初中数学知识点总结(华师大)

1、 32 七年级上 有理数 1相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出 2. 正数和负数 1 像+2，+12，1.3，258等大于0的数(“+”通常不写)叫正数。 3 像-5，-2.8，- 4等在正数前面加“一(读负)的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3. 有理数 (1)整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 (2)有理数分类 按有理数的定义分类 2 )按正负分类 r 正整数 正整数 整数* 0 正有理数* 有理数Y 负整数 有理数 j 、 正分数 f 正分数 0 1 负整数 * 分数 1

2、 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 (3) 数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类 似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组 成的数集叫做非负数集。 4. 数轴 (1) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2)数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数. (2) 在数轴上比较有理数的大小 1) 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

3、 2) 由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0,正数大于一切负数。 5. 相反数 (1 )只有符号不同的两个数称互为相反数，如-5与5互为相反数。 (2) 从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。(几何意义) (3) 0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 (4) 相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 (5 )数a的相反数是一a。 (6)多重符号化简 多重符号化简的结果是由“-”号的个数决定的。如果“-”号是奇数个，则结果为负；如保是偶数个，则结果为 正。可简写为“奇负偶正”。 6. 绝对值 (1 )在数轴上表示数a的点离

4、开原点的距离，叫做数 a的绝对值。 (2 )一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. a, a 0 a 0,a0 a, a 0 (3) 绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即 a0,因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零. (4) 两个相反数的绝对值相等. (5) 运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. (6 )比较两个负数的方法步骤是： 1) 先分别求出两个负数的绝对值； 2) 比较这两个绝对值的大小； 3) 根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断. 7. 有理数的加法 (1) 有理数加法法则 1) 同号两数相加，取相同的

5、符号，并把绝对值相加。 2) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3) 互为相反数的两个数相加得零。 4) 一个数与0相加，仍得这个数。 (2) 有理数加法的运算律 加法交换律：a + b= b+ a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 8. 有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数。 a-b=a+(-b) 9. 有理数的加减混合运算 (1) 省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+( +10) + (-6 ) + (-4 )写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8

6、,正10,负6，负4的和”也可读作“负 8加10减6减4。 (2) 适当的应用加法运算律。 10. 有理数的乘法 (1) 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 (2 )几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为 偶数时，积为正。 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 (3) 乘法运算律 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac 11. 有理数的除法 (1) 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 【注】0没有倒数。 (2 )有理数除

7、法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。 1 aba (b 0) b (3) 有理数的除法法则2 :两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 零除以任何一个不等于的数，都得零。 12. 有理数的乘方 (1) 求几个相同因数积的运算，叫做乘方。 n a a a a a x n个 (2) 乘方的结果叫做幕，a叫做底数，n叫做指数。 (3) 有理数乘方法则： 正数的任何次幕都是正数，负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数，0的任何非0次幕都是零。 13. 科学记数法 (1 )一般的，10的n次幕，在1的后面有n的0。 (2) 一个大于0的数就记成a 10的形式。其中1

8、a 10, n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。 (3) 用科学记数法表示一个数时，10的指数等于原数的整数位数减 1 o (或等于小数点向右移动的位数。 14. 有理数的混合运算 (1 )先算乘方，再算乘除，最后算加减。 (2 )同级运算，按照从左至右的顺序进行。 (3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 15. 近似数和有效数字 (1 )准确数：完全符合实际的数。 (2) 近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。 (3) 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确 到的位数止

9、，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 (4 )近似数的精确度有两种形式：1 )精确到哪一位，2)保留几个有效数字。 第三章整式的加减 1. 用字母表示数 2. 代数式 (1) 由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。 【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。代数式中不可含有“”、“”、“=”、“ ”、“ ”、“”等表示 相等或不等关系的符号。 (2 )代数式书写要求 1) 代数式中出现的乘号，通常写作“? ”或省略不写。但数字与数字相乘时，要用“ ”。 2) 数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。 3) 除法运算写成分数形式。 4) 带分数与字母相

10、乘时，要把带分数写成假分数。 5) 在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数 式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。 (3)解释简单代数式表示的实际背景 (4 )列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。 【注】抓住题中表示运算关系的关键词：如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。 (5) 代数式的值 一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。 【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化

11、而变化。所以求代数式值时，在代入前必须写出“当时” 2)代数式里字母的取值必须确保代数式有意义。 3. 单项式 2 (1 )如100t、6a 、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母 也是单项式。 (2) 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 (3 )单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 【注】1)当一个单项式的系数是 1或-1时，“1 ”通常省略不写。 2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 4. 多项式 (1 )几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫

12、做常数项。 (2 )多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 2 (3) 一个多项式含有几项，就叫几项式；例如： x +2X+18是一个二次三项式。 【注】1)多项式的次数不是所有项的次数和。 2)多项式的每一项都包括它前面的正负号。 5. 整式单项式与多项式统称为整式。 6. 升幕排列与降幕排列 为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幕排列。 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幕排列。 【注】重新排列的多项式，每一项一定要连

13、同它的正负号一起移动。 含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幕排列或降幕排列。 7. 整式的加减 (1 )同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 (2)合并同类项：根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。 合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 (3)去括号与添括号 1) 去括号法则：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一” 号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。 a+(b+c)

14、=a+b+ca_(b+c)=a_b_c 2) 添括号法则：所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括 号里的各项都改变正负号。 a+b+c= a+(b+c) a_b_c= a_(b+c) (4) 整式的加减先去括号，再合并同类项。 第五章图形的初步认识 1. 生活中常见的立体图形 (1) 球体 (2) 柱体：包括圆柱和棱柱。 1) 圆柱：有两个底面是圆，侧面是曲面。 2) 棱柱：上下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形。 棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 (3) 椎体：包括圆锥和棱锥。 1) 圆锥：有一个底面是圆，侧

15、面是曲面。 2) 棱锥：底面是多边形，侧面是三角形。 棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 (4 )多面体：由平的面围成的立体图形。 2. 画立体图形 (1) 视图：就是从正面、上面、和侧面(左面或右面)三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即 视图 射线：有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。有一种表示方法射线 0A. 正视图：从正面看到的图形。 俯视图：从上面看到的图形。 侧视图：从侧面看到的图形。依观看方向不同，有左视图、右视图。 三视图：通常把正视图、俯视图、与左(或右)视图称作一个物体的三视图。 (2 )球体的三视图都是圆。 正方体的三视图都是正方形 圆柱

16、体的正视图和左视图都是长方体，俯视图是圆。 圆锥体的正视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中心有一个点。 3. 由视图到立体图形 主视图：可分清物体的长与高。 俯视图：可分清物体的长与宽。 左视图：可分清物体的宽与高。 口诀：主俯长对正，主左高齐平，俯左宽相等。 4. 立体图形的表面展开图 多面体是由平面图形围成的的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形， 这个平面图形叫做多面体的表面展开图。 正方体的表面展开图：有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型” 口诀：一行不过四，“田” “凹”应弃之，相间、Z端是对面。 5. 平面图形 (1 )圆是由

17、曲线围成的封闭图形。 (2) 多边形：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段首尾顺次连结所组成的封闭 图形叫做多边形 按照组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形 在多边形里，三角形是最基本的图形，每个n边形都可以分割成(n-2)个三角形。 6. 最基本的图形 点和线 (1) 点：通常表示一个物体的位置。 (2) 线段、射线、直线 线段：有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。有两种表示方法线段AB(BA)，或线段a。 .a AB OA 直线：没有端点，向两方限延伸，不可度量。有两种表示方法直线AB(BA)，直线I I AB (3 )两点之间，线段最短。 经

18、过两点有且只有一条直线。 (4 )线段长短的比较 1) 度量法 2) 叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。 (5) 画一条线段等于已知线段。 已知：线段MN, 求作：一条线段AC,使AC=MN 做法：1)画一条射线AB 2) 用圆规量出线段MN的长 3) 在射线AB上截取AC=MN则线段AC就是要画的线段。 (6 )线段中点把一条线段分成相等的点，叫做这条线段的中点。 7. 角 (1 )角是由两条有公共端点的射线组成的图形。 (2 )角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角 的始边，终止位置的射线

19、叫做角的中边。 【注】角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短无关。 (3) 角的表示方法 1)用数字表示单独的一个角。如/1，/ 2等 2) 用小写的希腊字母表示单独的一个角。如/，/ 等 3) 用一个大写的英文字母表示独立(在一个顶点处只有一个角)的角。如/O, Z A等。 360 4)用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。 如Z AOB Z BOC等 (4 )角的分类 Oo 锐角0 /90 o 直角/ =90 oo 钝角 90 z ”或“ ”、“b a xa 1时需要注意 axb，那么 a+cb+c，a_cb_c。 性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一

20、个正数，不等号的方向不变。 如果ab，并且c0，那么acbc。 性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果ab，并且c0，那么acr，a 0) 2. 整式的乘法 (1) 单项式与单项式相乘将它们的系数、相同字母的幕分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它 的指数一起作为积的一个因式。 (2) 单项式与多项式相乘将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 (3) 多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b) (m+n)=am+bm+an+bn 3. 乘法公式 (1)平方差公式：两数和乘以这两数的

21、差，等于这两个数的平方差。 aba b 2 a b2 完全平方公式： 两数和 (或差) 的平方，等于它们的平方和加上(或减去)这两数积的 2倍 a b 2 2 a 2ab b2 2 2 2 a ba 2ab b 4.整式的除法 (1) 单项式除以单项式把系数、同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指 数一起作为商的一个因式。 (2) 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 5. 因式分解 (1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 (2 )公因式：多项式 ma+mb+m中的每一项都含有一个相同的因式 m我们

22、称之为公因式。 (3) 提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+m就可以分解成两个因式 m和(a+b+c)的乘积，这种因式分 解的方法，叫做提取公因式法。 (4 )公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。 2 (5)十字相乘法：X (a b)X ab = (x a)(x b) (a、b是常数) 公式特点：1)右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。2)左边是 二次三项式，二次项的系数是 1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。 勾股定理 6. 中心对称 o (1)在平面内，一个图

23、形绕着中心点旋转180 后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点 1对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为c，那么一定有a1 2 b2 c2 叫做对称中心。 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 o 【注】中心对称图形是旋转角度为 180的旋转对称图形。 2.直角三角形的判定：如果三角形的三边长 2 a,b,c有关系，a b2 2 C ，那么这个三角形是直角三角形 o (2)把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称。 这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点，叫做关于中心的对称点。

24、 平移与旋转 1. 平移：图形的平行移动，简称为平移。它由移动的方向和距离所决定。 7. 中心对称的特征 (1)在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。反过来，如果两个图 (2)在成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等，对应角相等。 形的所有对称点连成的的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。 如下图：把点A与点 A 叫做对应点，把线段 AB与线段 A B叫做对应线段，/ A与 A 叫做对应角。 ABC平 II 移的方向就是由点b到点B的方向，平移的距离就是线段 BB的长度。 8.图形的全等

25、A (1)能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 (2) 一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述 【注】在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上。 (3) 2. 平移的特征 (1)平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，图形的形状与大小都没有发生变化。 E C 变换后一定能够互相重合。 全等多边形经过变换而重合，互相重合的顶点叫做对应顶点。相互重合的边叫做对应边。相互重合的角叫做对 应角 (2)平移后对应点所连的线段平行并且相等。 符号 表示全等，读作“全等于” 全等多边形的性质 3.旋转平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某

26、一个方向 (顺时针或逆时针)转动一个角度，这样的图形运 全等多边形的对应边相等，对应角相等。 动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角。显然, 旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由 (6)判断全等多边形全等的方法 【注】在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上。 边、角分别对应相等的两个多边形全等。 旋转中心、旋转的角度、旋转的方向所决定。 4.旋转的特征 (7 )全等三角形对应边相等，对应角相等。 ABC ABC 对称图形的旋转中心。 第16章平行四边形的认识 (8)如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 1平行四边形：有两组对边分别平行的四边形

27、。 平行四边形ABC呵以记作 ABCD。:一： 2. 平行四边形的性质 （1）平行四边形两组对边分别平行。 （2）平行四边形对边相等，对角相等。 （3 ）平行四边形对角线互相平分。 （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 （4 ）平行线之间的距离处处相等。 【注】两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离。 3. 矩形 （1）有一个角为直角的平行四边形。 （2 ）矩形特有的性质 1 ）矩形的四个角都是直角。 2）矩形的对角线相等且互相平分。 3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。 4. 菱形 （1）有一组邻边相等的平行四边形。 （2 ）菱

28、形特有的性质 1）菱形的四条边都相等。 2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。 5. 正方形 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 （2）正方形的性质 1）四个角都是直角，四条边都相等。 2）正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 6. 梯形 （1 ）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 （2）等腰梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合。 1）等腰梯形是轴对称图形。只有一条对称轴，一底的垂直平分线。 2）

29、等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 3）等腰梯形的两条对角线相等。 八年级下 第17章分式 1 .分式 A 形如B （ A、B是整式，且B中含有字母， B 0 ）的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子，B叫做分式的分 母。 【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。 2. 有理式 整式和分式统称为有理式。 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 最简分式 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 6. 最简公分母 各分母所有因式的最高次幕的积 7. 分式的运算 （1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是

30、最简分式，应该通过约分进 行化简。 （2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。 （3 ）分式的乘方等于分子分母分别乘方。 （4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 8. 分式方程 （1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整 式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。 （3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。 (4) 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分

31、式方程中的分式的分母为零。有时为了方便 起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。 9. 零指数幕与负整指数幕 (1) 任何不等于零的数的零次幕都等于 1。 【注】0的零次幕没有意义。 (2) 任何不等于零的数的-n (n为正整数)次幕，等于这个数的 n次幕的倒数。 1 a n n（a 0,n a是正整数） n a 10 的形式，其中n是正整 利用10的负整指数幕，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 数，1 a 10 第18章函数及其图像 1 .变量与函数 (1) 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量 2) 列表法 3) 图像法 (4)

32、在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。 (5) 函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑1)在实际问题中，自变量 x 的取值会受到实际意义的限制。2)使函数的解析式有意义。 2. 函数的图像 (1) 直角坐标系 1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的 一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐 标原点。 2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为

33、M 和N。这时，点M在x轴上对应的数字是 m,称为点P的横坐标；点N在y轴上的坐标为n，称为点P的纵坐标，得到 一对有序实数(m n)，称为点P的坐标，可记为P ( m n)。 3) 在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成I、n、皿、w四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴 上的点不属于任何一个象限。 4) 在平面直角坐标系中的点和有序实数对是对应的。 rN I miv 5)不同位置点的坐标的特征 x轴 0 任意实数 y轴 任意实数 0 (2)函数的图像 (3)表示函数关系的方法 1)解析法(关系式法)：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。

34、 y t 1)一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标 (X，y)代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标 y表示与它对应的函数值。 2 )画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。 3. 一次函数 (1 )函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。 一次函数通常可以表示为 y=kx+b的形式，其中k、b是常数，k 0。 特别的，当b=0时，一次函数y=kx (常数k 0)，也叫做正比例函数。 (2 )一次函数的图像 一次函数y=kx+b (k、b是常数，k 0)的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b。特别

35、的，正比例函数y=kx (k 0)的图像是经过原点(0, 0)。 对于直线y=kx+b (k、b是常数，k 0)，k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。 (3) 一次函数的性质 当k0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。 当k0，b0时，函数经过I、n、皿象限。 当k0，b0时，函数经过I、皿、W象限。 当k0时，函数经过I、n、W象限。 当k0，b0时，函数的图像在第I、皿象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大 而减小。 2) 当k0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b0的解集。 第19章全等三角形 1 .命题 判断它是正确

36、的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。 命题可以写成“如果，那么”的形式。 2. 定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命 题叫做公理。 3. 公理 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断 其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。 4. 全等三角形的判定 一般三角形 SSS SAS ASA AAS 直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL 5. 尺规作图 只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。

37、(1) 作一条线段等于已知线段 (2) 作一个角等于已知角 (3) 作已知角的平分线 (4) 经过一已知点(直线上、直线外)作已知直线的垂线 (5) 作已经线段的垂直的平分线 6. 逆命题 (1) 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题， 其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。 (2) 原命题为真，它的逆命题不一定为真 7. 等腰三角形的判定 (1)利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。 (2 )如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边) 8. 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方

38、等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。 9. 角平分线 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 10. 线段垂直平分线 到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 (1 )两腰相等的梯形是等腰梯形。 (2 )在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3 )两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 第21章 数据的整理与初步处理 1.算术平均数 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定 (1 )两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2 )两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (4 )两组对角分别相等的四边形是平

39、行四边形。 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 2. 矩形的判定 (1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2) 对角线相等的平行四边形是矩形。 (3) 有三个角是直角的四边形是矩形。 3. 菱形的判定 (1) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (3) 四条边都相等的四边形是菱形。 (4 )每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 4. 正方形的判定 (1) 有一组邻边相等的矩形是正方形。 (2) 有一个角是直角的菱形是正方形。 (3) 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 5. 等腰梯形的判定 1 X 片 x2 x3 若

40、一组数据为X1 ,X2, X3Xn，它们的平均数为X，则n Xn 。 映了这组数据中个数据的平均大小或者是集中趋势。 2.加权平均数 一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，各指标乘以相应的权重后所得的 平均数就是加权平均数。 f?X2 fn n) 3.扇形统计图的制作 (1) 先计算出各部分数量占总数量的百分比。 (2) 再算出表示各部分数量的扇形的圆心角的度数。 (3 )按照圆心角度数，在圆中画出各个扇形。 (4)在每个扇形中标出所表示各个部分数量名称和所占的百分比。 5. 中位数 把一组数据按由小到大的顺序排列，若有奇数个数时，则处在正中间的数是中位数。

41、 若有偶数个数时，则取中间两个数的平均数是中位数。 中位数也反映的是一组数据的集中趋势。 6. 众数 一组数据中出现次数最多的那个数据值。它也反映的是一组数据的集中趋势。 一组数据中可以不止一个众数，也可以没有众数。 7. 极差=最大值一最小值，反映这组数据的变化范围。 平均数反 8.方差 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均 得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫做方差。 2 通常 用 s 表示 一组 数据的 方差，x表示一组数据的平均数 2 2 2 2 1 s X1 x X2 x Xnx n 9.标准差 . ab . a 一 b（a ,b ） 4.二次根式的除法 两个二次根

42、式相除，将它们的被开方数相除。 a - b ,b) s 1 X x2X2x2xnx2 n 商的算术平方根 商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式 中不含有分母。 九年级上 第22章二次根式 1.二次根式 、a / b(a ，b 7.最简二次根式 ）表示非负数a的算术平方根，也就是说, ）是一个非负数，它的平方等于 a，即有：（1） ) .a (a ) (2). a a(a ) 被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幕的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式 8. 二次根式化简主要包括两方面 （1）如果被开方数中含有分母

43、，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。 （2 ）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。 9. 同类二次根式 ）的式子叫做二次根式 二次根式的性质: a (a ) a(a ) 像3、3与23，3 a、2 a与4 a这样的几个二次根式，称为同类二次根式 二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 2.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 a b ab(a ,b) 3. 积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简 第23章一元二次方程 1. 一元二次

44、方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程叫做一元二次方程。 2 一般形式：ax bx c （a,b,c是已知数，a ）。其中a,b,c分别叫做二次项的系数，一次项的 系数，常数项。 2. 一元二次方程的解法 (1) 直接开平方法 (2) 因式分解法 (3) 配方法 X (4)公式法 ； 2 b 一 b 4ac 2a 2 b 4ac 0 3.一元二次方程的判别式，b2 4ac (2)如果ad=bc, (a,b,c,d都不等于零)，那么bd a c a b c d 4. (1)如果b d，那么 b d。 a c a c (2)如果b d，那么 a b c d 。 k就是这两

45、个相似三角形的相似比。 ,那么这两个三角形相似。 ，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 ,那么这两个三角形相似。 当时，方程有两个不等的实根。 当0时，方程有两个相等的实根。 当0时，方程没有实数根。 bc x-ix2 ,X! x2 aa 图形的相似 1. 相似图形 把具有相同形状的图形称为相似图形。 2. 成比例线段 a c (a : b c : d) 对于四条线段a，b，c,d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b d 那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。 3. 比例的基本性质 5. 相似多边形的性质 对应边成比例，对应角相等。(也是

46、判断两个多边形相似的方法) 6. 相似三角形 (1 )相似用“s来表示。 (2) ABCSA A B C，对应顶点要写在对应位置上。 AB BC AC , ；k (3) 如果记A BB C A C，那么这个比值 (4) 全等三角形是相似三角形的特例。 7. 相似三角形的判定 (1 )如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等 (2) 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 (3) 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例 8. 相似三角形的性质 (1) 相似三角形的对应高的比等于相似比。 (2) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (3 )相似三角

47、形的对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 (4) 相似三角形周长的比等于相似比。 9. 中位线 (1)三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 (1)如果b d ，那么ad=bc 1 (2)三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的3 (3) 梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。 10. 画相似图形 位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点叫做位似中心。 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比。 45o 2 2 1 1 6

48、0o 品 1 2 2 3 2.解直角三角形，只有两种情况 解直角三角形 1锐角三角函数 (1 )在 RtA ABC中 Z A的正弦：sinA= Z A的对边/斜边 / A的余弦：cosA= ZA的邻边/斜边 Z A的正切：tanA= Z A的对边/ Z A的邻边 Z A的余切：cotA= Z A的邻边/ Z A的对边 (2) 0sinA1 0cosA0时，图像开口向上，函数有最小值。当x0时，y随x的增大而增大。 当ao时，图像开口向下，函数有最大值。当x0时，y随x的增大而减小。 3. y ax2 k(a 0）的图像与性质 值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、

49、后的函数关系式及平移的路径.此外, 图象的平移与平移的顺序无关。 2 2 y ax k(a 0)由 y ax (a 0）向上（或向下）平移k个单位得到的 （2 ）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k ）。 （3）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x=0时，y=k。当x0时，y 随x的增大而增大。 当ao时，图像开口向下，函数有最大值，即当 x=0时，y=k。当x0时，y随x的 增大而减小。 2 6 .通过配方把二次函数yax bx c(a 2 0)化成ya(x h) +k ( a0 )的形式，即 .b、2 4ac b2 y a(x) 2a 4a b b 4ac b2 x （1）对称轴2a

50、 ，顶点坐标（ 2a 4a ) 4. y a(x h)2 (a 0) 的图像与性质 2 b 4ac bb 2 (1) y a(x h) (a 0)由 y ax2(a 0）向左（或向右）平移h个单位得到的。 （2 ）对称轴是x=h，顶点坐标是（h, 0） （3）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。当xh时，y 随x的增大而增大。 当ao时，图像开口向下，函数有最大值，即当x=h时，y=0o当xh时，y随x的 增大而减小。 （2）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当 x= 2a 时，y= 4a 。当x 2a时，y随x的增大而增大。 b 4ac b2 b 当ao时，图像

51、开口向下，函数有最大值，即当x= 2a 时，y= 4a 。当 当 x0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当xh时，y 随x的增大而增大。 当ao时，图像开口向下，函数有最大值，即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的 增大而减小。 b 增大，当x 2a时，y随x的增大而减小。 7. 最大值或最小值的求法，第一步确定 a的符号，a 0有最小值，a 0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐 标即为对应的最大值或最小值。 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。 8. 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。 二次函数

52、的图象的上下平移，只影响二次函数 a(x h)2 +k (a 0）中k的值；左右平移，只影响h的 （1 ）一般式： y 2 ax bx c(a 0) 给出三点坐标可利用此式来求。 （2 ）顶点式： y a(x h)2 k(a 0) ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。 (3)交点式：y a(x xi)(x x2)(a0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(xi,0)、(x2,) 时可利用此式来求。 9.抛物线与直线的交点 一次函数y ax b(a 0)与二次函数y ax2 bx c(a 0)交点的个数由方程组 y ax b ax2 bx c的解得个数决定。 当方程组有两个不同解时

53、，两函数图像有两个交点 当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点 当方程组无解时，两函数图像没有交点。 10.二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y ax2 bx c(a 0) 当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程 2 ax 2 ax ax2 ax2 2 ax 2 ax bx bx bx bx bx bx 0的解集为x Xi,X X2(Xi X2)； 0的解集为Xl 0的解集为x 0的无解。 X X2(Xi X2)。 X1,2 ； 0的解集为X可取任意实数。 0的无解。 2 ax bx c 0(a0) 抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程 2 ax bx 0(a0)中的 b2

54、 4ac决定。 0，抛物线与x轴有两个交点，方程 ax2 bx 0(a 0)有两个不等的实根，这两个与 x轴交 点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。 0，抛物线与x轴有一个交点，方程 2 ax bx 0(a 0)有两个相等的实根，此时一元二次方 程的根就是抛物线顶点的横坐标。 2 0，抛物线与x轴没有交点，方程ax bx 0(a 0)无实根，a 0抛物线在x轴上方, a 0，抛物线在x轴下方。 ii.二次函数y ax2 bx c(a 0)与一元二次不等式之间的关系 圆 i.圆的认识 (1) 当一条线段OA绕着它的一个端点 O在平面内旋转一周时，它的另一个端点 A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距

55、 离等于定长的点的集合。这个以点 O为圆心的圆叫作“圆O”记为“0 0”。 (2) 线段OA OB OC都是圆的半径，线段 AC为直径。 (3 )连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB BC AC都是圆O中的弦。 (4 )圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线 BC BAC都是圆中的弧，分别记为 BAC BC 、 BAC 其中像弧BC这样小 于半圆周的圆叫做劣弧。像弧 这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 (3)圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如/AOB Z AOC Z BOC就是圆心角 2.圆的对称性 (1) 在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 (2) 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 (3) 在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 (1)两圆外离d R r ； (4 )圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 4. 圆周角 (1) 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 (2) 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90(直角)。 90的圆周角所对的弦是圆的直径。 (3) 同圆或等圆中，一条弧