微分方程方程理论

1、微分方程概论1 微分方程的一般理论1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程ddxt f (t,x)x(t0) x01)其中 f (t, x)是t和x的已知函数， x(t0) x0为初始条件，又称 定解条件 一阶的微分方程组ddxti fi(t,x1,x2, ,xm) (i 1,2, ,m) xi(t0) xi(0) (i 1,2, ,m)(2)方程组(2)又称为一阶正规方程组如果引入向量 T (0) (0) (0) Tx (x1,x2, ,xm) ,x0 (x1 ,x2 , ,xm ) dx1 ,dx2 , ,dxm dt dt dtf (f1,f2, , fm)T,ddxt则方程组2)可以写为

2、简单的形式ddxt f (t,x)x(t0) x03)即与方程1)的形式相同，当 m 1 时为方程( 1) 对于任一高阶 (n 阶)的微分方程dn xdxddtnx f(t;x,ddxt ,dn 1x)dtn1)如果记 d ixidtiyi(i 0,1,2, ,n),则方程为 dydnt 1f (t;y0,y1, ,yn 1) ，即可化为一阶方程组的形式因此，下面 主要对正规方程组( 3)进行讨论1.2 微分方程解的存在唯一性正规方程组( 3)的解存在且唯一的定理 .定理 1(Cauchy-Peano ) 如果函数 f(t,x)在R:t t0 a, x x0 b上连续，则方程b组( 3)在 t

3、 t0 h上存在解 x (t)满足初值条件 x0(t0) ，此处 h min a, ，0 0 0 MM (mt,xa)xR f(t,x)定理 2 如果函数 f (t,x)在R: t t0 a, x x0 b上连续，且满足李普希兹 (Lipschitz) 条件(即存在正常数 L使得 f(t,x(1) f(t,x(2) Lx(1) x(2) ，其中 (t,x(1),(t,x(2) R), 则方程组( 3)满足初值条件 x0 (t0) 的解是唯一的1.3 微分方程的稳定性问题实际中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律， 在用微分方程来研究这个物理过程中， 人们只能考虑影响该过程的主要因素， 而不得

4、不忽略一些认为次要的因素， 这种次要的因素通 常称为 干扰因素 这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用从数学上来 看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化在实际问题中，干扰 因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的 微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题这里仍以方程组 (3)为例讨论1. 有限区间的稳定性如果 f(t,x)在某个有限的区域 G Rn1内连续，且对 x满足李普希兹条件， x (t)(a t b)是方程组( 3)的一个特解，则当 x0 充分接近于 (t0)(a t0 b)时，方

5、 程组( 3)在 a t b 上满足初值条件 x0 x(t0 )的解 x (t,t0,x0)有x lim(t ) (t,t0,x0 )(t) (a t b)即对任意给定的0 ，总存在相应的 ( ) 0,当 x0(t0) ( ) 时，对一切 a t b有(t,t0 ,x0)(t)则称方程组( 3)的解 x (t )在有限区间 a t b上是稳定的 2. 无限区间的稳定性如果 x (t)(t t0 )是方程组 (3) 的一个特解， x (t,t0,x0)( t t0 )是方程组( 3)满 足初值条件 x0 x(t0)的解对任意给定的0 ，总存在相应的 ( ) 0, 当x0 (t0 )( ) 时，对

6、一切 t t0有(t,t0 ,x0) (t)则称方程组( 3)的解 x(t )在无限区间 t t0 上是稳定的 ，即无限区间上的稳定3. 渐近稳定性如果方程组(3)解 x (t)在无限区间t t0上是稳定的，且存在 0 0，当 x0(t0 )0时，有lim (t,t0,x0)(t) 0则称 x(t)是渐近稳定 的, 或称局部渐近稳定性 如果上述 0 (或给定的一个有限常数) ，则相应的渐近稳定性称为 全局渐近稳定性 (或 大范围渐近稳定性 )4. 经常扰动下的稳定性 对于方程组( 3)，考虑相应的方程组 dxdx f (t, x) R(t, x)(4)dt这里的 R(t, x)称为扰动函数 如

7、果对任意给定的0, 总存在 ( ) 0和 ( ) 0，使得当 x0 (t0)( )时有R(t, x) ( ) 则方程组( 4)有满足初值条件 x0 x(t0 )的解 x (t,t0,x0)( t t0)且当 t t0时有(t,t0, x0) (t) 就说方程组( 3)的特解 x (t) 在经常扰动下是稳定的5. 研究稳定性的方法 实际中，要研究方程组 (3)的解 x(t) 的稳定性问题， 可以转化为研究方程的零解 (平x (t ) ，只要令 y x (t) ，则ddxt d dt(t) f(t,x) f(t, (t)凡解)的稳定性问题事实上：对于方程组( 3)的任一特解dydtf(t,y (t

8、) f(t, (t) g(t, y)显然有 g(t,0) 0 故方程组( 3)变为dy g(t, y)( 5)dt于是可知方程组( 3)的解 x(t) 对应于方程组( 5)为 y 0 (平凡解)因此，要研究方程组( 3)的 x(t) 的稳定性问题可转化为研究方程组( 5)的平凡解 y 0的稳定性问题如果微分方程组的所有解都能简单地求出来，一个特解的稳定性问题并不难解决，然而，实际中这种情况太少了因此，一般性的稳定性问题的研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究2 微分方程的平衡点及稳定性2.1 微分方程的平衡点设有微分方程组( 3)，对于 x (x1,x2, ,xn)T Rn,t

9、 a,b， f (t, x )在某个区域内连 续，且满足解的存在唯一性条件如果存在某个常数 x0 Rn ，使得 f (t,x0) 0 ，则称点 x0 为方程组( 3)的平衡点 (或奇点)，且称 x x0为方程组的 平凡解(或奇解)如果对所有可能初值条件，方程组( 3)的解 x(t) 都满足lim (t) x0t则称平衡点 x0是稳定的(渐近稳定)；否则是 不稳定的 实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法： 间接方法和直接方法 lim (t) x0 来判断 t间接方法： 首先求出方程的解 x (t) ，然后利用定义直接方法： 不用求方程的解直接的来研究其稳定性2.2 一阶方程的平衡点及稳定性设有微

10、分方程f (x) ，其相应的平衡点为代数方程f(x) 0的实根 x x0 其稳定dt性可以用间接方法判断，下面说明直接方法首先,将函数 f(x)在 x0点作一阶泰勒 (Taylor) 展开，即方程可以近似地表示为dx f (x0)(x x0)dt显然， x0 也是该方程的一个平衡点，其稳定性主要取决于f (x0 )符号，即有下面结论：若 f (x0) 0，则平衡点 x0是稳定的；若 f (x0) 0 ，则平衡点是不稳定的 2.3 平面方程的平衡点及稳定性dtf (x1,x2)g(x1,x2)设 平面方程组 的一般形式为6)则称代数方程组f (x1, x2 ) 0g(x1, x2) 0的实根 x

11、1 x(1 0)，x2 x2( 0)为平面方程组 (6) 的平衡点 ，记为 P0(x(10)，x2(0) 如果对 所有可能 的初值条件 方程的解为 x1(t)，x2(t) 满足lim x1(t) x10 ，lim x2 (t) x2(0) tt则称平衡点 P0(x(10)，x2(0) 是稳定的 ；否则是 不稳定的 也可以用直接方法讨论 将方程组( 6)的右边的函数作一阶泰勒展开，即可表示为近似的线性方程组dx1dtdx2dtfx1(x1(0),x2(0)(x1 x1(0) fx2(x1(0),x2(0)(x2 x2(0) )gx1(x1(0),x2(0)(x1 x1(0) gx2 (x1(0),x2(0)(x2 x2(0)7)fx1 f x2记系数矩阵为 Ax1x2 ，且假设其行列式 A 0 ，则方程组( 7)的特征方程为g x1 gx2 P2A I 0 , 即 2 p q 0其中 p ( fx1