因式分解的所有方法

1、因式分解的所有方法因式分解的多种方法编者按： 很多同学在做因式分解的题目时， 会 觉得无从入手。 而面临竞赛题目时， 更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因 式分解没有想象中的那么难。1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一： 2x2 3x = 0解：x ( 2x 3 ) = 03 x1 =0 , x2= 2 这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解 x= a时，该式分解后必有一 个(x- a)因式。这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：

2、完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二： x2 4 分解因式 分析：此题较为简单，可以看出 4=2 2 ，适用平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 解：原式 = (x+2)(x-2)3】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来 需要可持续性！例三： x2 + 4x + 4 y2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方 差公式解：原式 =(x 2)2 y2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性4】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会

3、很轻松。注意： 它不难。这种方法的关键是把二次项系数 a分解成两个因数 a1, a2的积 a1 a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1, c2的积 c1 c2，并使 a1c2+a2 c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果例四： 把 2x27x + 3 分解因式 . 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘， 求代数和，使其等于一次项系数 .分解二次项系数 ( 只取正因数 )： 21221； 分解常数项： 3=1 3=31=(-3) (-1)=(-1) (-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1

4、 2 313 + 2 1=51 3 2 111 + 2 3=71 -1 2 -31(-3) + 2 (-1)=-51 -32 -11(-1)+2 (-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰 等于一次项系数 7.解 原式 =(x-3)(2x-1).总结： 对于二次三项式 a x 2 +bx+c( a0) ，如果二次项系数 a可以分解成 两个因数之积， 即a = a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积， 即 c=c1 c2， 把 a1， a2 ， c1， c 2 ，排列如下：a1 c1a2 c2a1 c2 +a2 c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1 c

5、2 +a2 c1 ，若它正好等于二次三项式a x 2 +bx+c 的一次项系数 b，即 a1 c2 +a2 c1 =b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1 x+ c1与 a2 x+ c2之积，即2a x +bx+c=( a1x+ c1)( a2x+ c2).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五： (x y)2 -2(x+y)+1 分解因式考虑到 x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a代替 x+y那么原式 =a2 2a 1回代 原式=(x(a 1)2y 1)26】主元法这种方法要难一些，多练即可 即把一个字

6、母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：因式分解 16y 2x2(y 1)2 (y 1)2 x4分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以 y 为主元会使原式 其烦琐，而以 x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式 =(y 1)2 x4 2(y 1)2 x2 16 y 【主元法】=(x2y2 2x2y x2 8y)(x2 2) 【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。用来分解形如 ax2 bxyc y2dxeyf 的二次六项式在草稿纸上，将 a 分解成 mn乘积作为一列， c 分解成 pq 乘积作为第二列， f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果

7、 mqnpb，pkqj e， mknj d， 即第 1,2 列和第 2,3 列都满足十字相乘规则。要诀：把缺少的一项当作系数为0， 0 乘任何数得 0，例七： ab b2 ab2 分解因式解：原式 0 1 a ab b a b 20 ab1)( ab 2)b1）（ a b2）8】待定系数法 将式子看成方程，将方程的解代入 这时就要用到 1】中提到的知识点了 当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个 （x-a） 因式例八： x2 + x- 2 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法 我们可以把它当方程做， x2 +x-2=0 一眼看出，该方程有一根为 x=1那么必有一因式为 （

8、x-1） 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2（因为乘 -1 要为-2） 一次项系数必为 1（因为与 1 相乘要为 1）所以另一因式为（ x+2） 分解为 （x-1）（x+2）9 】列竖式法 原理和小学的除法差不多 要建立在待定系数法的方程法上 不足的项要用 0 补 除的时候，一定要让第一项抵消例九： 3x3 +5x2-2 分解因式提示： x=-1 可以使该式 =0，有因式（ x+1）3x2 2x 2x 1 3x3 5x2 0x 2 3x3 3x22 2 x2 0x.2x2 2x 2x 2 2x 20解 原式 =(x+1)(3 x2 +2x-2)此方法是对10】解方程法ax2 bx c

9、分解的万能方法，但在学过解方程后才会使用设 ax 2 bxc0解得方程得x x1,x x2 ax2 bxa(x x1)(x x2)例十： x2 -x-1分解因式设 x2 x 1解得方程得x1152 ,x2152 x2 x 1(x1 5 12 )(x5)2考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。221) (ab b)2 (a b)23 2 2 2 2 2 33) 3a b c 6a b c 9ab c5) (3a b)2 4(3a b)(a 3b) 4(a7)(x 2)(x 3)(x2)(x 4)2 2 2(2) (a2 x2) 4ax(x a)2(4) xy62x3y3b)2 (6)12x2 29x15(8)x(y 2) xy110） 2x4 13x3 20x2 11x 2（9）4x24xy y2 4x2y3（11）2x2 7xy 22y2 5x 35y 3（12） 4m2 8mn 3n2+3x-10（ 13 ） 4n2 4n 15 （ 14 ） x2 +2x-8 （ 1