【最新】高中数学-第五篇 平面向量

1、第1讲平面向量的概念及其线性运算知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(

2、ab)ca(bc)续表减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.辨 析 感 悟1对共线向量的理解(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同()(2)若ab，bc，则ac.()(3)(2013郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则.()2对向量线性运算的应用(4)ABCA.()(5)(教材习题改编)在

3、ABC中，D是BC的中点，则A(AA)()感悟提升1一个区别两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上2两个防范一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中真命题的序号是_解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B

4、，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.答案规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量

5、不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小【训练1】 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的序号是_解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题答案考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)(2013四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点，则_.(2)(2013泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，

6、且，那么_ .解析(1)2，2.(2)，22.答案(1)2(2)2规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用【训练2】 如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则C可用A与B表示为_解析由题意知：， ，而0，0.答案考点三向量共线定理及其应用【例3】 (2013郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，

7、3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线审题路线(1)由向量的加法，得用a，b表示得到与的关系式由向量共线定理，得与共线再看是否有公共点得到证明的结论(2)假设存在实数k利用向量共线定理列出方程根据a、b是两个不共线的向量得出方程组解得k值(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与

8、三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线【训练3】 (2014西安模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数的值为_解析由于c与d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，所以1或.又因为k0，所以0，故1.答案11向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2对于向

9、量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置方法优化3准确把握平面向量的概念和运算【典例】 (2012浙江卷改编)设a，b是两个非零向量对于结论：若|ab|a|b|，则ab；若ab，则|ab|a|b|；若|ab|a|b|，则存在实数，使得ba；若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|.正确结论的序号是_一般解法 结论，若ba，则等式|ab|a|b|成立，显然ab不成立；结论，若ab且|a|b|，则|a|b|0，显然，|ab|a|0，故|ab|a|b|不成

10、立；结论正确；结论，若ba，则|a|b|0，显然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立优美解法 (数量积法)把等式|ab|a|b|两边平方，得(ab)2(|a|b|)2，即2ab2|a|b|，而ab|a|b|cosa，b，所以cosa，b1.又因为a，b0，所以a，b，即a，b为方向相反的共线向量故正确答案反思感悟 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|ab|a|b|”在处理过程中误认为“|ab|ab|”，从而得到“ab”这个错误的结论【自主体验】在OAB中，a，b，OD是AB边上的高，若，则实数_.；.解析由，|.又|a|cos A|a|，|ab|，.答案基础巩固题组(建议用时：4

11、0分钟)一、填空题1若O，E，F是不共线的任意三点，则可用与表示为_解析由图可知.答案2.(2014汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，等于_解析因为ABCDEF是正六边形，故.答案3对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的_条件解析若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab，ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件答案充分不必要4(2013大连联考)已知a，b，c，d，且四边形ABCD为平行四边形，则a、b、c、d四个向量满足的关系为_解析依题意得，AD，故AC0，即0，即有0，则abcd0.答案abcd05(2014宿迁质检)若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则AB

12、M与ABC的面积比为_解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且 ，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为.答案6(2014湖州月考)给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上其中不正确命题的序号是_解析中，向量与为相反向量，它们的长度相等，此命题正确中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误由相等向量

13、的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误共线向量是方向相同或相反的向量，若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，该命题错误答案7在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b表示)解析由3，得43 3(ab)，ab，所以(ab)ab.答案ab8(2014泰安模拟)设a，b是两个不共线向量， 2apb， ab， a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为_解析2ab，又A，B，D三点共线，存在实数，使.即p1.答案1二、解答题9若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相

14、同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解设a，tb，(ab)，ab，tba.要使A，B，C三点共线，只需.即ab(tba)tba.又a与b为不共线的非零向量，有当t时，三向量终点在同一直线上10如图，在平行四边形OADB中，设a， b， ， .试用a，b表示， 及.解由题意知，在平行四边形OADB中， ( )(ab)ab，则babab. ( )(ab)ab，ababab.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图所示，在ABC中，已知点D在AB边上，且2，CB，则_.解析因为()，所以.答案2在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若x (1

15、x) ，则实数x的取值范围是_解析设(1)，则(1) ，又x (1x) ，所以x (1x) (1) .所以1x1，得x0.答案(，0)3若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析2，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形答案直角三角形二、解答题4.在ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.解( )()(1) (1)ab.又m ( )(1m) a(1m)b，解得m，Aab.第2讲平面向量基本定理及坐标表示知 识 梳 理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a

16、，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.辨 析 感 悟1对平面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底(

17、)(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)(2013广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：给定向量b，总存在向量c，使abc.()给定向量b和c，总存在实数和，使abc；()给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；()给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.()2平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点A(2,1)，B(1,3)，则A(3,2)()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(6)(2013湘潭调研改编)已知向量a(4，x)，b(4,

18、4)，若ab，则x的值为4.()感悟提升1一个区别向量坐标与点的坐标不同，在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量Oa，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量aO(x，y)当平面向量O平行移动到时，向量不变即O(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化2两个防范一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10，如(5)考点一平面向量基本定理的应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c， d，试用c

19、，d表示， .解法一设a，b，则ad，bc.将代入，得ad，adc(2dc)，将代入，得bc(2dc)(2cd)(2dc)， (2cd)法二设a， b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以b， a，因而即(2dc)， (2cd).规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【训练1】 如图，在ABC中， ，P是BN上的一点，若m ，则实数m的值为_解析设|y，|x，则 ，yx得，令，得yx，代入得m.答案考点二

20、平面向量的坐标运算【例2】 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a， b， c，且3c， 2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M的坐标为(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,2)，(90,220)(9，18)规律方法 向量的坐标运算主要是利

21、用加、减、数乘运算法则进行的若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用【训练2】 (1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab_.(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_.解析(1)a，b，故ab(1,2)(2)由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案(1)(1,2)(2)(3，5)考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标审题路线

22、(1)分别求出(akc)与(2ba)的坐标利用向量平行的充要条件列方程解关于k的方程；(2)设d的坐标根据已知条件列出方程组解方程组，得到d的坐标解(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5,3)规律方法 ab的充要条件有两种表达方式：(1)ab(b0)ab(R)；(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0，而第(2)种无b0限制【训

23、练3】 (1)(2013陕西卷改编)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于_(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析(1)ab，12mm，解得m.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，2 .设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案(1)或(2)(2,4)1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数

24、表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用思想方法4方程思想在平面向量线性运算中的应用【典例】 如图所示，在ABO中， ， ，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.解设manb，则manba(m1)anb. ab.又A，M，D三点共线，与共线存在实数t，使得t ，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C，M，B三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，anbt1，消去

25、t1得，4mn1.由得m，n，ab.反思感悟 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解(3)本题难点是找不到问题的切入口，并且解题过程复杂，有一定的难度【自主体验】1设e1，e2是平面内一组基底，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析由题意，设e1e2manb.又ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.又e1，e2是平面内一组基向量，所以则答案2已知向量a，b(x,1)，其

26、中x0，若(a2b)(2ab)，则x_.解析a2b，2ab(16x，x1)，由题意得(82x)(x1)(16x)，整理得x216，又x0，所以x4.答案4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1在ABCD中，若(1,3)，(2,5)，则_，_.解析(1,2)，(0，1)答案(1,2)(0，1)2(2014揭阳二模)已知点A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，则点B的坐标为_解析设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5)由3a，得解得答案(5,14)3. 如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，x y ，且2 ，则x_，y_.解析由题意知，又2 ，所以()，所以x，y.答案4(2013镇

27、江模拟)已知向量a(1,1)，b(3，m)，a(ab)，则m_.解析ab(2，m1)，由a(ab)，得(1)(m1)210，解得m3.答案35(2014南京模拟)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.解析3 3(2 )6 3 (6,30)(12,9)(6,21)答案(6,21)6若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案7已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是_解析由题意得

28、(3,1)，(2m,1m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.答案m8(2013江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若1 2 (1，2为实数)，则12的值为_解析()，所以1，2，即12.答案二、解答题9已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，法一当kab与a3b平行时，存在唯一实数使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，当k时，kab与a3b平行，这时kabab

29、(a3b)0，kab与a3b反向法二kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k，此时kab(a3b)当k时，kab与a3b平行，并且反向10已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1 t2 .(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20，(2)证明当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2 ，A，B，M三点共线能力提升题组(建议用时

30、：25分钟)一、填空题1(2013保定模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为_解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理得b2a2c2ab，由余弦定理得cos C，又0C0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析(a1,1)，(b1,2)A，B，C三点共线，.2(a1)(b1)0，2ab1.(2ab)442 8.当且仅当时取等号的最小值是8.答案8二、解答题4.如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(1，2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标解以A，B，C为顶点的平

31、行四边形可以有三种情况：ABCD；ADBC；ABDC.设D的坐标为(x，y)，若是ABCD，则由，得(0,2)(1,0)(1，2)(x，y)，即(1,2)(1x，2y)，x0，y4.D点的坐标为(0，4)(如题图中所示的D1)若是ADBC，由，得(0,2)(1，2)(x，y)(1,0)，即(1,4)(x1，y)，解得x2，y4.D点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D2)若是ABDC，则由，得(0,2)(1,0)(x，y)(1，2)，即(1,2)(x1，y2)解得x2，y0.D点的坐标为(2,0)(如题图中所示的D3)，以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，4)或(2,4)

32、或(2,0).第3讲平面向量的数量积知 识 梳 理1平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地，aa|a|2；|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba

33、(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.abx1y2x2y10.辨 析 感 悟1对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量()(2)(2013湖北卷改编)已知点A(1,1)，B(1,2)，C

34、(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为.()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)ab0，则a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)abac(a0)，则bc.()感悟提升三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量设向量a，b的夹角为，当为锐角时，投影为正值；当为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0；当0时，b在a的方向上投影为|b|，当180时，b在a方向上投影为|b|，如(2)；当0时，ab0，180，ab0，即a

35、b0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab，如(4)考点一平面向量数量积的运算【例1】 (1)(2013茂名二模)若向量a，b，c满足ab，且bc0，则(2ab)c_.(2)(2014威海期末考试)已知a(1,2)，2ab(3,1)，则ab_.解析(1)ab，ba.又bc0，ac0，(2ab)c2acbc0.(2)a(1,2)，2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)ab(1,2)(1,3)1235.答案(1)0(2)5规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积

36、的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用【训练1】 (1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x_.(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30，即183x30，解得x4.(2)b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3211cos 86.答案(1)4(2)6考点二向量的夹角与向量的模【例2】 (1)(2013安徽卷)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a

37、与b夹角的余弦值为_(2)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24ab，则|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ，即04|b|243|b|2cos ，得cos .(2)因为|2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2.答案(1)(2)2规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)|a|常用来求向量的模【训练2】 (1)(2014长沙模拟)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)若平面向量a，b满足|a|1，|b|1，且以向量a，b为邻边

38、的平行四边形的面积为，则a和b的夹角的取值范围是_解析(1)由|2ab|平方得，4a24abb210，即|b|24|b|cos 45410，亦即|b|22|b|60，解得|b|3或|b|(舍去)(2)依题意有|a|b|sin ，即sin ，由|b|1，得sin 1，又0，故有.答案(1)3(2)考点三平面向量的垂直问题【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数)审题路线证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证由模相等，列等式、化简求.(1)证明(ab)(

39、ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0，0，.规律方法 (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y20.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0.(3)数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab

40、0，但不能说ab.【训练3】 已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)(1)证明ab10，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)(t0)1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量

41、垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧教你审题5数量积的计算问题【典例】 (2012上海卷)在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_审题一审：抓住题眼“矩形ABCD”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决解析 如图，以A点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，设k(0k1)，则点M的坐标为(2，k)，点N的坐标为(22k,1)，则(2，k)，(22k,1)，2(22k)k43k，而0k1，故143k4.答案1,4反思感悟 在利用平面

42、向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多【自主体验】在ABC中，C90，且CACB3，点M满足2，则_.解析法一由2可知，A是线段MB的中点，如图所示由题意，ACBC，且CACB3，()()()(2)2223218.法二如图建立平面直角坐标系，则C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)由题意知：|3，|6.设M(x，y)，2(x3，y)2(3,3)则x3，y6，即M(3,6)(3,6)(0,3)18.答案18基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013湛江二模)向量a(1,2)，b(0,2)，则ab_.解析ab(1,2)(0

43、,2)10224.答案42(2014绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，BAD120，则在方向上的投影为_解析如图所示，在方向上的投影为|cos 6021.答案13(2013山东省实验中学诊断)已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)若a2b与c垂直，则k_.解析由题意知(a2b)c0，即ac2bc0.所以k20，解得k3.答案34(2014浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|b|，且(2ab)b0，则向量a，b的夹角为_解析由(2ab)b0，得2ab|b|20.2|b|2cosa，b|b|20，cosa，b，又a，b0，a，b.答案5(2013福建卷改编)在四边形ABCD中，(1,2)，B(4,2)，则该四边形的面积为_解析1(4)220，S四边形5.答案56(2013课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|21t1.由bc0，得10，所以t2.答案27(2013重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3,1)，(2，k)，则实数k_.解析在矩形中，(3,1)，(2，k)，所以(2，k)(3,1)(1，k1)，因