函数取大、取小运算时，不可避免地要丢失部分信息，采用一种平衡算子，即“算子”可起到补偿作用。设C=AoB，则

γ取值为[0，1]。当γ=0时，，相当于A∩B时的算子。10/30/2023当γ=1时，相当于A∪B时的算子。平衡算子目前已经应用于德国Inform公司研制的著名模糊控制软件Fuzzy-Tech中。10/30/2023上次课内容复习1.什么是隶属度，隶属度函数隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用来表示。隶属度的值为[0，1]闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。计算隶属度的函数称为隶属函数。用表示2.模糊集合的定义3.模糊集合的表示方法设论域U={钢笔，衣服，台灯，纸}，他们属于学习用品的隶属度分别为:1，0，0.6，0.8，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示

10/30/2023§2.2.4隶属函数的建立一、几种典型的隶属函数在Matlab中已经开发出了11种隶属函数，即双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数（gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。10/30/2023在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种隶属函数。（1）高斯型隶属函数高斯型隶属函数由两个参数和c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为

10/30/2023(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为10/30/2023(3)S形隶属函数

S形函数sigmf(x,[ac])由参数a和c决定：其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为10/30/2023（4）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定：其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。Matlab表示为：10/30/2023(5)三角形隶属函数三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定：其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。Matlab表示为10/30/2023（6）Z形隶属函数这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版社，200110/30/2023例3隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数，M=3为S形隶属函数，M=4为梯形隶属函数，M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。如图所示。10/30/2023图1高斯型隶属函数（M=1）10/30/2023fisMat=newfis('tipper');fisMat=addvar(fisMat,'input','service',[010]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'poor','gaussmf',[1.50]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'good','gaussmf',[1.55]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'excellent','gaussmf',[1.510]);plotmf(fisMat,'input',1);10/30/2023图2广义钟形隶属函数（M=2）10/30/2023x=0:0.1:10;y=gbellmf(x,[246]);plot(x,y);xlabel('gbellmf,p=[246]');10/30/2023图3S形隶属函数（M=3）10/30/2023x=0:0.1:10;y=sigmf(x,[24]);plot(x,y);xlabel('sigmf,p=[24]');10/30/2023图4梯形隶属函数（M=4）10/30/2023图5三角形隶属函数（M=5）10/30/2023图6Z形隶属函数（M=6）10/30/2023二、隶属函数的仿真例

设计一个三角形隶属函数，按[-3，3]范围七个等级，建立一个模糊系统，用来表示{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}。仿真结果如图所示。10/30/2023图7三角形隶属函数曲线10/30/2023例8设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格，中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。10/30/2023图8高斯型隶属函数曲线10/30/2023三、隶属函数的建立

模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数也就是

隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。

如果确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。10/30/20231、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合图2-3非凸模糊集合隶属度函数10/30/20232、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。3、隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠

10/30/2023除以上三条，模糊控制系统隶属度函数的选择通常：

1）论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数区域，同时它一般应属于至多不超过两个隶属度函数的区域。

2）对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。

3）当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。

重叠指数也是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。为了定量研究隶属度函数之间的重叠，有重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属函数的重叠关系，如下图右图。它们的定义如下10/30/202310/30/202310/30/2023隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。通常的方法是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和实践来不断地调整和完善。遵照这一原则的隶属函数选择方法有以下几种。10/30/2023（1）模糊统计法根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。

10/30/2023模糊统计法的具体步骤（1）确定一个论域U；（2）在论域中选择一个确定的元素v0；（3）考虑U上的一个边界可变的普通集合A*；（4）就v0是否属于A*的问题针对不同对象调查统计，并记录结果；（5）根据模糊统计规律计算v0属于模糊集合A的隶属度10/30/2023模糊统计法举例例：用模糊统计法确定27岁的人属于“青年人”模糊集合的隶属度。武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：10/30/2023表2-1关于“青年人”年龄的调查10/30/2023由张教授调查统计结果可知，共调查统计129次，其中27岁的人属于“青年人”这个边界可变的普通集合的次数为101次。根据模糊统计规律计算隶属度为：10/30/2023隶属函数的确定求取论域中足够多元素的隶属度，根据这些隶属度求出隶属函数。具体步骤为：①求取论域中足够多元素的隶属度；②求隶属函数曲线。以论域元素为横坐标，隶属度为纵坐标，画出足够多元素的隶属度（点），将这些点连起来，得到所求模糊结合的隶属函数曲线；③求隶属函数。将求得的隶属函数曲线与常用隶属函数曲线相比较，取形状相似的隶属函数曲线所对应的函数，修改其参数，使修改参数后的隶属函数的曲线与所求隶属函数曲线一致或非常接近。此时，修改参数后的函数即为所求模糊结合的隶属函数。10/30/2023例：根据张南伦教授的统计结果，求青年人模糊集合的隶属函数。

由表2-1可分别计算出15～35岁的人属于模糊集合“青年人”的隶属度，计算结果如下表：表2-215～35岁的人属于青年人的隶属度10/30/2023根据表2-2的计算结果，以年龄为横坐标，隶属度为纵坐标，绘出隶属函数曲线如下图所示。年龄（岁）1520253035隶属度110/30/2023所求隶属函数曲线与降半哥西型函数曲线较相似，降半哥西型隶属函数为：修改降半哥西型隶属函数参数，使其函数曲线与所求隶属函数曲线非常接近。此时取α=1/25，a=24.5，β=2。参数修改后的降半哥西型函数即为模糊集合“青年人”的隶属函数。即：10/30/2023(2)例证法,从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A的隶属度函数。(3)专家经验法，有专家给出隶属度函数值。(4)二元对比排序法10/30/202310/30/202310/30/2023在相及矩阵中取每一行有最小值，按所得值的大小排列得

1>3/5>4/7

结论是长子最像父亲（1），三子次之（0.6），次子最不像父亲（0.57）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。

10/30/2023（5）主观经验法当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。（6）神经网络法利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的值。10/30/20232.2.5模糊关系一、模糊关系1.集合关系集合论中关系的概念：反映[不同集合]的元素之间的关联10/30/2023普通关系用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联例：东西亚足球对抗赛，分两个小组：

小组A＝｛中国，日本，韩国｝

小组B＝｛伊朗，沙特，阿联酋｝

R：抽签决定的两个小组的对阵关系明确的关系r(i,j)=1；r(i,j)=010/30/2023模糊关系人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否？这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为在多大程度上“是”或在多大程度上“否”。模糊关系10/30/2023模糊关系例1

我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设:儿子与父亲的相像程度为0.8，儿子与母亲的相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，女儿与母亲的相像程度为0.6。则“相像”关系可描述为10/30/2023模糊关系的表示（1）模糊集合表示法当A×B为连续有限域，二元模糊关系R的模糊集合表示方法为同样，对于n元模糊关系表示为10/30/2023例210/30/2023（2）模糊矩阵表示方法10/30/2023例3设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试成绩如下表：10/30/2023表考试成绩表取隶属函数，其中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个x×y上的一个模糊关系R，见下表。10/30/2023表考试成绩表的模糊化 将上表写成矩阵形式，得：10/30/2023该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在[0，1]闭环区间上取值。矩阵R也可以用关系图来表示，如图所示。图R的关系图10/30/2023（3）模糊图表示10/30/202310/30/202310/30/2023二、模糊矩阵运算 设有n阶模糊矩阵A和B，，，且。则定义如下几种模糊矩阵运算方式：10/30/2023例

4

设10/30/202310/30/2023三、模糊矩阵的合成 模糊矩阵的合成类似于普通矩阵的乘积。将乘积运算换成“取小”，将加运算换成“取大”即可。 设矩阵A是x×y上的模糊关系，矩阵B是y×z上的模糊关系，则C=AοB称为A与B矩阵的合成，合成算法为：10/30/2023例5设，，则A和B的合成为：其中10/30/202310/30/2023练习：假设模糊关系R描述了子女与父亲、叔叔长相的“相像”关系，模糊关系S描述了父亲、叔叔与祖父、祖母长相的“相像”关系，R和S分别描述为：求子女与祖父、祖母长相的“相像”关系C10/30/20232.3模糊逻辑，模糊推理及合成对一句话，如果能够判断它表述的意思是真是假时，就可以称为命题。一个简单的语句叫“简单命题”，用命题联结词把两个以上的简单命题联结起来叫“复合命题”。命题联结词有：析取∨、合取∧、否定¯、蕴涵→等价←→

2.3.1二值逻辑

一、命题的概念10/30/2023二、二值逻辑——非是即非析取∨：意思是“或”。复合命题P∨Q只有在P和Q都是假时，才是假。例如：P＝她喜欢吃雪糕，Q＝她喜欢喝可乐。

P∨Q＝她喜欢吃雪糕或喜欢喝可乐。合取∧：意思是“与”。复合命题P∧Q只有在P和Q都是真时，才是真。例如：P＝她喜欢吃雪糕，Q＝她喜欢喝可乐。

P∧Q＝她喜欢吃雪糕和（与）喝可乐。10/30/2023蕴涵→：意思是“如果….那么….”例如：P＝是女孩子，Q＝她喜欢漂亮。

P→Q＝如果是女孩子那么她喜欢漂亮。等价：意思是“当且仅当”例如：P＝A是等边三角形，Q＝A是等角三角形。

PQ＝A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。10/30/2023二值逻辑的运算规则称为布尔代数，布尔代数是描述逻辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若

、

、

{0，1}，则布尔代数具有如下的运算性质：1)幂等律2)交换律3)结合律4)吸收律5)分配律6)双否律7)互补律8)德

摩根律9)常数运算法则10/30/20232.3.2模糊逻辑及其基本运算一、模糊逻辑的产生于发展经典集合与二值逻辑遇到了一些不能解决的问题。例如，古希腊的垛堆佯谬问题：从一堆沙子中取一粒沙，仍然还是一堆；再取一例，还是一堆；一直取下去，最后还剩下一粒沙子，还是一堆吗？再取走这一粒就什么也没有了，还是一堆吗？如果这不能算一堆，那么什么时候停止取时留下的才算是一堆呢？佯谬就是看上去是一个错误，但实际上不是。10/30/2023

这种问题在经典集合论和二值逻辑中都是进退两难的问题。实际上，所有在实践上连续变化的事物和现象都存在这种矛盾。首先突破二值逻辑的先行者时波兰的逻辑学家和哲学家J.卢卡斯维兹(JanLukasewiez)（1878-1955），1920年他在二值逻辑的基础上，扩展成一个三值逻辑世界。他用1表示真，0表示假，另外用1/2表示可能性。这看起来好像仅仅是插入一个值，然而却是一个突破，它导致了某事物的反面与其本身等效的“谬论”。10/30/2023经典逻辑这样表达命题：“明天将下雪是真”；其反面则是：“明天将不会下雪是真”。J.卢卡斯维兹加上另外一种表述：“明天将下雪是可能的”，这种表述的逻辑值是1/2；其反面是：明天将不会下雪是可能的，这种表述的逻辑值也是1/2，当然，“1/2＝1/2”，这就是说“状态＝反状态”。10/30/2023在二值逻辑中插入的第三个逻辑值就像一个楔的作用，一旦这个口子被打开，就没有理由只能在其中插入一个值，那就可以插入任意多的值，这就构成了多值逻辑，这实际上是模糊逻辑的亚结构。用多值逻辑就可以表述一个命题的真的程度，这就为人们能更细致、更精确、更准确地进行逻辑判断提供了基础和基本条件。10/30/2023模糊逻辑是在J.卢卡斯维兹多值逻辑基础上发展起来的，它承认从0到1之间有无穷多个相互重叠渗透的中介。用模糊逻辑结构就可以解决那些在二值逻辑中感到棘手而尴尬的问题。例如，模糊逻辑就可以很容易地解决“垛堆佯谬”问题。随着每取走一粒沙，沙堆在堆的集合中的隶属度就越来越小，它从1开始，慢慢减到0.8、0.6、0.2，最后到0。10/30/2023模糊逻辑是通过模仿人的思维方式来表示与分析不确定、不精确信息的方法和工具。在模糊控制中的每一个特定的输入都对应着一个实际的输出，并且，这个输出值是完全可以预测的。模糊逻辑并不是“模糊”的逻辑，而是用来对“模糊”进行处理，以达到消除模糊的逻辑。模糊逻辑是一种精确地解决不精确、不完全信息的方法，其最大特点就是用它可以比较自然地处理人的概念。10/30/2023

比如说“重庆的桥多”这显然是一个命题，但是这个命题究竟是真是假？那要看跟谁比较了，如果说“重庆的桥比较多”可能更为合适。也就是说如果命题的真值不是简单的取“1”或“0”，而是可以在[0，1]区间连续取值，这样对此类命题的描述就更切合实际了。这就是模糊命题。模糊命题是指带有模糊概念或模糊性的陈述句，是普通命题的推广，而模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。10/30/2023模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。

普通命题的真值相对于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以模糊逻辑的基本运算，即真值的运算，就是隶属度函数的运算。二、模糊逻辑的基本运算10/30/2023设P、Q、R是三个模糊命题，那么1、模糊逻辑补：对命题否定，2、模糊逻辑析取：P∨Q＝max（P，Q）3、模糊逻辑合取：P∧Q＝min（P，Q）4、模糊逻辑蕴涵：如P是真的，则

Q也是真的。

P→Q＝（1－P＋Q）

∧

1

＝min{1,（1－P＋Q）

}5、模糊逻辑等价：如P是真的，则

Q也是真的。

P←→Q＝（P→Q）

∧

（Q→P）模糊逻辑的基本运算10/30/2023模糊逻辑的基本运算6、模糊逻辑限界积：7、模糊逻辑限界和：8、模糊逻辑限界差：10/30/2023P＝她是个刁蛮的人，其真值P＝0.8Q＝她是个泼辣的人，其真值Q＝0.6那么

P∧Q＝min（P，Q）＝min(0.8,0.6)=0.6

P∨Q＝max（P，Q）＝max(0.8,0.6)=0.8

P→Q＝(1－P＋Q）∧1＝

(1－0.8＋0.6)∧1=0.8 模糊逻辑的基本运算例1：设有模糊命题10/30/2023

根据模糊逻辑的基本运算定义，可以得出模糊逻辑运算满足模糊运算的基本定律，除了互补律外，其它八条定律与二值逻辑类似，模糊运算的互补律不成立，其互补运算满足：作用：利用模糊逻辑运算满足的基本定律公式可以化简模糊逻辑函数。10/30/20232.3.3模糊语言逻辑所谓语言，通常指自然语言和人工语言。自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。显然，模糊语言主要是指自然语言。一、模糊语言的概念10/30/2023广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用模糊语言来表达具有模糊性的现象和事物。可见，模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把大约在1.75—1.85m之间的人归结于“高个子”模糊概念里，而在欧洲，大约在1.80一1.90m之间的人才能算作“高个子”。10/30/2023综上所述，模糊语言实质上是具有模糊性的语言。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。要将模糊语言表达出来，使机器能模拟人的思维、推理和判断，就需要了解模糊数、语言值、语言变量和语气算子这些概念.二、模糊数连续论域U中的一模糊数F是一个U上的正规凸模糊集。也就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。模糊数实质上是一个模糊子集。而所谓“正规集合”的含义就是隶属度函数的最大值为1，即通俗地讲，模糊数就是那些诸如“大约5”、“10左右”等具有模糊概念的数值。10/30/2023三、语言值在语言系统中，那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、轻、重、大、小等或者由他们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。例如，成年男子身高的论域：E={130,140,150,160,170,180,190,200,210}={e1,e2,…,e9}在论域上定义语言值：[个子高]=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+0.95/e8+1/e9[个子矮]=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e510/30/2023四、语言变量

语言变量是用一个五元素的集合来表征的：其中：

X——语言变量名（如速度、年龄、颜色）；T（X）——语言变量名的集合；

U

——语言变量x的论域；

G——语法规则（用于产生语言变量

x的值）；

M

——算法规则（与每个语言变量含义相联系）。所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不是以数值作为变量。10/30/202310语言变量元素之间的关系示意图10/30/2023

语言变量用以表征那些十分复杂或无法用精确术语进行描述的现象，其必须遵守语法规则和算法规则。为了能够更加确切地描述模糊语言变量，进一步区分和刻划模糊值得程度，常常还借用自然语言中的修饰词，如“很”、“较”、“非常”、“有点”、“大约”、“稍微”等来描述模糊值，为此引入模糊语言算子的概念。

语言算子分为语气算子、模糊化算子和判定化算子三类：10/30/2023

语气算子是指一类加强或削弱模糊语言表达程度的词，可加在其他模糊词的前面进行修饰。

加强语气的词称为集中算子，如“特别”、“很”、“相当”等等；减弱语气的词称为散漫化算子，如“较”、“稍微”、“有点”等。1、语气算子记H

为语气算子运算符，则原语言值A经语气算子H

的作用，形成一个新的语言值H

(A)。设原语言值A的隶属度函数为

A，新的语言值H

(A)的隶属度函数为

H(A)，则

10/30/2023极λ＝4

非常λ＝3很λ＝2相当λ＝1.5比较λ＝0.8略λ＝0.6稍λ＝0.4常用的语气算子

定义为：当然，语气强弱的程度因人而异，对于某一特定语气的词,其

的取值不完全一样，但是其取值应与语气的强弱程度一致。10/30/2023以“年老”这个词(语言值)为例，来说明语气算子的作用则例2：以及10/30/2023假设有两个人，一个是60岁，另一个是70岁，那么他们分别属于“年老”、“很老”、“有点老”这三个语言值的隶属度可用公式求出为：从上面的隶属度可以得出这样的结论：70岁的人比60岁的人“年老”、“很老”和“有点老”的程度都高，也就是说70岁的人比60岁的人更老。10/30/202310/30/202310/30/20232、模糊化算子模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者将原来就已经是模糊概念的词义更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大约”等，如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数.例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作用于“5”这个精确数就变成“F(5)”这一模糊数。若模糊化算子“F”是“大约”，则“F(5)”就是“大约5”这样一个模糊数。在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。10/30/2023设模糊前的集合为A，模糊化算子为F，则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属函数关系满足如果A是清晰集，则

A(x)就是特征函数。

R(x，c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线,即参数

的取值大小取决于模糊化算子的强弱程度。10/30/2023例:

论域X上的清晰集A（x）的特征函数为取c＝5，则”大约是5”这一语言值的隶属度函数可以定义为

如右图所示：10/30/20233、判定化算子判定化算子与模糊化算子的作用相反。它是将原来具有模糊词义的词进行肯定化处理。如“趋向于”、“大半是”、“偏向于”等。设判定化前的集合为A，它的隶属函数为μA(x)，判定化算子为P，则判定化变换可以表示为P（A），它们的隶属函数关系满足当取

=1/2时，P1/2可用来表示“趋向于”。10/30/20232.3.4模糊逻辑推理一、模糊变换基于模糊关系的模糊变换是模糊控制中极为重要的运算过程。

所谓模糊变换，是指给定两个集合之间的一个模糊关系，据此将一个集合上的模糊子集经运算得到另一个集合上的模糊子集的过程。在模糊控制中，通过模糊变换可以从输入的模糊量求出所需的输出模糊量。R=A×BA’B’如图所示，当控制器的模糊关系R确定之后，若输入为A’，则可经运算，求得控制器的输出B’。10/30/2023上式就是模糊变换，结果B’实际上是模糊子集A’和模糊关系矩阵R的合成，它把X中的模糊集A’变为Y上的模糊集B’

，实现了论域的转换。当R表示的是某种逻辑因果关系时，则模糊变换就是一种模糊推理。设R为X×Y上的模糊关系，A’是X上的模糊子集，则可求出相应的B’为10/30/2023二、模糊逻辑推理常规的逻辑推理方法如演绎推理、归纳推理都是严格的。用传统二值逻辑进行推理时，只要推理规则是正确的，小前提是肯定的，那么就一定会得到确定的结论。例如，前提：如果A，则B，如果B，则C。结论：如果A，则C。然而，在现实生活中人们常常获得的信息是不精确的、不完全的、或者事实本身就是模糊而不能完全确定的。但又需要人们利用这些信息进行判断和决策。例如，若A大，则B小。已知A较大，则B应该多少?显然这样一类问题利用传统的二值逻辑是无法得到结果的，而人们在大部分情况下能够对其进行推理和判断，那么这种不确定性推理的规则是什么呢?目前有关这方面的理论和方法还不成熟，尚在发展之中10/30/2023目前已知的主要不确定性推理方法可归结为四类：MYCIN法、主观贝叶斯方法、证据理论法和模糊逻辑推理法模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。虽然它的数学基础没有形式逻辑那么严密，但用这种推理方法得到的结论与人类的思维推理结论是一致或相近的，并在实际使用中得到了验证，因此模糊逻辑推理方法已经受到了广泛的重视。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法。例大前提：腿长则跑步快小前提：小王腿很长结论：小王跑步很快10/30/2023大前提：腿长则跑步快小前提：小王腿很长结论：小王跑步很快它近似于二值逻辑的三段论推理模式。在这里“腿长”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似逻辑地推出的结论。通称为假言推理或是似然推理。

判断是否属于模糊逻辑推理的标准是看推理过程是否具有模糊性，具体表现看为推理规则是不是模糊的。10/30/2023在模糊逻辑推理中有两种重要的推理方法，广义取式（肯定前提）推理和广义拒式（否定结论）推理：（1）广义取式（肯定前提）推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是A’

，结论：y是B’（2）广义拒式（否定结论）推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果y不是B’

，结论：x不是A’其中A，B，A’，B’均为模糊集合，x和y为语言变量。后面的介绍将以广义取式为例10/30/2023模糊逻辑的推理方法还在发展之中，比较典型的有扎德(Zadeh)方法、玛达尼(Mamdani)方法、鲍德温(Baldwin)方法、耶格(Yager)方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法。

从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可分为四种模糊推理规则：近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理。

值得指出的是，这四种推理规则都可以选用不同的推理方法(如扎德法、玛达尼法、鲍德温法等)，但通常最简单、最方便的推理法还是玛达尼的极大极小推理法。下面以模糊取式推理为例，从近似推理、模糊条件推理、多输入模糊推理和多输入多规则推理四种推理方法来进行介绍。10/30/2023一、近似推理规则ifAthenB在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将该是多少呢?”。很自然用人们的常识可以推知：“如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达：要得到结论B’关键在于如何计算模糊关系矩阵R=A

B前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是A’

，结论：y是B’=A’

R=A’

(A

B)10/30/20231、Zadeh

推理法根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵R的元素μA

B(x,y)的不同计算方法，主要有两种：R=（A

B）=（A

B）

（1-

A）其隶属度函数为推理结果为B’=A’

R=A’

[（A

B）

（1-

A）]其隶属度函数为10/30/20232、Mamdani

推理法R=（A

B）=A×B=A

B其隶属度函数为Mamdani把模糊蕴涵关系用A和B的笛卡尔积（直积）表示：推理结果为B’=A’

R=A’

（A

B）其隶属度函数为10/30/2023论域X＝Y＝{1，2，3，4，5}，在X和Y上有三个模糊子集“大”、“小”、“较小”，分别如下： “大”＝0.4/3+0.7/4+1/5 “小“＝1/1+0.7/2+0.3/3 “较小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4已知规则：为若x小，则y大，那么当x＝较小时，y＝？例410/30/2023已知解：（1）由Zadeh推理法且可以得到x小到y大的模糊关系矩阵Rzd10/30/2023由上面的隶属度值可知，当x较小时“y较大”，因此可以得到x较小时的推理结果：从中可以看出，Zadeh的推理结果与人们的思维是一致的。模糊关系合成：10/30/2023（2）由Mamdani推理法也可以得到x小到y大的模糊关系矩阵Rmin10/30/2023由上面的隶属度值可知，当x较小时“y大”，因此可以得到x较小时的推理结果：在这里,Zadeh推理比Mamdani推理更符合人们的思维。10/30/2023ifAthenB的Mamdani推理法即单个前提单个规则推理：10/30/2023二、模糊条件推理ifAthenBelseC要实现模糊推理的关键是找出模糊关系矩阵，根据逻辑表达式，其模糊关系R是X×Y

的子集：由Mamdani推理法可得模糊关系R的隶属度函数为：前提1：如果x是A，则y是B，否则y是C前提2：如果x是A’

，结论：y是B’=A’

R10/30/2023输入为A’时模糊控制器的输出B’：输出B’的隶属度函数为：10/30/2023一个系统，当输入为A（温度高）时，输出为B（湿度小），否则输出C（湿度不小）。已知

A＝1/x1+0.4/x2+0.1/x3B=0.8/y1+0.5/y2+0.2/y3C=0.5/y1+0.6/y2+0.7/y3问题：当输入A’=0.2/x1+1/x2+0.4/x3时，输出B’？例5：10/30/2023先求关系矩阵R：所以A＝{10.40.1}B={0.80.50.2}C={0.50.60.7}因为Mamdani推理法：10/30/2023因此A’=[0.210.4]又因为则10/30/202310/30/202310/30/2023三、多输入单规则推理（采用Mandani推理法）多输入单规则推理在多输入单输出系统的设计中经常遇到，如在速度设定值控制系统中，“速度误差较大且速度误差的变化量为正大，那么加大输入控制电压”这样一类规则就需要用多输入模糊推理方式来解决。这种规则的一般形式为（以双输入单规则为例）：其中(A’×B’)T2

为由模糊关系矩阵(A’×B’)n×m构成的nm维行向量，n和m分别为模糊集合A与B的论域元素数。前提1：如果x是A且y是B，那么z

是C前提2：现在x是A’

且y是B’结论：z是C’=(A’ANDB’)

R=(A’×B’)T2

R10/30/2023前提1：如果x是A且y是B，那么z

是C前提2：现在x是A’

且y是B’结论：z是C’=(A’ANDB’)

R=(A’×B’)T2

R多输入单规则推理的模糊关系矩阵R：前提1所决定的三元模糊关系R为而(A×B)T1

为由模糊关系矩阵(A×B)n×m构成的nm维列向量，n和m分别为模糊集合A与B的论域元素数。10/30/2023输出C’的隶属函数的计算(采用Mamdani推理法)输入为A’和B’时模糊控制器的输出C’：10/30/2023多前提单规则的推理过程：10/30/2023已知ifAandBthenC

那么，当A’andB’

时C’＝？1）先求D＝A×B，令得到2）将D写成列向量DT1

：3）求关系矩阵R：

R＝DT1

×C

多前提单规则推理过程也可以用模糊关系矩阵的运算来表述：4）由A’

和B’

求出D’：D’=A’

×B’5）将D’

写成行向量D’T2:6）最后求出模糊推理输出

C’

：C’＝D’T2

。R10/30/2023例710/30/202310/30/202310/30/202310/30/202310/30/202310/30/2023注意：当模糊集合A和B的论域元素相同时，还可用下列关系式计算：10/30/2023多前提的近似推理对于两前件单规则（即若x是A和y是B，那么z是C）的模糊推理，当给定事实为精确量时（即x是x0，y是y0），模糊推理过程为：10/30/2023四、多输入多规则推理（采用Mandani推理法）推理结果为规则1规则2将多输入多规则推理分为多输入单规则推理的并集10/30/2023输出C’的隶属函数的计算推理结果为10/30/2023多前提多规则的推理过程：V10/30/202310/30/2023输入为精确量时的两前题两规则的模糊推理对于两前件两规则（即若x是A1和y是B1，那么z是C1；若x是A2和y是B2，那么z是C2）的模糊推理，当给定事实为精确量时（即x是x0，y是y0），模糊推理过程为：10/30/2023⑴

计算适配度

把事实与模糊规则的前件进行比较，求出事实对每个前件MF的适配度。⑵

求激励强度

用模糊与、或算子，把规则中各前件MF的适配度合并，求得激励强度。⑶求有效的后件MF

用激励强度去切割相应规则的后件MF，获得有效的后件MF。⑷

计算总输出MF

将所有的有效后件MF进行综合，求得总输出MF。综上所述，多个前件多条规则的模糊推理过程可以分为四步：10/30/2023练习2设有论域：已知模糊集合：模糊规则是：如果A且B则C求当10/30/2023三、模糊关系方程1、模糊关系方程概念 将模糊关系R看成一个模糊变换器。当A为输入时，B为输出，如图所示。图模糊变换器10/30/2023可分为两种情况讨论：（1）已知输入A和模糊关系R，求输出B，这是综合评判，即模糊变换问题。（2）已知输入A和输出B，求模糊关系R，或已知模糊关系R和输出B，求输入A，这是模糊综合评判的逆问题，需要求解模糊关系方程。10/30/20232、模糊关系方程的解 近似试探法是目前实际应用中较为常用的方法之一。例3.10解方程10/30/2023解：由方程得：显然三个括弧内的值都不可能超过0.4。由于是显然的，因此x2可以取[0,1]的任意值，即x2=[0,1]。

现在只考虑：这两个括弧内的值可以是：其中一个等于0.4，另一个不超过0.4。分两种情况讨论：10/30/2023(1)设0.6∧x1=0.4，0.4∧x3≤0.4，则，即方程的解为(2)设0.6∧x1≤0.4，0.4∧x3=0.4，则，即方程的解为10/30/2023

模糊控制系统：是一种自动控制系统，它是以模糊数学、模糊语言形式的知识表示和模糊逻辑推理为理论基础，采用计算机控制技术构成的一种具有闭环结构的数字控制系统。

核心：具有智能性的模糊控制器。对象：复杂过程。

特别适用于采用传统定量技术分析过于复杂的过程、或提供的信息是定性、非精确的、非确定的系统。2.4模糊控制系统的组成

10/30/2023▲模糊化▲知识库▲决策逻辑精确量转化为模糊量模糊控制系统的核心，对模糊量由给定的规则进行模糊推理包含数据库和规则库过程如下：2）对输入量进行尺度变换，使其在各自的论域范围。3）对输入量进行模糊处理，用相应的模糊集合表示。1）确定输入量数据库：主要包括各语言变量的隶属度函数，尺度变换因子及模糊空间的分级数。规则库：用语言值表示的控制规则。反映控制专家的经验和知识。▲反模糊化将模糊输出量转化为精确量1）将模糊量变换成精确量2）精确量经尺度变换成实际的控制量。10/30/20232、量化因子和比例因子基本论域：e和de的实际变化范围，记为[-emin，emax]，

[-demin，

demax]1、确定输入、输出变量输入：(E)(DE)输出：u(U)将连续量离散化：取X=[-n，-n+1，…0，1，…n-1，n]进行论域变换对于二维的FuzzyController一、模糊化过程n-----档数10/30/2023Ke确定后，任何e值都可以转化为X上的某一元素。一般可用下面线性公式：Xo：为实际的输入量；emax

emin：为输入量的变化范围。x：为转换后的离散量。例：Ke=0.6e=6转换后：Ke

e=3.6≈4如已知n=6，当Xo=emin，

x=-6当Xo=emax，

x=6

Xo=定义量化因子：x=010/30/2023同理：定义比例因子：注：e和de的连续值与其论域中的离散值并不是一一对应。3、语言值的选取正大—“PB”正中—“PM”正小—“PS”零—“ZE”负小—“NS”负中—“NM”负大—“NB”“PZ”“NZ”一般取7~8个语言值10/30/2023☆模糊变量的语言值的数目选取。在细分和粗分之间进行折中。下图的语言值的数目为3~9

。10/30/2023abd4、语言值的模糊子集常用的论域n=6模糊子集的MF一般取法（连续）：μPB(x)=1x=+6μPM(x)=1x=+4μPS(x)=1x=+2μPZ(x)=1x=+0μNZ(x)=1x=－0μNS(x)=1x=－2μNM(x)=1x=－4μNB(x)=1x=－6a值一般取法三角形正态函数b＞01xμ(x)0－2－424PBPMPSZENSNMNB－6610/30/2023语言变量：EDEU语言值：PBPMPSZENSNMNB模糊子集：

-61.00.30.00.00.00.00.0

-40.31.00.30.00.00.00.0

-50.70.70.00.00.00.00.0

-30.00.70.70.00.00.00.0

-20.00.31.00.30.00.00.0

-10.00.00.70.70.00.00.0

00.00.00.31.00.30.00.0

10.00.00.00.70.70.00.0

20.00.00.00.31.00.30.0

30.00.00.00.00.70.70.0

40.00.00.00.00.31.00.3

50.00.00.00.00.00.70.7

60.00.00.00.00.00.31

NB

NMNSZEPSPMPBEμ语言值同理可得DE，U赋值表5、语言变量赋值表（离散）如10/30/2023例：采集到一个精确数：e=6根据设定（计算）好的Ke

（

K△e、

Ku）求：n=Ke

e=3.6≈4在上表中找出最大μ(x)对应的语言值的模糊子集。这样就将一个精确数转变成了模糊数。10/30/2023二、模糊控制规则有四种方法：专家经验法、观察法、基于模糊模型、自组织法专家经验法：通过对专家控制经验的咨询形成控制规则库。观察法：观察操作人员的实际控制过程。采用“if-then”规则语言来表达经验。采用“if-then”规则语言来进行控制。基于模糊模型：用语言描述建立对象的模糊模型，以便得到模糊控制规则。由规律3可得出一条控制规则：自组织法：模糊控制规则能随着环境或对象的变化进行修改。10/30/2